5. मैट्रिक्स रैंक और गणना विधि

संख्या r को मैट्रिक्स A की रैंक इस प्रकार कहा जाता है:
1) मैट्रिक्स ए नाबालिग में r vіdminny vіd शून्य के क्रम में;
2) क्रम में सब कुछ मामूली है (आर + 1) और अधिक, जैसे कि बदबू आ रही है, गायब होने तक।
अन्यथा, मैट्रिक्स का रैंक नाबालिग का उच्चतम क्रम है, प्रमुख प्रकार का शून्य।
हस्ताक्षर: रंगा, आर ए या आर।
नियुक्ति का Z इस प्रकार है कि r लक्ष्य है दिनांक. एक अशक्त मैट्रिक्स के लिए, रैंक शून्य के बराबर है।

सेवा असाइनमेंट. ज्ञान के लिए नियुक्तियों के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर मैट्रिक्स रैंक. समाधान चुनते समय, इसे Word और Excel स्वरूपों से लिया जाता है। विभाग समाधान उदाहरण।

निर्देश। मैट्रिक्स का आकार चुनें, डाली दबाएं।

नियुक्ति। मान लीजिए रैंक r का एक मैट्रिक्स दिया गया है। क्या मैट्रिक्स का एक नाबालिग है, शून्य के रूप में और r के क्रम को आधार कहा जाता है, और गोदाम के उन स्तंभों की पंक्तियों को उन स्तंभों की मूल पंक्तियाँ कहा जाता है।
पसंद के आधार पर, मैट्रिक्स ए मूल नाबालिगों की मां हो सकती है।

एकल मैट्रिक्स E की रैंक n (पंक्तियों की संख्या) के बराबर है।

उदाहरण 1। दो मैट्रिक्स दिए गए, टा ні मिनोरि , . उनमें से किसे आधार के रूप में लिया जा सकता है?
समाधान. माइनर एम 1 = 0, इसलिए विन किसी भी मैट्रिक्स के लिए बुनियादी नहीं हो सकता है। माइनर एम 2 \u003d-9≠0 और 2 ऑर्डर कर सकता है, जिसका अर्थ है कि इसे दिमाग के लिए आधार मैट्रिक्स ए या / बी के रूप में लिया जा सकता है, रैंक क्या हैं, बराबर 2। अगर detB=0 (दो आनुपातिक स्तंभों के साथ एक शीर्ष की तरह), फिर rangB=2 और M 2 को मैट्रिक्स B के आधार नाबालिग के रूप में लिया जा सकता है। मैट्रिक्स A की रैंक 3 है, इसलिए detA=-27≠0 और, इसलिए मैट्रिक्स बी मैट्रिक्स के आधार नाबालिग का क्रम 3 जोड़ने के लिए जिम्मेदार है, इसलिए एम 2 मैट्रिक्स ए के लिए आधार नहीं है। यह महत्वपूर्ण है कि मैट्रिक्स ए में एक एकल मूल नाबालिग है, जो मैट्रिक्स ए के संकेत के समान है।

प्रमेय (मूल नाबालिग के बारे में)। क्या मैट्रिक्स की एक पंक्ति (स्टोवपचिक) है मूल पंक्तियों का रैखिक संयोजन (stovptsіv)।
प्रमेय से परिणाम।

1. रैंक r_linear परती के मैट्रिक्स के बी-लाइक (r+1) स्टैक (पंक्तियाँ)।
2. यदि मैट्रिक्स की रैंक पंक्तियों (stovptsіv) की संख्या के लिए छोटी है, तो पंक्तियाँ (stovptsі) रैखिक रूप से परती हैं। यदि रैंकए पंक्तियों (stovptsіv) की संख्या के बराबर है, तो पंक्तियाँ (stovptsі) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
3. मैट्रिक्स A का चिन्ह शून्य के बराबर है और फिर, यदि पंक्तियाँ (stowptsі) रैखिक रूप से परती हैं।
4. यदि मैं मैट्रिक्स की पंक्ति (stovptsya) में एक और पंक्ति जोड़ दूं, (stovpets) मैं गुणा करूंगा कि क्या संख्या शून्य के बराबर है, तो मैट्रिक्स का रैंक नहीं बदलेगा।
5. यदि एक मैट्रिक्स में एक क्रॉस रो (स्टोवपेट्स) है, यदि यह अन्य पंक्तियों (स्टोवप्ट्सिव) का एक रैखिक संयोजन है, तो मैट्रिक्स का रैंक नहीं बदलेगा।
6. मैट्रिक्स की रैंक रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों (stowptsіv) की अधिकतम संख्या के बराबर है।
7. रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या के साथ बदलती रहती है।

उदाहरण 2। मैट्रिक्स की रैंक पाएं .
समाधान। Vykhodyachi s को मैट्रिक्स के रैंक को सौंपा गया है, उच्चतम क्रम के shukatimemo नाबालिग, vіdminny vіd शून्य। आइए मैट्रिक्स को और अधिक सरल रूप में रीमेक करें। जिसके लिए मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को (-2) से दूसरे में डोडामो से गुणा किया जाता है, फिर को (-1) से डोडामो से तीसरे से गुणा किया जाता है।

मैट्रिक्स रैंक एक महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषता है। सबसे विशिष्ट कार्य, जो मैट्रिक्स के रैंक के महत्व पर निर्भर करता है, बीजगणित के रैखिक समीकरणों की प्रणाली के योग का पुन: सत्यापन है। tsіy statti mi damo मैट्रिक्स की रैंक को समझें और योगिक महत्व की विधि को देखें। सामग्री के कम से कम आत्मसात करने के लिए, कई अनुप्रयोगों के वितरण का विश्लेषण करने की सूचना है।

किनारे पर नेविगेशन।

मैट्रिक्स के पद पर नियुक्ति और आवश्यक अतिरिक्त समझ।

पहली निचली आवाज को मैट्रिक्स के रैंक को सौंपा गया है, अगले को नाबालिग की समझ से अच्छी तरह से समझा जाता है, और मैट्रिक्स में नाबालिगों का महत्व प्रमुख की गणना के कारण हो सकता है। इसके अलावा, यदि आवश्यक हो, तो आंकड़ों के सिद्धांत, विधियों और मैट्रिक्स के प्रमुख के ज्ञान, प्रमुख की शक्ति का अनुमान लगाने की सिफारिश की जाती है।

मैट्रिक्स ए को क्रम में लें। मान लीजिए k एक प्राकृत संख्या है जो m और n की छोटी से छोटी संख्या को नहीं बदलती है, इसलिए .

नियुक्ति।

माइनर के-वें क्रममैट्रिक्स ए को क्रम में एक वर्ग मैट्रिक्स कहा जाता है, मैट्रिक्स ए के तत्वों से मुड़ा हुआ है, क्योंकि यह चयनित k पंक्तियों और कॉलम k के पीछे स्थित है, और मैट्रिक्स A में तत्वों का विस्तार लिया जाता है।

दूसरे शब्दों में, यदि मैट्रिक्स ए में हम पंक्तियों की (पी-के) पंक्तियों और (एन-के) कॉलम जोड़ते हैं, और जो तत्व गायब हैं, मैट्रिक्स ए के तत्वों के विस्तार को बचाने के लिए मैट्रिक्स जोड़ें, फिर हटाए जाने का संकेत मैट्रिक्स ए के के क्रम में मैट्रिक्स मामूली है।

आइए बट पर मैट्रिक्स के असाइन किए गए नाबालिग पर एक नज़र डालें।

आइए मैट्रिक्स को देखें .

आइए मैट्रिक्स के पहले क्रम के नाबालिगों की संख्या लिखें। उदाहरण के लिए, यदि हम तीसरी पंक्ति और मैट्रिक्स ए की दूसरी पंक्ति चुनते हैं, तो हमारी पसंद को पहले क्रम का नाबालिग दिया जाता है . दूसरे शब्दों में, इस नाबालिग को हटाने के लिए, पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ा गया था, साथ ही मैट्रिक्स ए से पहले, तीसरे और चौथे कॉलम को जोड़ा गया था, और जो तत्व छोड़ दिया गया था, उसमें से वेज़नाचनिक रखे गए थे। मैट्रिक्स ए की पहली पंक्ति और तीसरी पंक्ति का चयन कैसे करें, हम नाबालिग को हटा देते हैं .

हम अवयस्कों पर प्रथम-क्रम के नज़र को हटाने की प्रक्रिया का वर्णन करेंगे
і .

इस क्रम में, मैट्रिक्स के पहले क्रम के अवयस्क मैट्रिक्स के तत्व हैं।

आइए स्प्रैट को एक अलग क्रम में दिखाते हैं। हम दो पंक्तियों और दो स्तंभों का चयन करते हैं। उदाहरण के लिए, पहली और दूसरी पंक्तियाँ और तीसरी और चौथी पंक्तियाँ लें। इस तरह के विकल्प के लिए, एक अलग क्रम में एक नाबालिग है . सीई माइनर को तीसरी पंक्ति ए, पहले और दूसरे कॉलम के मैट्रिक्स पर भी फोल्ड किया जा सकता है।

मैट्रिक्स ए के एक अलग क्रम के nshim नाबालिग।

मैं इन नाबालिगों को एक अलग क्रम में समझाता हूँ
і .

इसी तरह, आप मैट्रिक्स ए के तीसरे क्रम के नाबालिगों को पूरी तीन पंक्तियों के मैट्रिक्स में पा सकते हैं, फिर हम ux चुनते हैं। यदि आप इन पंक्तियों से पहले तीन पहली पंक्तियाँ चुनते हैं, तो तीसरे क्रम के नाबालिग को लें

बाकी मैट्रिक्स ए के लिए उकसाया जा सकता है।

तीसरे क्रम के नशिम नाबालिग

मैट्रिक्स ए के तीसरे कॉलम पर जाएं।

छोटों की धुरी, जो तीसरे क्रम के इन नाबालिगों की प्रेरणा को दर्शाती है
і .

मैट्रिक्स ए के लिए मामूली क्रम में, कोई तीसरा, शार्क नहीं है।

मैट्रिक्स और क्रम के k-th क्रम में Skіlki issnuіє innoіrіv k-th क्रम?

K के क्रम में नाबालिगों की संख्या चुकाई जा सकती है याक, दे і - p से k तक और n से k तक दिनों की संख्या स्पष्ट है।

सभी नाबालिगों को n पर मैट्रिक्स A ऑर्डर p का क्रम कैसे दें?

हमें मैट्रिक्स की पंक्तियों में अनाम संख्याओं और स्तंभों में अनाम संख्याओं की आवश्यकता है। हम सब कुछ रिकॉर्ड करते हैं p तत्वों को k . से घटाना(बदबू मैट्रिक्स ए की पंक्तियों से मेल खाएगा, जिन्हें k के क्रम के साथ चुना जाता है)। त्वचा दिवस से पहले, पंक्ति में संख्याओं को क्रमिक रूप से सभी n तत्वों को स्तंभों की संख्या में जोड़ा जाता है। क्यूई मैट्रिक्स ए की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या में दिन की संख्या के अनुसार सेट करता है, सभी नाबालिगों को क्रम k में जोड़ने में मदद करेगा।

आइए एक उदाहरण लेते हैं।

बट

मैट्रिक्स के एक अलग क्रम के नाबालिगों में मूंछें खोजें।

समाधान।

यदि आउटपुट मैट्रिक्स का क्रम 3 बटा 3 है, तो एक अलग क्रम में पूरा नाबालिग होगा .

हम मैट्रिक्स A: 1, 2; 1, 3 और 2, 3. कॉलम 1, 2 में 3 से 2 नंबरों के सभी दिन; 1, 3 और 2, 3.

मैट्रिक्स A की पहली और दूसरी पंक्तियाँ लें। इन पंक्तियों में कंपन करते हुए, पहले और दूसरे कॉलम, पहले और तीसरे कॉलम, दूसरे और तीसरे कॉलम को माइनर में हटा दिया जाता है।

कॉलम की समान पसंद के साथ पहली और तीसरी पंक्तियों के लिए, यह संभव है

पहली और दूसरी, पहली और तीसरी, दूसरी और तीसरी पंक्ति को जोड़ने के लिए इसे दूसरी और तीसरी पंक्ति पर छोड़ दिया गया था:

बाद में, मैट्रिक्स के एक अलग क्रम के सभी नौ नाबालिग पाए गए।

अब आप नियत मैट्रिक्स रैंक पर जा सकते हैं।

नियुक्ति।

मैट्रिक्स रैंक- मैट्रिक्स के नाबालिग का उच्चतम क्रम, vіdminnogo vіd शून्य।

मैट्रिक्स ए की रैंक को रैंक (ए) के रूप में सौंपा गया है। आप आरजी (ए) या रंग (ए) भी निर्दिष्ट कर सकते हैं।

मैट्रिक्स के रैंक और मैट्रिक्स के नाबालिग के असाइनमेंट से, विस्नोवोक उत्पन्न करना संभव है, ताकि शून्य मैट्रिक्स की रैंक शून्य के बराबर हो, और गैर-शून्य मैट्रिक्स का रैंक हो एक से कम नहीं।

नियुक्तियों के लिए मैट्रिक्स की रैंक जानना।

साथ ही, मैट्रिक्स . की रैंक निर्धारित करने की पहली विधि जानवर बल विधि. यह तरीका मैट्रिक्स के नियत रैंक पर आधारित है।

आइए जानते हैं मैट्रिक्स ए ऑर्डर की रैंक।

संक्षेप में वर्णन कीजिये कलन विधि rozv'yazannya tsgogo zavdannya नाबालिगों की गणना के माध्यम से।

यदि आप मैट्रिक्स का एक तत्व चाहते हैं जो शून्य जैसा दिखता है, तो मैट्रिक्स की रैंक कम से कम एक से अधिक है (शार्ड पहले क्रम के मामूली हैं, शून्य के बराबर नहीं)।

आइए एक अलग क्रम में नाबालिगों पर चलते हैं। यदि एक भिन्न क्रम के सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक एक के बराबर है। यदि हम एक अलग क्रम के एक गैर-शून्य नाबालिग चाहते हैं, तो हम तीसरे क्रम के नाबालिगों की गणना के लिए पास होते हैं, और मैट्रिक्स का रैंक कम से कम दो होता है।

इसी तरह, यदि तीसरे क्रम के सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है। यदि हम तीसरे क्रम का एक नाबालिग चाहते हैं, यदि हम शून्य को देखते हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक कम से कम तीन है, और हम चौथे क्रम के नाबालिगों की गणना के लिए पास करते हैं।

गौरतलब है कि मैट्रिक्स की रैंक सबसे छोटी संख्या p से n से अधिक नहीं हो सकती है।

बट

मैट्रिक्स की रैंक पाएं .

समाधान।

Oskіlki मैट्रिक्स गैर-शून्य है, रैंक एक से कम नहीं है।

एक अलग क्रम के नाबालिग vіdminniy vіd शून्य, otzhe, मैट्रिक्स की रैंक दो से कम नहीं है। हम तीसरे क्रम के नाबालिगों की गणना के लिए पास करते हैं। उसयोगो चीज़ें।

उस तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर। इसलिए, मैट्रिक्स की रैंक दोगुनी है।

सुझाव:

रैंक (ए) = 2।

तिरछे अवयस्क विधि द्वारा मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करना।

मैट्रिक्स के रैंक को निर्धारित करने के लिए अन्य तरीकों की स्थापना करें, जो आपको कम कम्प्यूटेशनल काम में परिणाम लेने की अनुमति देगा।

इन तरीकों में से एक है oblyamіvnyh नाबालिग की विधि.

आइए इसका पता लगाते हैं oblyamіvnogo नाबालिग को समझें.

ऐसा लगता है कि माइनर M ओके (k + 1)-मैट्रिक्स A का ऑर्डर माइनर M को मैट्रिक्स A का ऑर्डर k, एक मैट्रिक्स के रूप में, माइनर M ओके के समान, मैट्रिक्स को "बदला" देता है, जैसा कि नाबालिग एम।

अन्यथा, ऐसा लगता है, मैट्रिक्स, vydpovidna oblyamovuvannym माइनर M , मैट्रिक्स से बाहर जाना, scho vіdpovidaє vіdpovida oblyamіvnuyu माइनर M ओके , एक पंक्ति और एक कॉलम के vykresluvannyam तत्व।

उदाहरण के लिए, आइए मैट्रिक्स को देखें और एक अलग क्रम के नाबालिग को ले लो। आइए उन सभी अवयस्कों को लिख लें जो oblyamovuyut:

Oblyamіvnyh Minorіv की विधि हमलावर प्रमेय द्वारा लगाई गई है (हम बिना सबूत के सूत्र को प्रेरित कर सकते हैं)।

प्रमेय।

यदि सभी अवयस्क जो एक अवयस्क को मैट्रिक्स A के k-वें क्रम में p बटा n के क्रम में जोड़ते हैं, शून्य से पूर्ण होते हैं, तो मैट्रिक्स A के क्रम (k + 1) के सभी अवयस्क शून्य से पूर्ण होते हैं।

इस प्रकार, मैट्रिक्स के रैंक को निर्धारित करने के लिए, उन सभी नाबालिगों के माध्यम से सॉर्ट करना अनिवार्य नहीं है जिन्हें आपको oblyamovuyt करने की आवश्यकता है। अवयस्कों की संख्या, जो अवयस्क को मैट्रिक्स A के k-वें क्रम में क्रम में जोड़ते हैं, सूत्र द्वारा ज्ञात होता है . गौरतलब है कि नाबालिग क्या हैं, जो मैट्रिक्स ए के k-वें क्रम में नाबालिग को जोड़ते हैं, मैट्रिक्स ए के निचले नाबालिगों (k + 1)-वें क्रम से अधिक नहीं। उसके लिए, विधि का सबसे अच्छा विकल्प oblyamivnyh नाबालिगों की सभी नाबालिगों की अधिक सरल गणना है।

आइए निश्चित अवयस्कों की विधि द्वारा मैट्रिक्स के रैंक के महत्व पर चलते हैं। संक्षेप में वर्णन कीजिये कलन विधिकौन सी विधि।

यदि मैट्रिक्स ए गैर-शून्य है, तो पहले क्रम के नाबालिग के रूप में, हम लेते हैं कि मैट्रिक्स ए का कोई तत्व शून्य के बराबर है या नहीं। आइए योगो मिनोरी को देखें कि क्या करना है। यदि बदबू शून्य के बराबर है, तो मैट्रिक्स की रैंक एक के बराबर है। यदि हम एक गैर-शून्य oblyamіvny नाबालिग (एक ही क्रम दो के बराबर है) चाहते हैं, तो हम एक oblyamіvnyh नाबालिगों के विचार से गुजरते हैं। यदि बदबू शून्य के बराबर है, तो रैंक (ए) = 2। यदि आप एक स्वस्थ नाबालिग को शून्य के रूप में उपयोग करना चाहते हैं (तीन का क्रम तीन है), तो आप नाबालिग को देख सकते हैं, जो कि oblyamovuyut है। और अब तक। परिणाम में रैंक (ए) = के है, ताकि सब कुछ मैट्रिक्स ए के शून्य (के + 1) वें क्रम के नाबालिग को फ्रेम करता है, या रैंक (ए) = मिनट (पी, एन) , ताकि एक हो गैर-शून्य नाबालिग, ताकि मामूली आदेश (न्यूनतम (पी, एन) -1)।

आइए बट से मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करने के लिए नाबालिगों को तैयार करने की विधि पर एक नज़र डालें।

बट

मैट्रिक्स की रैंक पाएं oblyamіvnyh नाबालिग द्वारा।

समाधान।

यदि आव्यूह A के अवयव a 1 1 को शून्य माना जाता है, तो हम इसे प्रथम कोटि के अवयस्क के रूप में लेते हैं। पोचनेमो पॉशुक फ्रेमिंग माइनर, vіdminnogo vіd शून्य:

एक अलग क्रम के नाबालिग का ज्ञान, शून्य से शून्य। आइए जानें योग की सीमा से लगे नाबालिगों के बारे में (їх .) चीज़ें):

अवयस्कों का प्रयोग करें, जो अवयस्क को भिन्न क्रम के शून्य के बराबर बनाते हैं, तो मैट्रिक्स A का पद दो के बराबर है।

सुझाव:

रैंक (ए) = 2।

बट

मैट्रिक्स की रैंक पाएं Oblyamіvnyh नाबालिग की मदद के लिए।

समाधान।

प्रथम कोटि के शून्य अवयस्क के उदाहरण के रूप में, हम आव्यूह A का अवयव a 1 1 = 1 लेते हैं। एक अलग क्रम का माइनर, एक योगो की तरह oblyamov शून्य के बराबर नहीं है। Cei नाबालिग तीसरे क्रम के नाबालिग द्वारा पूरा किया जाता है
. चूँकि vin शून्य के बराबर नहीं है और नए के लिए oblyamіvny नाबालिग के बराबर नहीं है, तो मैट्रिक्स A की रैंक तीन के बराबर है।

सुझाव:

रैंक (ए) = 3।

मैट्रिक्स के अतिरिक्त प्राथमिक परिवर्तनों के साथ Znahodzhennya रैंक (गॉस विधि द्वारा)।

आइए मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करने के एक और तरीके पर एक नज़र डालें।

मैट्रिक्स के अगले परिवर्तन को प्राथमिक कहा जाता है:

• मैट्रिक्स की पंक्तियों (या stovptsіv) का क्रमपरिवर्तन;
• शून्य के रूप में एक निश्चित संख्या k पर मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति (stovptsya) के सभी तत्वों का गुणन;
• मैट्रिक्स की अगली पंक्ति (stovptsya) के समान तत्वों की किसी भी पंक्ति (stovptsya) के तत्वों को जोड़कर, एक निश्चित संख्या k से गुणा किया जाता है।

मैट्रिक्स को समतुल्य मैट्रिक्स A . कहा जाता है, मानो प्रारंभिक परिवर्तनों की अंतिम संख्या की सहायता के लिए A से लिया गया हो। मैट्रिक्स की तुल्यता "~" प्रतीक द्वारा इंगित की जाती है, इसलिए इसे ए ~ बी लिखा जाता है।

मैट्रिक्स के अतिरिक्त प्राथमिक परिवर्तनों के बाद मैट्रिक्स के रैंक का मूल्य कठोर लोगों पर आधारित होता है: चूंकि मैट्रिक्स को प्रारंभिक परिवर्तनों की अतिरिक्त अंतिम संख्या के बाद मैट्रिक्स ए से लिया जाता है, फिर रैंक (ए) = रैंक (बी)।

इस दृढ़ता का न्याय मैट्रिक्स के शासक के अधिकार से देखा जाता है:

• मैट्रिक्स की पंक्तियों (या स्पाल्ट्स) को पुनर्व्यवस्थित करते समय, मध्यस्थ संकेत बदलता है। यदि vin शून्य के बराबर है, तो पंक्तियों (stowptsiv) को पुनर्व्यवस्थित करने पर vin शून्य के बराबर हो जाता है।
• मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति (stowptsya) के सभी तत्वों को शून्य के रूप में पर्याप्त संख्या k से गुणा करते समय, लिए गए मैट्रिक्स का संकेतक आउटपुट मैट्रिक्स के संकेतक के बराबर होता है, जिसे k से गुणा किया जाता है। यदि मूल मैट्रिक्स का थरथरानवाला शून्य के करीब है, तो सभी तत्वों को किसी भी पंक्ति में या संख्या k से गुणा करने के बाद, हटाए गए मैट्रिक्स का थरथरानवाला भी शून्य के बराबर होता है।
• मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति (stovptsya) के तत्वों और मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति (stowptsya) के दूसरे तत्वों के अलावा, डीक द्वारा गुणा किया गया, संख्या k, हस्ताक्षरकर्ता की संख्या को नहीं बदलता है।

प्राथमिक परिवर्तनों की विधि का सारदिए गए मैट्रिक्स में polygaє, जिस रैंक को हमें जानने की जरूरत है, प्राथमिक परिवर्तनों की मदद के लिए एक ट्रेपेज़ियम-जैसे (ऊपरी त्रिकुटनया के लिए एक खुली ढलान में)।

क्यों परेशान होना? इस प्रकार के मेट्रिसेस की रैंक जानना आसान है। Vіn dorivnyuє kіlkostі rowkіv, scho vengeance b एक गैर-शून्य तत्व। चूंकि प्राथमिक परिवर्तनों के घंटे के लिए मैट्रिक्स का रैंक नहीं बदला गया है, तो मान आउटपुट मैट्रिक्स का रैंक होगा।

आइए मैट्रिसेस के चित्र बनाएं, जिनमें से एक परिवर्तन के बाद आ सकता है। मैट्रिक्स के क्रम में झूठ बोलने के लिए आपका नज़रिया।

ये चित्र टेम्प्लेट हैं, जिनका उपयोग मैट्रिक्स ए को रीमेक करने के लिए किया जाएगा।

वर्णन करना एल्गोरिथम विधि.

आइए ऑर्डर करने के लिए एक गैर-शून्य मैट्रिक्स ए की रैंक जानने की जरूरत है (पी एन से बड़ा हो सकता है)।

पिता, । हम मैट्रिक्स ए की पहली पंक्ति के सभी तत्वों को गुणा करते हैं। जिसके लिए हम एक समतुल्य मैट्रिक्स लेते हैं, महत्वपूर्ण रूप से A (1):

ली गई मैट्रिक्स ए (1) की दूसरी पंक्ति के तत्वों से पहले, हम पहली पंक्ति के अन्य तत्वों को गुणा करते हैं। तीसरी पंक्ति के तत्वों से पहले, पहली पंक्ति के समान तत्वों को गुणा करके जोड़ें। अब तक p-वें पंक्ति तक। हम एक समतुल्य मैट्रिक्स लेते हैं, महत्वपूर्ण रूप से ए (2):

यदि हटाए गए मैट्रिक्स के सभी तत्व, जो कि पी-वाई में दूसरे के साथ पंक्तियों में हैं, शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक एक से अधिक है, और साथ ही, अन्य मैट्रिक्स की रैंक से अधिक है एक।

यदि हम चाहते हैं कि एक गैर-शून्य तत्व दूसरे की पंक्तियों में p-th द्वारा हो, तो हम पुनर्व्यवस्थित करना जारी रख सकते हैं। इसके अलावा, डायमो बिल्कुल समान है, लेकिन केवल मैट्रिक्स ए के हिस्से से छोटे को सौंपा गया है (2)

इस प्रकार, हम मैट्रिक्स ए (2) की पंक्तियों और (या) स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि "नया" तत्व गैर-शून्य हो जाए।

नियुक्ति। मैट्रिक्स रैंकरैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या कहलाती है, जिन्हें सदिश के रूप में देखा जाता है।

एक मैट्रिक्स के रैंक के बारे में प्रमेय 1। मैट्रिक्स रैंकमैट्रिक्स माइनर जीरो के अधिकतम क्रम को कहा जाता है।

उच्च श्रेणी के छात्रों के लिए पाठ में नाबालिग की समझ को पहले ही सुलझा लिया गया था, और साथ ही, योग को छीन लिया गया था। मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या लें, इसके अलावा, "कौशल" की संख्या मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या से कम हो सकती है, और "कौशल" की पंक्तियों और स्तंभों के लिए हो सकता है एक जैसी संख्या। फिर, क्रॉसबार पर, पंक्तियों की पंक्तियाँ और स्तंभों की पंक्तियाँ एक छोटे क्रम का मैट्रिक्स दिखाई देती हैं, हमारा एक बाहरी मैट्रिक्स है। मैट्रिक्स का संकेतक मैं k-वें क्रम का एक नाबालिग होगा, ताकि पंक्तियों और स्तंभों की संख्या k के माध्यम से महत्वपूर्ण रूप से निर्धारित हो।

नियुक्ति।नाबालिग ( आर+1) वें क्रम का, जिसके मध्य में ओब्रेट माइनर है आरवें आदेश, इस नाबालिग के लिए oblyamovuyuchim कहा जाता है।

अक्सर दो तरीके होते हैं मैट्रिक्स की रैंक देखें. त्से नाबालिगों की सीमा का रास्ताі प्राथमिक परिवर्तनों की विधि(गॉस विधि)।

oblyamіvnyh नाबालिगों की विधि के साथ, प्रमेय विजयी है।

एक मैट्रिक्स के रैंक के बारे में प्रमेय 2।आप मैट्रिक्स के तत्वों में नाबालिग कैसे जोड़ सकते हैं आरवां क्रम, शून्य के बराबर नहीं है, तो मैट्रिक्स की रैंक अधिक है आर.

प्राथमिक परिवर्तनों की विधि से, ऐसी शक्ति प्राप्त होती है:

प्राथमिक परिवर्तनों के पथ की तरह, एक ट्रेपेज़ियम जैसा मैट्रिक्स हटा दिया गया था, जो बाहरी के बराबर था, फिर मैट्रिक्स रैंक nіy krіm पंक्तियों में पंक्तियों की संख्या, जो शून्य से अधिक से अधिक जोड़ी जाती हैं।

नाबालिगों को फ्रेम करने के लिए मैट्रिक्स के रैंक को जानना

ओब्ल्यामोवुयुची नाबालिग को इससे पहले की तारीख के अनुसार उच्च क्रम का नाबालिग कहा जाता है, ताकि उच्च क्रम का यह नाबालिग घटना में नाबालिग का बदला ले सके।

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स दिया गया

वज़्मेमो माइनर

निम्नलिखित नाबालिगों को जोड़ें:

मैट्रिक्स के रैंक को खोजने के लिए एल्गोरिदमआक्रामक।

1. इसे लघु क्रम में शून्य के बराबर नहीं होने के लिए जाना जाता है। यदि एक भिन्न क्रम के सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक एक के बराबर है ( आर =1 ).

2. यदि हम शून्य के बराबर नहीं, भिन्न क्रम का एक अवयस्क चाहते हैं, तो हम तीसरे क्रम के खनिज अवयस्क जोड़ते हैं। यदि सभी तीसरे क्रम के छोटे पद शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है ( आर =2 ).

3. यदि आप चाहते हैं कि तीसरे क्रम के नाबालिग नाबालिगों में से एक शून्य के बराबर न हो, तो हम नाबालिगों को जोड़ते हैं, जो oblyamovuyut। यदि चौथे क्रम के सभी oblyam_vn_ अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक तीन है ( आर =2 ).

4. इस तरह से आगे बढ़ें जब तक आप मैट्रिक्स के विस्तार की अनुमति देते हैं।

उदाहरण 1।मैट्रिक्स की रैंक पाएं

.

समाधान। एक अलग क्रम के नाबालिग .

योग। फ्रिंजिंग अवयस्क होंगे चोटिरी :

,

,

इस प्रकार, तीसरे क्रम के नाबालिगों का निर्धारण शून्य के बराबर होता है, और इस मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर होती है ( आर =2 ).

बट 2.मैट्रिक्स की रैंक पाएं

समाधान। इस मैट्रिक्स का रैंक 1 से अधिक है, इसलिए एक अलग क्रम के सभी नाबालिगों के रूप में, मैट्रिक्स की संख्या शून्य की तरह अधिक है जो मैट्रिक्स के तत्वों में से है, शून्य के बराबर नहीं है।

उदाहरण 3.मैट्रिक्स की रैंक पाएं

समाधान। आव्यूह संख्या के भिन्न क्रम का एक अवयस्क, आव्यूह संख्या के तीसरे क्रम के सभी अवयस्क शून्य के बराबर। ओत्ज़े, क्यूई मैट्रिक्स की रैंक दो के समान है।

उदाहरण 4.मैट्रिक्स की रैंक पाएं

समाधान। क्यूई मैट्रिक्स की रैंक अधिक उन्नत 3 है, क्योंकि मैट्रिक्स के तीसरे क्रम का एकल नाबालिग अधिक उन्नत 3 है।

प्रारंभिक परिवर्तनों (गॉस विधि) का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक ढूँढना

पहले से ही बट 1 पर यह देखा जा सकता है कि असाइन किए गए मैट्रिक्स रैंक को गिनती के बजाय नाबालिगों को फ्रेम करने के लिए तैयार किया गया है बड़ी संख्याव्यज़्नाचनिकोव। हालांकि, एक तरीका है जो आपको न्यूनतम राशि चार्ज करने की अनुमति देता है। मैट्रिक्स के सबसे प्रारंभिक परिवर्तनों पर नींव की इस पद्धति को गॉस विधि भी कहा जाता है।

मैट्रिक्स के प्रारंभिक परिवर्तनों के तहत, निम्नलिखित कार्यों को समझा जाता है:

1) किसी भी पंक्ति या किसी मैट्रिक्स स्टैक को शून्य की तरह दिखने वाली संख्या से गुणा करना;

2) एक पंक्ति के तत्वों को जोड़ना, या अगली पंक्ति के समान तत्वों के मैट्रिक्स को उसी संख्या से गुणा करना;

3) मैट्रिक्स में संख्याओं की दो पंक्तियों का परिवर्तन;

4) "शून्य" पंक्तियों का दृश्य, जैसे कि ऐसी पंक्तियों के सभी तत्व शून्य के बराबर हों;

5) सभी आनुपातिक पंक्तियों को हटाना, एक क्रिमसन।

प्रमेय।प्रारंभिक परिवर्तन के साथ, मैट्रिक्स का रैंक बदल जाता है। दूसरे शब्दों में, मैट्रिक्स के रूप में प्राथमिक परिवर्तनों की तरह एमैट्रिक्स में ले जाया गया बी, फिर।

बी-याका मैट्रिक्स एगण एम × एनआप देख सकते हैं कि कैसे सुकुपनेस्ट एमवेक्टर_इन ए रो_एबो एनवेक्टर_वी स्टॉपट्स_वी।

पदमैट्रिक्स एगण एम × एनस्तंभों में या पंक्तियों में सदिशों में रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों की अधिकतम संख्या कहलाती है।

मैट्रिक्स की रैंक क्या है एडोरिव्न्युє आर, तब लिखा है:

मैट्रिक्स रैंकिंग

चलो भी एक्रम में पर्याप्त मैट्रिक्स एम× एन. मैट्रिक्स की रैंक जानने के लिए एगॉस को बंद करने के लिए उसके रास्ते में zastosuєmo।

यह महत्वपूर्ण है कि समावेशन के किसी भी चरण में प्रवाहकीय तत्व शून्य के बराबर दिखाई देता है, तो यह पंक्ति के बाद उसी पंक्ति में माइनसक्यूल होता है, जिसमें प्रवाहकीय तत्व शून्य के रूप में दिखाई देता है। यदि ऐसा प्रतीत होता है कि ऐसी कोई पंक्ति नहीं है, तो हम एक आक्रामक कदम पर आगे बढ़ते हैं।

गॉस फॉरवर्ड मूव को बंद करने के बाद, मैट्रिक्स को हटा दिया जाता है, जिसके तत्व सिर के नीचे के विकर्ण के बराबर होते हैं। बेशक, शून्य पंक्ति वाले वैक्टर दिखाई दे सकते हैं।

एक पंक्ति में गैर-शून्य वैक्टर की संख्या और मैट्रिक्स की रैंक होगी ए.

आइए सरल बट्स को देखें।

उदाहरण 1।

पहली पंक्ति को 4 से गुणा करना और दूसरी पंक्ति में जोड़ना, पहली पंक्ति को 2 से गुणा करना और तीसरी पंक्ति में जोड़ना, हो सकता है:

दूसरी पंक्ति को -1 से और डोडामो को तीसरी पंक्ति से गुणा करें:

हमने दो गैर-शून्य पंक्तियों को घटाया है, इसलिए, मैट्रिक्स की रैंक 2 है।

बट 2.

हम आक्रामक मैट्रिक्स की रैंक जानते हैं:

पहली पंक्ति को -2 से और डोडामो को दूसरी पंक्ति से गुणा करें। इसी तरह, पहले कॉलम की तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों को शून्य पर रीसेट किया गया था:

दूसरी पंक्ति की तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों को शून्य करना, दूसरी पंक्तियों को संख्या -1 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ना।

आइए मैट्रिक्स ए पर एक नजर डालते हैं। आइए दुनिया को देखें।

ए =
हम Stovptsiv की अगली पंक्ति में देखते हैं (
).

नियुक्ति 26:नाबालिगआव्यूह A के k-वें क्रम को वर्ग आव्यूह का सूचक कहा जाता है, जो इसके दर्शन से निकलता है।

पंक्तियों और stovptsiv।

नियुक्ति 27:पदआव्यूह को शून्य, अवयस्क, r(A) के रूप में सबसे बड़ा आदेश कहा जाता है।

नियुक्ति 28:माइनर, जिसके क्रम को रैंक कहा जाता है बुनियादी नाबालिग.

पुष्टि:

1. रैंक को पूर्ण संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है।
)

2.आर = 0,
जब ए शून्य है।

मैट्रिक्स का प्राथमिक परिवर्तन।

पहले प्राथमिक परिवर्तनमैट्रिक्स इस तरह दिखते हैं:

1) मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति (stovptsya) के सभी तत्वों को एक ही संख्या से गुणा करना।

2) अगली पंक्ति (stowptsya) के समान तत्वों के मैट्रिक्स के किसी भी पंक्ति (stowptsya) के तत्वों को उसी संख्या से गुणा करना;

3) मैट्रिक्स की पंक्तियों (stovptsіv) का क्रमपरिवर्तन;

4) vіdkidannya शून्य पंक्ति (stovptsya);

5) मैट्रिक्स में पंक्तियों को डबल कॉलम से बदलना।

नियुक्ति 29:मैट्रिसेस, जो एक दूसरे में से एक दिखाई देते हैं, प्रारंभिक परिवर्तनों के मामले में समकक्ष मैट्रिक्स कहलाते हैं, जिन्हें "~" द्वारा दर्शाया जाता है।

समतुल्य मैट्रिक्स की मुख्य शक्ति: समकक्ष मैट्रिक्स के रैंक बराबर हैं।

उदाहरण 18:गणना (ए),

समाधान:पहली पंक्ति को चरणों में (-4) (-2) से गुणा किया जाता है

(-7) और फिर हम इसे दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में जोड़ देंगे।

~

दूसरी और चौथाई पंक्तियों को याद रखें
दूसरी पंक्ति को (-2) और डोडामो से चौथी पंक्ति तक गुणा करें; हम दूसरी और तीसरी पंक्ति को स्टोर करते हैं।

तीसरी और चौथी पंक्तियों का भंडारण।

~
वीडकिनेमो जीरो रो

~
आर (ए) = 3
आउटपुट मैट्रिक्स की रैंक

नमस्ते तीन।

नियुक्ति 30:आइए मैट्रिक्स को एक चरण-आवृत्ति कहते हैं, क्योंकि सिर के सभी तत्व विकर्ण 0, और सिर के विकर्ण के नीचे के तत्व शून्य के बराबर हैं।

प्रस्ताव:

1) चरण-आवृत्ति मैट्रिक्स की रैंक її पंक्तियों की संख्या के बराबर है;

2) क्या अतिरिक्त प्राथमिक परिवर्तनों के लिए मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में कम किया जा सकता है।

उदाहरण 19:मैट्रिक्स . के किसी भी मान के लिए
माє रैंक, स्को डोरिव्न्युओ ओडिने?

समाधान:रैंक एक के बराबर है, जिसका अर्थ है कि एक अलग क्रम की रैंक शून्य के बराबर है, अर्थात।

6. लीनियर रिव्न्यान ज़गलनोगो वायग्लाडु की प्रणालियाँ।

मन प्रणाली
---(9) निंदक मन की व्यवस्था कहलाती है।

नियुक्ति 31:दो प्रणालियों को समान रूप से मजबूत (समतुल्य) कहा जाता है, क्योंकि पहली प्रणाली का त्वचा समाधान दूसरा और समान होता है।

सिस्टम (1) में मैट्रिक्स ए = है
हम इसे सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स कहते हैं, और =
विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स

प्रमेय।क्रोनकर चैपल

सिस्टम (9) के पूर्ण होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक तक पहुंच जाए, इसलिए r(A)=r( )

प्रमेय 1.चूंकि सिस्टम के मैट्रिक्स का रैंक अज्ञात की संख्या के बराबर है, सिस्टम का केवल एक ही समाधान है।

प्रमेय 2।यदि सिस्टम के मैट्रिक्स का रैंक अज्ञात की संख्या के लिए छोटा है, तो सिस्टम एक अवैयक्तिक समाधान हो सकता है।

रैखिक रेखाओं की rozv'yazannya dovіlnoї प्रणाली का नियम:

1) सिस्टम के मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स के रैंकों को जानने के लिए। यक्षो
, तो सिस्टम सुसंगत नहीं है।

2) यक्षो
=r, तो सिस्टम डबल है। किसी प्रकार के मूल लघु क्रम को जानें। आधार को नाबालिग कहा जाता है, जिसके आधार पर मैट्रिक्स के रैंक का संकेत दिया गया था।

अज्ञात, जिसके गुणांक मूल अवयस्क में सम्मिलित होते हैं, शीर्ष (मूल) कहलाते हैं और उत्तोलक से रहित होते हैं, अन्यथा वे मुक्त कहलाने और बराबर के दाहिने हिस्से को स्थानांतरित करने के लिए जाने जाते हैं।

3) वसीयत के माध्यम से अज्ञात सिर का अर्थ जानना। सिस्टम का ओट्रिमैनो ज़गल्ने समाधान।

उदाहरण 20:व्यवस्था का पालन करना और कमोबेश जानने का एकमात्र उपाय

समाधान: 1) टी। क्रोनकर-कैपेली के लिए, हम सिस्टम के विस्तारित और बुनियादी मैट्रिक्स के रैंकों को जानते हैं:

~
~

~
~
मुख्य मैट्रिक्स की रैंक

2) विस्तारित मैट्रिक्स की ज्ञात रैंक
~
~
~

3) विस्नोवोक:
= 2, तो सिस्टम सुसंगत है।

यवसुरा

सिस्टम दिखाई नहीं दे रहा है और एक अवैयक्तिक समाधान हो सकता है।

4) मूल अज्ञात і , बो बुनियादी नाबालिग के साथ झूठ बोलने के लिए बदबू आ रही है, और - विल्ना घर पर नहीं है।

चलो भी \u003d s, de s - यह एक संख्या हो।

5) शेष मैट्रिक्स सपोर्ट सिस्टम

6) सुझाव:

7) संशोधन: यह vihіdnoї प्रणाली के बराबर हो, de सभी nevіdomі, podstavlyaєmo znaydenі अर्थ।