ऑनलाइन प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता के लिए Zvorotna मैट्रिक्स। रिटर्न मैट्रिक्स कैसे पता करें

उत्क्रमण मैट्रिक्स- सीई मैट्रिक्स ए -1जब याक से गुणा किया जाता है, तो एक कोब मैट्रिक्स दिया जाता है एएक परिणाम के रूप में एक मैट्रिक्स देता है इ:

एए -1 = ए -1 ए =इ।

वापसी मैट्रिक्स विधि।

गेट मैट्रिक्स विधि- यह मैट्रिसेस को हल करने के सबसे व्यापक तरीकों में से एक है और इसका उपयोग उन मामलों में रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जाता है, यदि अज्ञात चर की संख्या बीजीय समीकरणों की संख्या के बराबर है।

चलो सिस्टम एनरैखिक रिव्यान z एनअविद्या:

ऐसी प्रणाली को मैट्रिक्स संरेखण के रूप में लिखा जा सकता है ए * एक्स = बी,

डे
- सिस्टम मैट्रिक्स,

- स्टोवपेट्स नेविडोमिख,

- स्टोवपेट्स vіlnykh koefіtsієntіv।

दिए गए मैट्रिक्स संरेखण से, यह बुराई के मैट्रिक्स संरेखण के दोनों हिस्सों को गुणा करने के एक्स तरीके से दिखाया गया है एक-1, जिसके बाद हम कर सकते हैं:

ए -1 * ए * एक्स = ए -1 * बी

क्या जानना ए-1*ए=ईभी ई * एक्स = ए -1 * बीया एक्स = ए -1 * बी.

क्रॉक की शुरुआत के साथ, टर्निंग मैट्रिक्स पर हस्ताक्षर किए जाते हैं एक-1और सौ मुक्त सदस्यों से गुणा करें बी.

मैट्रिक्स के लिए गेटवे मैट्रिक्स एकम है तो, अगर डेट ए≠ 0 . स्विवेल मैट्रिक्स विधि की मदद से SLAE को लागू करते समय कीमत को ध्यान में रखते हुए, हमें पहले बदलना होगा डेट ए. यक्षो डेट ए≠ 0 , तो सिस्टम केवल एक समाधान है, क्योंकि इसे गेट मैट्रिक्स विधि द्वारा दूर किया जा सकता है, हालांकि डेट ए = 0, तो ऐसी व्यवस्था गेट मैट्रिक्स विधि द्वाराभेजा मत खा।

विरिशेन्या मैट्रिक्स।

अनुक्रम के लिए सीरम मैट्रिक्स का समाधान:

1. मैट्रिक्स आर्बिटर को हटा दें ए. यदि चिन्ह शून्य से अधिक है, यदि रिटर्न मैट्रिक्स दूर है, यदि रिटर्न शून्य से अधिक है, तो रिटर्न मैट्रिक्स को जानना असंभव है।
2. ज्ञात ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स पर.
3. बीजगणित के शुकामो जोड़, जिसके बाद हम मैट्रिक्स के सभी तत्वों को उनके बीजीय योगों से बदल देते हैं।
4. हम बीजगणित के योजक से रिवर्स मैट्रिक्स चुनते हैं: लिए गए मैट्रिक्स के सभी तत्व दिए गए मैट्रिक्स के संकेत से विभाज्य हैं। समन मैट्रिक्स किसी भी समय शुकाना गेट मैट्रिक्स होगा।

एल्गोरिथम के नीचे मार्गदर्शन सीरम मैट्रिक्स का समाधानवास्तव में, यह वही है, जैसे कि अधिक संकेत थे, अंतर केवल क्रोकिव के एक स्प्रैट के लिए है: बीजीय जोड़ हमारे लिए महत्वपूर्ण हैं, और उसके बाद हम संघ मैट्रिक्स की गणना करते हैं सी.

1. समझें कि एक वर्ग मैट्रिक्स दिया गया है। यह स्पष्ट है कि कोई नकारात्मक प्रभाव नहीं है, कि विषाणु मैट्रिक्स नहीं हो सकता है।
2. समझें कि एक वर्ग मैट्रिक्स दिया गया है। यह स्पष्ट है कि कोई नकारात्मक प्रभाव नहीं है, कि विषाणु मैट्रिक्स नहीं हो सकता है।
3. बीजगणित में परिवर्धन की गणना।
4. हम एक संबद्ध (पारस्परिक रूप से, आओ) मैट्रिक्स बनाते हैं सी.
5. बीजगणित में परिवर्धन के साथ एक रिवर्स मैट्रिक्स जोड़ना: दिए गए मैट्रिक्स के सभी तत्व सीकोब मैट्रिक्स पर डिलिमो। उप-योग मैट्रिक्स एक बेतरतीब ढंग से परिभाषित पिवट मैट्रिक्स होगा।
6. Pereveryaemo vikonan रोबोट: गुणा pochatkovu और otrimana मैट्रिक्स, परिणाम एक एकल मैट्रिक्स हो सकता है।

एडवेंट मैट्रिक्स की मदद के लिए काम करना बेहतर है।

प्रमेय: एक वर्ग मैट्रिक्स तक दाईं ओरएक ही क्रम का एकल मैट्रिक्स असाइन करें और, पंक्तियों पर अतिरिक्त प्राथमिक परिवर्तनों के लिए, कोब मैट्रिक्स को रीमेक करें, जो इसके लायक है, एक एकल में, फिर इसे दाईं ओर से दाईं ओर से कोब तक हटा दिया जाएगा।

पौरुष मैट्रिक्स के महत्व का एक उदाहरण।

प्रबंधक। मैट्रिक्स के लिए संलग्न मैट्रिक्स की विधि द्वारा वापसी को जानें.

समाधान। किसी दिए गए मैट्रिक्स के लिए संलग्न लेकिनदाईं ओर, मैं दूसरे क्रम के मैट्रिक्स को सिंगल करूंगा:

पहली पंक्ति से आप 2 देख सकते हैं:

दूसरी पंक्ति में, 2 पहली पंक्तियाँ दिखाई दे रही हैं:

रिवर्स मैट्रिक्स को ऑनलाइन जानने के लिए, आपको मैट्रिक्स का आकार ही दर्ज करना होगा। इसके लिए "+" या "-" doti आइकन पर क्लिक करें, कॉलम और पंक्तियों की संख्या के मान के डॉक आपको नियंत्रित नहीं करते हैं। आइए फ़ील्ड के लिए आवश्यक तत्व दर्ज करें। नीचे एक बटन "गणना" है - її दबाकर, आप रिपोर्ट निर्णयों पर स्क्रीन फीडबैक देखेंगे।

रैखिक बीजगणित अक्सर गेट मैट्रिक्स की गणना की प्रक्रिया में फंस जाता है। इसका उपयोग केवल गैर-परक्राम्य मैट्रिक्स के लिए और शून्य के सारणिक को समझने के लिए वर्ग मैट्रिक्स के लिए किया जाता है। सिद्धांत रूप में, razrahuvat विशेष तह नहीं है, खासकर यदि आप एक छोटे मैट्रिक्स के साथ दाईं ओर मैट करते हैं। इसके अलावा, अगर आपको रोज़राहुनका को मोड़ने की ज़रूरत है, या अपने निर्णय की दोबारा जाँच करने की ज़रूरत है, तो इस ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ जल्दी करें। इसकी मदद से आप जल्दी और उच्च सटीकता के साथ मैट्रिक्स को रिवाइज करते हैं।

इस ऑनलाइन कैलकुलेटर की मदद से आप अपनी खुद की समस्याओं को काफी हद तक कम कर सकते हैं। इसके अलावा, शराब सामग्री को ठीक करने में मदद करती है, सैद्धांतिक रूप से इसे दूर ले जाना मस्तिष्क के लिए एक प्रकार का सिम्युलेटर है। इसे ऐसे मत देखो जैसे मैं गणनाओं को मैन्युअल रूप से बदल दूंगा, मैं आपको अधिक पैसा दे सकता हूं, जिससे एल्गोरिथ्म को समझना आसान हो जाएगा। तब तक आप खुद को जायवा रेवरका नहीं बना सकते।

विषाणु मैट्रिक्स का महत्व एक ऐसी प्रक्रिया है जो सरल कार्यों को पूरा करने के लिए विकसित होती है। अले त्से dії को इतनी बार दोहराया जाता है कि त्रिवलिम को पूरा करने के लिए बाहर जाने की प्रक्रिया। गोलोवना - चेरी के साथ सम्मान बर्बाद मत करो।

यदि आप सबसे व्यापक विधि का उपयोग करते हैं - बीजगणित में परिवर्धन - आपको आवश्यकता होगी:

आवेदन को संजोने के घंटे के तहत, हम रिपोर्ट को सुलझा लेंगे। इस बीच, हम जानते हैं कि टर्निंग मैट्रिक्स के बारे में सिद्धांत क्या है।

के लिये सीरम मैट्रिक्स वापसी संख्या के साथ पूर्व-नदी सादृश्य। त्वचा संख्या के लिए एक, शून्य के बराबर नहीं, वही संख्या है बी, क्या टीवी एकі बीअकेला: अब= 1. संख्या बीएक नंबर के लिए वापसी कहा जाता है बी. उदाहरण के लिए, संख्या 7 संख्या 1/7 है, संख्या 7 * 1/7 = 1 है।

विषाणु मैट्रिक्स , आपको qiєї वर्ग मैट्रिक्स . के लिए क्या जानने की आवश्यकता है लेकिन, ऐसे मैट्रिक्स को कहा जाता है

याकू मैट्रिक्स पर टीवी लेकिनदाईं ओर पहचान मैट्रिक्स है, इसलिए
. (1)

एक एकल मैट्रिक्स एक विकर्ण मैट्रिक्स है, क्योंकि सभी विकर्ण तत्व एक के बराबर होते हैं।

सीरम मैट्रिक्स का महत्व- कार्य, क्योंकि इसका अक्सर दो तरीकों से उल्लंघन होता है:

• बीजगणितीय जोड़ की विधि द्वारा, जब, जैसा कि पाठ की शुरुआत में चिह्नित किया गया था, प्राथमिक, अल्पसंख्यक और बीजीय योगों को जानना और मैट्रिक्स को स्थानांतरित करना आवश्यक है;
• गैर-डोमिक गॉस को शामिल करने की विधि द्वारा, जिसमें मेट्रिसेस के प्राथमिक परिवर्तन करना आवश्यक है (पंक्तियाँ जोड़ें, समान संख्या की पंक्तियों को गुणा करें, आदि)।

विशेष रूप से व्यसनी लोगों के लिए, अन्य विधियों का उपयोग करें, उदाहरण के लिए, रैखिक परिवर्तनों की विधि। इस बिंदु पर, हम विधियों का उपयोग करके गेट मैट्रिक्स के महत्व के लिए तीन विधियों और एल्गोरिदम का विश्लेषण करेंगे।

प्रमेय।एक त्वचा के लिए गैर-एकवचन (गैर-कुंवारी, गैर-एकवचन) वर्ग मैट्रिक्स, कोई रिवर्सल मैट्रिक्स, और एक से अधिक को भी जान सकता है। एक विशेष (वायरोजेनियस, एकवचन) वर्ग मैट्रिक्स के लिए, मैट्रिक्स लपेटा नहीं जाता है।

वर्ग मैट्रिक्स को कहा जाता है गैर विशेष(अन्यथा गैर कुंवारी, गैर विलक्षण), क्योंकि चर शून्य के बराबर नहीं है, कि विशेषकर(अन्यथा वीर्यजन्य, विलक्षण), जिसका अर्थ है कि चिह्न शून्य के बराबर है।

रिवर्स मैट्रिक्स को केवल एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए जाना जा सकता है। जाहिर है, रिवर्स मैट्रिक्स भी वर्गाकार होगा और मैट्रिक्स के समान क्रम का होगा। मैट्रिक्स, जिस स्थिति में रिवर्स मैट्रिक्स ज्ञात होता है, रिवर्स मैट्रिक्स कहलाता है।

गैर-प्रमुख गॉस को शामिल करने की विधि द्वारा स्लीव मैट्रिक्स की गणना

अज्ञात गॉस के बहिष्करण की विधि द्वारा गेट मैट्रिक्स के मूल्य के लिए पहला क्रोकेट - मैट्रिक्स को असाइन करें एमैं उसी क्रम के मैट्रिक्स को सिंगल करूंगा, उन्हें एक लंबवत सीमा के साथ बहाल करूंगा। हम एक दोगुना मैट्रिक्स लेते हैं। मैट्रिक्स के आपत्तिजनक हिस्सों को गुणा करें, फिर इसे हटा दें

,

गैर-प्रमुख गॉस के बहिष्करण की विधि द्वारा गेट मैट्रिक्स के मूल्य के लिए एल्गोरिदम

1. मैट्रिक्स से पहले एएक ही मैट्रिक्स को उसी क्रम में असाइन करें।

2. डबल मैट्रिक्स को उल्टा करें ताकि बाएं हिस्से में एक ही मैट्रिक्स हो, जबकि दाएं हिस्से में सिंगल मैट्रिक्स के स्पेस में रिवर्स मैट्रिक्स हो। आव्यूह एमैट्रिक्स के बाएँ भाग को मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तनों के पथ के साथ एकल मैट्रिक्स में बदल दिया जाता है।

2. मैट्रिक्स परिवर्तन की प्रक्रिया क्या है एएक निश्चित पंक्ति में एक एकल मैट्रिक्स में, या एक निश्चित कॉलम में केवल शून्य दिखाई देते हैं, तो मैट्रिक्स का संकेतक शून्य के बराबर होता है, i, भी, एक मैट्रिक्स एएक विरोजन हो, और कोई विषाणु मैट्रिक्स नहीं है। और यहाँ, दूर, टर्निंग मैट्रिक्स को नीचे पिन किया गया है।

बट 2.मैट्रिक्स के लिए

रोटेशन मैट्रिक्स को जानें।

और चलो її फिर से बनाएं, ताकि बाएं हिस्से में एक ही मैट्रिक्स हो। आइए परिवर्तन शुरू करें।

बाएँ और दाएँ मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को (-3) से गुणा करें और इसे दूसरी पंक्ति में जोड़ें, और फिर पहली पंक्ति को (-4) से गुणा करें और इसे तीसरी पंक्ति में जोड़ें, फिर घटाएँ

.

ताकि आने वाले परिवर्तनों के दौरान कोई भिन्नात्मक संख्या न हो, आइए डबल मैट्रिक्स के बाएं हिस्से में दूसरी पंक्ति के सामने एक बनाएं। जिसके लिए हम दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करते हैं और तीसरी पंक्ति देखते हैं, फिर लेते हैं

.

हम पहली पंक्ति को दूसरी के साथ जोड़ते हैं, और फिर हम दूसरी पंक्ति को (-9) से गुणा करते हैं और हम इसे तीसरी पंक्ति से जोड़ते हैं। टोडी ओट्रीमाєमो

.

तीसरी पंक्ति को 8 में विभाजित करें, फिर

.

तीसरी पंक्ति को 2 से गुणा करें और दूसरी पंक्ति में जमा करें। बाहर निकलना:

.

आइए दूसरी और तीसरी पंक्ति को स्थानों के आधार पर पुनर्व्यवस्थित करें, फिर शेषफल लें:

.

बाचिमो, कि बाएं हिस्से में एक एकल मैट्रिक्स था, फिर, दाहिने हिस्से में एक रिवर्स मैट्रिक्स था। इस तरह से:

.

आप ज्ञात रिवर्सल मैट्रिक्स द्वारा आउटपुट मैट्रिक्स को गुणा करके गणना को उलट सकते हैं:

नतीजतन, रिवर्सल मैट्रिक्स पाया जाना है।

आप मदद के लिए निर्णय बदल सकते हैं थूक मैट्रिक्स के मूल्य के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर .

उदाहरण 3.मैट्रिक्स के लिए

रोटेशन मैट्रिक्स को जानें।

समाधान। एक दोगुना मैट्रिक्स जोड़ना

और हम फिर से काम करेंगे।

पहली पंक्ति को 3 से गुणा किया जाता है, और दूसरे को 2 से, और दूसरे से दिखाई देता है, और फिर पहली पंक्ति को 5 से गुणा किया जाता है, और तीसरी पंक्ति को 2 से और तीसरी पंक्ति से दिखाई देता है, फिर इसे हटा दिया जाता है

यह विषय छात्रों के बीच सबसे ज्यादा नफरत करने वाला है। हर्षे, हो सकता है, कम vyznachniki।

मुद्दा यह है कि महत्वपूर्ण तत्व की समझ (और मैं एक ही समय में मैट्रिसेस के बारे में बात नहीं कर रहा हूं) ने गुणन ऑपरेशन से पहले हमारी मदद की। Navitat shkіlnіy progrіnіnі vvazhaєtsya बंधनेवाला ऑपरेशन, और मैट्रिक्स की बहुलता - vzagali okrema विषय, yakіy मैंने पूरे पैराग्राफ और वीडियो पाठ को सौंपा है।

आज, हम मैट्रिक्स गणनाओं के विवरण में नहीं जाएंगे। बस अनुमान लगाना: मैट्रिसेस का संकेत कैसे दिया जाता है, बदबू कैसे बढ़ती है, और इससे क्या निकलता है।

दोहराव: मैट्रिक्स गुणन

चलो मान्यता के बारे में बात करते हैं। मैट्रिक्स $A$ विस्तारित $\बाएं[ m\times n \right]$ केवल h संख्याओं की एक तालिका है, समान क्रम में $m$ पंक्तियों और $n$ पंक्तियों में:

\=\अंडरब्रेस(\बाएं[ \शुरू(मैट्रिक्स) ((ए)_(11)) और ((ए)_(12)) और ... और ((ए)_(1एन)) \\ (( a)_(21)) और ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((ए)_(एम1)) और ((ए)_(एम2)) और ... और ((ए)_(एमएन)) \\\end(मैट्रिक्स) \right])_(एन)\]

ताकि आप विपदकोवो तरीके से पंक्तियों और पंक्तियों को भ्रमित न करें (सुनिश्चित करें, आप नींद में एक और दो को भ्रमित कर सकते हैं - आप याक्स की पंक्तियों के बारे में क्या कह सकते हैं), बस चित्र देखें:

क्लिटिन मैट्रिक्स के लिए अनुक्रमणिका का पदनाम

क्या देखती है? यदि आप मानक समन्वय प्रणाली $OXY$ को बाईं ऊपरी तह पर रखते हैं और अक्ष को निर्देशित करते हैं ताकि बदबू पूरे मैट्रिक्स का दम घोंट दे, तो मैट्रिक्स की त्वचा कोशिका स्पष्ट रूप से निर्देशांक $\left(x;y \right) सेट कर सकती है। $ - एक पंक्ति संख्या और एक संख्या होगी।

निर्देशांक प्रणाली ऊपरी बाएँ कोने में क्यों स्थित है? इसी कारण से हम ग्रंथ पढ़ना शुरू करते हैं। त्से दूझे बस याद रखना।

और सभी $x$ सीधे नीचे क्यों हैं, और दाएं हाथ से नहीं? मुझे पता है कि सब कुछ सरल है: मानक समन्वय प्रणाली लें (सभी $x$ दाईं ओर जाएं, सभी $y$ ऊपर जाएं) और इसे घुमाएं ताकि यह मैट्रिक्स को सूज जाए। यह साल के तीर के पीछे 90 डिग्री का मोड़ है - यह तस्वीर में मेरे बच्चेमो का परिणाम है।

ज़ागलोम, मैट्रिक्स के तत्वों को इंडेक्स कैसे असाइन करें, दुनिया को सुलझा लिया गया था। आइए अब गुणन पर एक नजर डालते हैं।

नियुक्ति। मैट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$, यदि पहले कॉलम में कॉलम की संख्या पंक्तियों की संख्या से अधिक है अन्य एक, संक्षिप्ताक्षर कहा जाता है।

इसी तरह। कोई संदेह कर सकता है और कह सकता है कि मैट्रिक्स $A$ और $B$ आदेशित जोड़ी $\left(A;B \right)$ को संतुष्ट करते हैं: यदि उन्हें इस क्रम में आदेश दिया गया है, तो यह स्पष्ट नहीं है कि $B$ और $ ए $, फिर। जोड़ी $\left(B;A \right)$ का भी उपयोग किया जा सकता है।

मैट्रिक्स के उपयोग से अधिक गुणा करना संभव है।

नियुक्ति। Tvіr uzgodzhenikh मैट्रिक्स $A=\बाएं[ m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$ मूल्य मैट्रिक्स $C=\left[ m\times k \right]$ है $((c)_(ij))$ जैसे तत्वों को सूत्र द्वारा ध्यान में रखा जाता है:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

दूसरे शब्दों में: मैट्रिक्स $C=A\cdot B$ के तत्व $((c)_(ij))$ को लेने के लिए, पहले मैट्रिक्स की $i$-row, $j$-th पंक्ति लें अन्य मैट्रिक्स के, और फिर जोड़े में गुणा करें वें पंक्ति के तत्व समान हैं। परिणामों को मोड़ो।

तो, अक्ष इतना सुवर है। एक नए दृष्टिकोण से, तथ्यों का छिड़काव स्पष्ट है:

1. मैट्रिक्स का प्रजनन, जाहिरा तौर पर, गैर-कम्यूटेटिव रूप से: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. हालांकि, बहुवचन सहयोगी हैं: $\left(A\cdot B\right)\cdot C = A\cdot\left(B\cdot C\right)$;
3. І वितरणात्मक रूप से नेविगेट करें: $ \ बाएँ (A + B \ दाएँ) \ cdot C = A \ cdot C + B \ cdot C $;
4. फिर से वितरण: $ A \ cdot \ बाएँ (B + C \ दाएँ) = A \ cdot B + A \ cdot C $।

गुणक के वितरण को बाएँ और दाएँ गुणक के लिए आसानी से वर्णित किया जा सकता है- गुणक संक्रिया की गैर-अनुरूपता के माध्यम से ही।

हालाँकि, यह अभी भी $A\cdot B=B\cdot A$ की तरह निकलता है, ऐसे मैट्रिक्स को क्रमपरिवर्तनीय कहा जाता है।

मैट्रिक्स के बीच में, विशेष रूप से t से वहां गुणा कैसे करें, जैसे कि मैट्रिक्स $A$ से गुणा करते समय फिर से $A$ दें:

नियुक्ति। मैट्रिक्स $E$ को पहचान मैट्रिक्स कहा जाता है, अर्थात $A\cdot E=A$ या $E\cdot A=A$। हम वर्ग मैट्रिक्स $A$ के साथ निम्नलिखित लिख सकते हैं:

एक के बाद एक मैट्रिक्स मैट्रिक्स संरेखण के पूरा होने के घंटे के सार का एक हिस्सा है। मैंने मेट्रिसेस के प्रकाश में भाग लिया। :)

और tsiu $E$ dehto के माध्यम से वह सब जंगली सामान देखा, जैसे कि इसे आगे लिखा जाएगा।

प्रतिवर्ती मैट्रिक्स क्या है

कई मैट्रिसेस के टुकड़े एक श्रमसाध्य ऑपरेशन हैं (आपको पंक्तियों और स्तंभों का एक गुच्छा गुणा करना होगा), फिर पिवटल मैट्रिक्स की समझ भी तुच्छ नहीं प्रतीत होती है। मैं कुछ स्पष्टीकरण मांगता हूं।

नियुक्ति की कुंजी

खैर, सच्चाई जानने का समय आ गया है।

नियुक्ति। मैट्रिक्स $B$ को मैट्रिक्स $A$ के लिए महत्वपूर्ण कहा जाता है, इसलिए

रिवर्स मैट्रिक्स को $((A)^(-1))$ द्वारा दर्शाया जाता है (कदमों से न भटकें!), जिसे इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

सब कुछ सरल और स्पष्ट हो तो बेहतर होगा। अले, इस तरह के पदनाम का विश्लेषण करते समय, मैं तुरंत सत्ता के लिए स्प्रैट को दोष देता हूं:

1. ची ज़वज़्दी वोरोत्ना मैट्रिक्स? और यदि आप शुरू नहीं करते हैं, तो आप कैसे संकेत देते हैं: यदि यह बाहर है, और यदि नहीं?
2. और किसने कहा कि ऐसा मैट्रिक्स एक है? क्या मौजूदा मैट्रिक्स $A$ के लिए कई युर्बा ऑफ रिटर्न हैं?
3. "टर्न" की मूंछें कैसी दिखती हैं? पसंद है, ठीक है, राहुवती?

एल्गोरिदम की गणना कैसे की जाती है - हम इसके बारे में साल में तीन बार बात करेंगे। अले पर पोषण v_dpovіmo छूत। आइए एक ठोस कठोरता को देखते हुए उन्हें औपचारिक रूप दें।

मुख्य शक्तियां

किसी कारण से, सिद्धांत में मैट्रिक्स $A$ जैसा दिखता है, ताकि $((A)^(-1))$ इसके लिए आवश्यक हो। एक बार में हम इस तथ्य के बारे में उलझन में हैं कि आक्रामक मैट्रिक्स वर्ग होने के कारण हैं, इसके अलावा, एक ही आकार: $ \ बाएँ [n \ बार n \ दाएँ] $।

लेम्मा 1. मैट्रिक्स $A$ को देखते हुए मैं їth $((A)^(-1))$ से लिपटा हुआ हूं। समान आपत्तिजनक मैट्रिक्स वर्गाकार हैं, इसके अलावा, समान क्रम $ n $।

सबूत। सब कुछ सरल है। मैट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$ चलो। अनुकूलन के लिए twir $A\cdot ((A)^(-1))=E$ के पैमाने, निर्दिष्ट क्रम के अनुसार $A$ और $((A)^(-1))$ मैट्रिक्स:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं[एम\बार एन \दाएं]\cdot \बाएं[ए\बार बी \दाएं]=\बाएं[एम\बार बी \दाएं] \\ और एन=ए \अंत( संरेखित करें)\]

यह मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिथ्म का एक सीधा परिणाम है: गुणांक $n$ और $a$ "पारगमन" और समान रूप से समान हैं।

उसी समय, रिवर्स गुणक असाइन किया गया है: $((A)^(-1))\cdot A=E$, इसलिए मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ और $A$ भी हैं निर्दिष्ट आदेश को सौंपा:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं[ए\बार बी \दाएं]\सीडीओटी संरेखित करें)\]

इसके अलावा, मध्यस्थता के बिना, हम इस बात को ध्यान में रख सकते हैं कि $A=\left[m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$। हालांकि, $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ असाइन करना संभव है, इसलिए मैट्रिक्स को आसानी से विस्तारित किया जा सकता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं[एम\बार एन \दाएं]=\बाएं[एन\बार एम \दाएं] \\ और एम=एन \अंत (संरेखित)\]

i-अक्ष बाहर निकलता है ताकि सभी तीन मैट्रिक्स - $ A $, $ ((A) ^ (-1)) $ i $ E $ - वर्ग आकार $ \ बाएँ [n \ बार n \ दाएँ] $ हों। लेम्मा दिया।

अच्छा, यह पहले से ही खराब है। हम, जो वेयरवोल्स बन जाते हैं, वर्गाकार मेट्रिसेस से छोटे होते हैं। अब हम बदल रहे हैं, कि केवल एक रिटर्न मैट्रिक्स है।

लेम्मा 2. मैट्रिक्स $A$ को देखते हुए मैं їth $((A)^(-1))$ से लिपटा हुआ हूं। वही उत्क्रमण मैट्रिक्स एक है।

सबूत। Pidemo in protivolezhnoy: मान लें कि मैट्रिक्स $A$ को रिवर्स की दो प्रतियां चाहिए - $B$ और $C$। Todі, zgіdno z znachennyam, virnі takі іvnostі:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ए\cdot B=B\cdot A=E; \& A \ cdot C = C \ cdot A = E. \\ \end(align)\]

यह संभव है कि सभी आव्यूह - $ A $, $ B $, $ C $ i $ E $ - एक ही क्रम में वर्गाकार हों: $ \ बाएँ [n \ बार n \ दाएँ] $। ओत्ज़े, टीवीर को नियुक्त किया गया था:

साहचर्य रूप से मैट्रिसेस के गुणन के अंश (लेकिन कम्यूटेटिव रूप से नहीं!), हम लिख सकते हैं:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\&B\cdot A\cdot C=B\cdot\left(A\cdot C\right)=B\cdot E=B; \&B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C.\\ \end(align)\]

ओट्रीमाली एडिनो संभव विकल्प: पिवट मैट्रिक्स के दो उदाहरण बराबर। लेम्मा दिया।

मिररिंग लाना सभी वास्तविक संख्याओं $b\ne 0$ के लिए निर्णायक तत्व की एकता के प्रमाण को शब्दशः दोहरा सकता है। पूरकता का एकमात्र स्रोत मैट्रिक्स के विस्तार की उपस्थिति है।

Vtіm, mi dosi उन लोगों के बारे में कुछ नहीं जानता, ची वर्ग मैट्रिक्स प्रतिवर्ती। यहां, सभी वर्ग मैट्रिक्स के लिए मुख्य विशेषता बचाव के लिए आती है।

लेम्मा 3. एक मैट्रिक्स $A$ दिया गया। चूंकि मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ इसके प्रतिवर्ती है, तो आउटपुट मैट्रिक्स का संकेत शून्य के बराबर है:

\[\बाएं| ए \दाएं|\ne 0\]

सबूत। हम पहले से ही जानते हैं कि $A$ और $((A)^(-1))$ वर्ग मैट्रिक्स $\left[ n\times n \right]$ हैं। इसके अलावा, उनकी त्वचा की गणना एक प्रतीक के रूप में की जा सकती है: $\बाएं| ए \दाएं|$ मैं $\बाएं| ((ए)^(-1)) \right|$। Vyznachniks के पुण्य निर्माण के निर्माण के लिए प्राइमेट का विरोध करें:

\[\बाएं| ए\सीडॉट बी \दाएं|=\बाएं| एक \दाएं|\cdot \बाएं| बी \दाएं|\दायां तीर \बाएं| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\बाएं| ए \दाएं|\cdot \बाएं| ((ए)^(-1)) \right|\]

Ale zgіdno z गंतव्य $A\cdot ((A)^(-1))=E$, और हर $E$ हमेशा 1 पर जाता है, इसलिए

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ और \बाएं| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\बाएं| ई\दाएं|; \\ और \बाएं| एक \दाएं|\cdot \बाएं| ((ए)^(-1)) \right|=1. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

दो नंबरों की प्राप्ति केवल एक के बराबर होती है, यदि इन नंबरों की त्वचा शून्य के बराबर है:

\[\बाएं| ए \राइट|\ने 0;\क्वाड \बाएं| ((ए)^(-1)) \right|\ne 0.\]

एक्सिस आई गो आउट, थानेदार $ \ लेफ्ट | ए \right|\ne 0$। लेम्मा दिया।

वास्तव में, यह सब अधिक तार्किक है। एक बार हम पिवट मैट्रिक्स के महत्व के एल्गोरिदम का विश्लेषण करेंगे - और मैं समझूंगा कि सिद्धांत रूप में, किसी भी पिवट मैट्रिक्स के शून्य पिवट को प्रमाणित करना असंभव क्यों है।

कोब के लिए अली "अतिरिक्त" नियुक्ति तैयार करते हैं:

नियुक्ति। एक विरोजन मैट्रिक्स दुनिया का एक वर्ग मैट्रिक्स है $ \ बाएँ [n \ बार n \ दाएँ] $, जिसका चिह्न शून्य के बराबर है।

ऐसे रैंक में, हम पुष्टि कर सकते हैं कि क्या रिवर्स मैट्रिक्स गैर-कुंवारी है।

रिटर्न मैट्रिक्स कैसे पता करें

आइए रिटर्न मैट्रिसेस के ज्ञान के लिए एक सार्वभौमिक एल्गोरिथ्म पर एक नज़र डालें। Vzagali, issnuіє दो zagalnopriynyati एल्गोरिदम, यह अन्य mi इतना skogodnі razglyadno है।

वह जिसे एक बार में देखा जाएगा, मैट्रिसेस के लिए और भी अधिक कुशल $ \ बाएँ [2 \ गुना 2 \ दाएँ] $ i - आंशिक - $ \ बाएँ [3 \ बार 3 \ दाएँ] $ का विस्तार करें। और अक्ष $ \ बाएँ [4 \ बार 4 \ दाएँ] का विस्तार करना शुरू कर रहा है $ योगो को स्थिर न करना बेहतर है। क्यों एक बार में सब समझ जाएंगे।

बीजीय जोड़

तैयार कर। नाइन होगा। नहीं, चिंता न करें: बेडसाइड पर सुंदर नर्स आपके पास नहीं आएगी, फीते वाले पंचोख और बेडसाइड पर इंजेक्शन न दें। सब कुछ कहीं अधिक नीरस है: उसमें बीजगणितीय जोड़ "यूनियन मैट्रिक्स" की महानता आपके ऊपर जाएगी।

चलो सिर से शुरू करते हैं। इसे एक वर्ग मैट्रिक्स $ A = \ बाएँ [n \ बार n \ दाएँ] $ होने दें, जिसके तत्वों को $ ((a)_ (ij)) $ कहा जाता है। फिर, ऐसे त्वचा तत्व के लिए, आप बीजगणित के लिए एक जोड़ निर्दिष्ट कर सकते हैं:

नियुक्ति। $((A)_(ij))$ बीजगणित के अतिरिक्त तत्व $((a)_(ij))$ तक, जो मैट्रिक्स के $i$वें पंक्ति और $j$वें कॉलम पर है $A=\बाएं[ n \times n \right]$

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

डी $M_(ij)^(*)$ आउटपुट $A$ से लिए गए मैट्रिक्स का प्रारंभिक मान है और समान $i$-th पंक्ति और $j$-th कॉलम से मेल खाता है।

एक और बार। निर्देशांक के साथ मैट्रिक्स तत्व के लिए बीजगणित परिशिष्ट $\left(i;j \right)$ को $((A)_(ij))$ के रूप में असाइन किया गया है और पैटर्न के बाद खाते में लिया जाता है:

1. सिर के पीछे, यह आउटपुट मैट्रिक्स $i$-row और $j$-th row से बिखरा हुआ है। हम एक नया वर्ग मैट्रिक्स निकालते हैं i vyznachit mi को $M_(ij)^(*)$ के रूप में दर्शाया गया है।
2. आइए इस चर को $((\left(-1 \right))^(i+j))$ से गुणा करें - इस चर के विपरीत को दिमागी बनाया जा सकता है, लेकिन वास्तव में यह $M_(ij)^ से पहले सिर्फ एक संकेत है (*)$.
3. Vvazhaemo - otrimuemo विशिष्ट संख्या। टोबटो। बीजगणित का योग अपने आप में एक संख्या है, नया आव्यूह नहीं, इत्यादि।

मैट्रिक्स $M_(ij)^(*)$ को ही तत्व $((a)_(ij))$ तक पूरक नाबालिग कहा जाता है। और इस अर्थ में, हमने बीजीय योग के अधिक महत्व का परिचय दिया है;

महत्वपूर्ण सम्मान। "वयस्क" गणित में ज़गल, बीजीय जोड़ निम्नानुसार दर्शाए गए हैं:

1. एक वर्ग मैट्रिक्स $ k $ पंक्तियाँ i $ k $ कॉलम में लें। दृश्य की दूसरी पंक्ति पर, मैट्रिक्स $\बाएं[k\times k \right]$ तक फैलता है - हस्ताक्षरकर्ता को ऑर्डर $k$ का नाबालिग कहा जाता है और इसे $((M)_(k))$ सौंपा जाता है। .
2. आइए हम "चयनित" $k$ पंक्तियों और $k$ स्तंभों की संख्या को अलग करें। एक वर्ग मैट्रिक्स को तोड़ें - अंक को पूरक नाबालिग कहा जाता है और इसे $M_(k)^(*)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
3. हम $M_(k)^(*)$ को $((\left(-1 \right))^(t))$ से गुणा करते हैं, जहां $t$ चयनित पंक्तियों और स्तंभों में संख्याओं का योग है। त्से मैं बीजगणित के अतिरिक्त होगा।

तीसरी फसल पर एक नज़र डालें: $2k$ दान की राशि थी! इसके अलावा, $k=1$ के लिए हम केवल 2 अतिरिक्त ले सकते हैं - मैं वे $i+j$ - तत्व $((a)_(ij))$ के "निर्देशांक" होंगे, जिसके लिए हमें एक परिशिष्ट की आवश्यकता है बीजगणित का।

इस पद पर आज विकरवादियों को नियुक्ति आसानी से माफ कर दी जाती है। अले याक मि नदली, योगो अधिक निज़ दिखाई देते हैं। महत्वपूर्ण बात कहाँ आ रही है:

नियुक्ति। वर्ग मैट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ के लिए संयोजन मैट्रिक्स $S$ $\बाएं[ n\times n \right]$ का विस्तार करने वाला मूल्य मैट्रिक्स है, ताकि $A से बाहर आ सके $((a)_(ij))$ बीजगणितीय जोड़ $((A)_(ij))$ को बदलकर $:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( ए)_(21)) और ((ए)_(22)) और ... और ((ए)_(2एन)) \\ ... और ... और ... और ... \\ ((ए)_(एन1)) और ((ए)_(एन2)) और ... और ((ए)_(एनएन)) \\\end(मैट्रिक्स) \right]\]

पहला विचार, जो नियुक्ति को नोटिस करते समय दोष देता है - "ऐसा नहीं है कि आप कितना खुश हो सकते हैं!" आराम करें: राहुवती होती है, लेकिन पहले से इतनी नहीं। :)

खैर, यह सब बहुत अच्छा है, लेकिन और क्या चाहिए? और अब धुरी।

मुख्य प्रमेय

आइए थोड़ा पीछे मुड़ें। याद रखें, लेम्मा 3 में यह कहा गया था कि प्रतिवर्ती मैट्रिक्स $A$ जरूरी नहीं है कि यह वायरोजेनस हो (अर्थात, यह शून्य का डिफ़ॉल्ट है: $ \ left | A \ right | \ ne 0 $)।

तो अक्ष, सत्य और उल्टा: मैट्रिक्स $ ए $ के रूप में वायरोजेनस नहीं है, यह निश्चित रूप से उलटा है। $((A)^(-1))$ की तलाश करके वास्तविक योजना का पता लगाएं। चेक आउट:

उत्क्रमण मैट्रिक्स प्रमेय। आइए एक वर्ग मैट्रिक्स $ A = \ बाएँ [n \ बार n \ दाएँ] $ दें, और її शून्य का सूचक है: $ \ बाएँ | ए \right|\ne 0$। फिर रिवर्स मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ का उपयोग किया जाता है और सूत्र द्वारा सम्मानित किया जाता है:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

और अब - सभी समान, एले razbіrlivim लिखावट। पिवट मैट्रिक्स को जानने के लिए, यह आवश्यक है:

1. दूरदर्शी $ \ बाएँ भाड़ में जाओ | A \right|$ और सामंजस्य, scho vіn vіdminny vіd शून्य।
2. फिर यूनियन मैट्रिक्स $S$ को मोड़ें। बीजगणित $((A)_(ij))$ में 100,500 जोड़ एकत्र करें और उन्हें रिक्त स्थान $((a)_(ij))$ में रखें।
3. मैट्रिक्स $S$ को स्थानांतरित करें, और फिर її को संख्या $q=(1)/(\left|A \right|)\;$ से गुणा करें।

मैं सब कुछ! रिटर्न मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ मिला। आइए बट को देखें:

\[\बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 3 और 1 \\ 5 और 2 \\\अंत (मैट्रिक्स) \दाएं]\]

समाधान। आइए वेयरवोल्फ को फिर से परिभाषित करें। पोराहुमो विज़्नाचनिक:

\[\बाएं| ए \दाएं|=\बाएं| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Vyznachnik vіdminny vіd शून्य। तो मैट्रिक्स उलटा है। हम संघ मैट्रिक्स जोड़ते हैं:

हमें बीजीय योगों की आवश्यकता है:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\दाएं|=2; \\ ((ए)_(12))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(1+2))\cdot \बाएं| 5\दाएं|=-5; \\ और ((ए)_(21))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(2+1))\cdot \बाएं| 1 \दाएं|=-1; \\ और ((ए)_(22))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(2+2))\cdot \बाएं| 3\दाएं|=3. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

सम्मान अर्जित करें: vyznachniki | 2 |, | 5 |, | 1 | वह |3| - यह स्वयं मॉड्यूल नहीं है जो मैट्रिक्स को $\बाएं[1\बार 1\दाएं]$ तक विस्तारित करता है, न कि मॉड्यूल। टोबटो। चूंकि सूचियों में ऋणात्मक संख्याएँ थीं, इसलिए "ऋण" को हटाना आवश्यक नहीं है।

तो, हमारा संबद्ध मैट्रिक्स इस तरह दिखता है:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (r)) 2 और -5 \\ -1 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ]) ^ (T)) = \ बाएँ [ \ start (सरणी)(*(35)(आर)) 2 और -1 \\ -5 और 3 \\\ अंत (सरणी) \right]\]

खैर, मैं से सब कुछ। कार्य समाप्त हो गया है।

विदपोविद। $\बाएं [ \ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) 2 और -1 \\ -5 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दायां] $

प्रबंधक। लिपटे मैट्रिक्स खोजें:

\[\बाएं[ \शुरू(सरणी)(*(35)(आर)) 1 और -1 और 2 \\ 0 और 2 और -1 \\ 1 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \दाएं] \]

समाधान। मुझे फिर से खेद है, नेता:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix) ) \बाएं(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\बाएं (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\end(matrix)= \ \ & =\बाएं(2+1+0 \दाएं)-\बाएं(4+0+0 \दाएं)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

शून्य के vіdmіnny vіd का सूचक रिवर्स मैट्रिक्स है। और अक्ष एक ही बार में सबसे महत्वपूर्ण होगा: आपको 9 (नौ, माँ їх!) बीजगणितीय जोड़ लेने की आवश्यकता है। मैं उन्हें $\left[ 2\times 2 \right]$ की मदद से स्किन करता हूं। उड़ गया:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((ए)_(12))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(1+2))\cdot \बाएं| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((ए)_(13))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(1+3))\cdot \बाएं| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((ए)_(33))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(3+3))\cdot \बाएं| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \अंत (मैट्रिक्स)\]

संक्षेप में, संबद्ध मैट्रिक्स इस तरह दिखता है:

पिता, रिटर्न मैट्रिक्स इस तरह होगा:

\[((ए)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 और 1 और 2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] = \ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (r)) -2 और -1 और 3 \\ 1 और 1 और -1 \ \ 2 और 1 और -2 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\]

अक्ष और सभी। अक्ष और vіdpovіd।

विदपोविद। $\बाएं [\ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) -2 और -1 और 3 \\ 1 और 1 और -1 \\ 2 और 1 और -2 \\\ अंत (सरणी) \ सही ]$

एक बैकाइट की तरह, उदाहरण के लिए, एक त्वचा बट, हमने फिर से जांच की। Zv'azku z tsim में महत्वपूर्ण सम्मान:

संशोधित करने में संकोच न करें। दिए गए मैट्रिक्स को ज्ञात रिटर्न से गुणा करें - आप $E$ पा सकते हैं।

Vikonati tsiu reverbka swidshe की तुलना में काफी सरल है, दूर की गणना से कम शुकत क्षमा, यदि, उदाहरण के लिए, आप मैट्रिक्स समीकरण का उल्लंघन कर रहे हैं।

वैकल्पिक तरीका

जैसा कि मैंने कहा, उत्क्रमण मैट्रिक्स प्रमेय $\बाएं[2\बार 2\दाएं]$ और $\बाएं[3\गुना 3\दाएं]$ "") के विस्तार के लिए चमत्कारिक ढंग से काम करता है, और महान विस्तार के मैट्रिक्स के लिए अक्ष है प्रत्यक्ष राशि के आधार पर।

लेकिन चिंता न करें: एक वैकल्पिक एल्गोरिथम है, जिसकी मदद से आप मैट्रिक्स $\left[ 10\times 10 \right]$ के लिए वापसी मान प्राप्त कर सकते हैं। लेकिन, जैसा कि अक्सर होता है, यह देखने के लिए कि कौन सा एल्गोरिदम हमें एक छोटे से सैद्धांतिक परिचय की आवश्यकता है।

प्राथमिक परिवर्तन

मैट्रिक्स के विभिन्न परिवर्तनों में से कुछ विशेष परिवर्तनों को प्राथमिक कहा जाता है। ऐसे तीन परिवर्तन हैं:

1. एकाधिक। आप $i$-th पंक्ति (स्टो) ले सकते हैं और योगो को संख्या $k\ne 0$ से गुणा कर सकते हैं;
2. परिशिष्ट। $i$-th पंक्ति (ढेर) में किसी भी अन्य $j$-th पंक्ति (ढेर) में जोड़ें, संख्या $k\ne 0$ पर गुणा (आप स्पष्ट रूप से, i $k=0$ कर सकते हैं, लेकिन क्या अर्थ है क्या किसी के पास है? कुछ नहीं बदलेगा।
3. क्रमपरिवर्तन। $i$-th और $j$-th पंक्तियां (stovptsі) लें और उन्हें चंद्रमाओं के साथ मनाएं।

इन परिवर्तनों को प्राथमिक क्यों कहा जाता है (महान मैट्रिक्स के लिए, बदबू अब इतनी प्राथमिक नहीं लगती है) और उनमें से केवल तीन ही क्यों हैं - पोषण आज के पाठ के दायरे से परे है। तो चलिए विस्तार में नहीं जाते।

यह अधिक महत्वपूर्ण है: सभी चिंताओं को हमें अपनाए गए मैट्रिक्स पर दूर करना है। तो, इसलिए: आप समाप्त नहीं हुए हैं। समय के साथ, एक और नियुक्ति होगी - इस दिन के पाठ में रुकें।

स्वीकृत मैट्रिक्स

अकेले, स्कूल में, तह की विधि द्वारा समानता की प्रणाली विकसित की गई थी। खैर, वहाँ, एक पंक्ति से दूसरी पंक्ति देखें, प्रत्येक पंक्ति को एक संख्या से गुणा करें - अक्ष ही सब कुछ है।

तो धुरी: एक ही बार में आप सभी समान होंगे, लेकिन पहले से ही "बड़े हो गए"। आप तैयार हैं?

नियुक्ति। दिए गए मैट्रिक्स $A = \left[n\times n\right]$ i सिंगल मैट्रिक्स $E$ को समान आकार $n$ दें। फिर मैट्रिक्स $\बाएं[ए\बाएं| ई \ सही। \right]$ - $\left[ n\times 2n \right]$ के लिए एक नया मूल्य मैट्रिक्स, इस तरह दिख रहा है:

\[\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \ दाएँ] = \ बाएँ [ \ start (सरणी) (rrrr | rrrr) ((a)_(11)) और ((a)_(12)) और ... और ((a)_(1n)) और 1 और 0 और ... और 0 \\ ((ए)_(21)) और ((ए)_(22)) और ... और ((ए)_(2एन)) और 0 और 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

छोटा प्रतीत होता है, मैट्रिक्स $A$ लें, दाएं हाथ से इसे एक-एक करके आवश्यक आकार के मैट्रिक्स $E$ के लिए जिम्मेदार ठहराया, सुंदरता के लिए लंबवत चावल से विभाजित - अक्ष आपको दिया गया है।

हंसने जैसा क्या है? और धुरी के बारे में क्या:

प्रमेय। मैट्रिक्स $A$ को उल्टा होने दें। आइए एक नज़र डालते हैं आने वाले मैट्रिक्स पर $ \ बाएँ [ A \ बाएँ | ई \ सही। \दाएं]$. मदद के लिए यक्षो पंक्तियों का प्राथमिक परिवर्तन$ \ बाएँ देखने के लिए її लाएँ [ E \ बाएँ | चमकदार। \ दाएँ] $, फिर। गुणक तरीका, जिसमें पंक्तियों के क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स $E$ को $A$ से दाएं हाथ में लेते हैं, फिर बुराई मैट्रिक्स $B$ को हटा दिया जाता है - इसे $A$ पर उलट दिया जाता है:

\[\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \दाएं]\से \बाएं[ई\बाएं| चमकदार। \दाएं]\दायां तीर बी=((ए)^(-1))\]

अक्ष इतना आसान है! संक्षेप में, जाहिरा तौर पर, धुरी मैट्रिक्स के महत्व के लिए एल्गोरिथ्म इस तरह दिखता है:

1. दिए गए मैट्रिक्स को लिखें $\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \ दाएँ] $;
2. विकोनुवती बिंदुओं की पंक्तियों का प्राथमिक परिवर्तन, $A$ को प्रदर्शित न करने के लिए $E$ को बदलने के अधिकार के डॉक;
3. चालाकी से, लीवरच एक मैट्रिक्स $B$ के रूप में प्रकट हो सकता है। मैं वापस आऊंगा;
4. लाभ! :)

खैर, यह कहना आसान है, यह कहना बेहतर है। तो आइए कुछ उदाहरणों पर एक नज़र डालते हैं: $\बाएं[3\गुना 3 \दाएं]$ और $\बाएं[4\गुना 4 \दाएं]$ का विस्तार करने के लिए।

प्रबंधक। लिपटे मैट्रिक्स खोजें:

\[\बाएं[ \शुरू(सरणी)(*(35)(आर)) 1 और 5 और 1 \\ 3 और 2 और 1 \\ 6 और -2 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\ ]

समाधान। हम दिए गए मैट्रिक्स को जोड़ते हैं:

\[\बाएं[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\]

एकल के साथ आउटपुट मैट्रिक्स की शेष पंक्ति के हिस्से, हम दूसरों की पहली पंक्ति देख सकते हैं:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 और 1 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) \ downarrow \\ -1 \\ -1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं] \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अब अकेले नहीं हैं, क्रीम की पहली पंक्ति। अले मील नहीं chіpaєmo, तीसरे स्टोवपसी में इनाक्षे अकेले ही "गुणा" करना शुरू करते हैं।

फिर हम बाकी से दो की एक और पंक्ति देख सकते हैं - हम निचले बाएँ कोने में एक लेते हैं:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 और 0 और -1 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) \ \\ \ downarrow \\ -2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ बाएँ [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं] \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अब आप पहली पंक्ति से शेष पंक्ति और दूसरी से दूसरी पंक्ति देख सकते हैं - इस तरह हम पहली पंक्ति को "शून्य" कर देते हैं:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\end(सरणी) \दाएं]\शुरू(मैट्रिक्स) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ to \बाएं [ \ start (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \\ 0 और -1 और 0 और -3 और 5 और -2 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करें, और फिर इसे पहली पंक्ति से 6 बार देखें और शेष में 1 बार जोड़ें:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ start (मैट्रिक्स) \ \\ \ बाएँ| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएं [ \ start (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \\ 0 और 1 और 0 और 3 & -5 और 2 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दायां] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) -6 \\ \ updownarrow \\ +1 \\\ अंत ( मैट्रिक्स)\ से \\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" \\ 1 और 0 & 0 और 4 और -7 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

मिशनों की पंक्तियों 1 और 3 को याद रखना अब पर्याप्त नहीं था:

\[\बाएं[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 और 32 और -13 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\]

तैयार! दाईं ओर एक शुकाना उत्क्रमण मैट्रिक्स है।

विदपोविद। $\बाएं [\ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) 4 और -7 और 3 \\ 3 और -5 और 2 \\ -18 और 32 और -13 \\\ अंत (सरणी) \ सही ]$

प्रबंधक। लिपटे मैट्रिक्स खोजें:

\[\बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 1 और 4 और 2 और 3 \\ 1 और -2 और 1 और -2 \\ 1 और -1 और 1 और 1 \\ 0 और -10 और -2 और -5 \\\अंत (मैट्रिक्स) \दाएं]\]

समाधान। मैं फिर से रचना कर रहा हूँ, मैं आऊँगा:

\[\बाएं[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1&4&2&3&1&0&0&0 \\ 1&-2&1&-2&0&1&0&0\ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\]

त्रोही पोज़ालिमामो, पोटुर्बुमोस्या इसके अलावा, स्किल्की एक बार राहुवत को होता है ... और पोचनेमो राहुवत। कोब के लिए, पहला कॉलम "शून्य" था, पंक्तियों 2 और 3 की पंक्ति 1 को देखते हुए:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 और 0 और 0 \\ 1 और -1 और 1 और 1 और 0 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\शुरू(मैट्रिक्स) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \\\end(मैट्रिक्स)\से \\ & \ से \बाएं[ \begin(सरणी)(rrrr|rrrr) 1 और 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \\ 0 और -6 और -1 और -5 और -1 और 1 और 0 और 0 \\ 0 और -5 और -1 और -2 और -1 और 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

2-4 पंक्तियों में Sposterigaemo अधिक समृद्ध रूप से "माइनस"। हम तीनों पंक्तियों को -1 से गुणा करते हैं, और फिर हम तीसरी पंक्ति को हटाते हैं, अंतिम पंक्ति 3 को देखते हुए:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 और 1 और 0 और 0 \\ 0 और -5 और -1 और -2 और -1 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\ \ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) \ \\ बाएँ | \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \बाएं| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \बाएं| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 और 1 और -1 और 0 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 10 और 2 और 5 और 0 और 0 और 0 और -1 \\ \ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ शुरू (मैट्रिक्स) -2 \\ -1 \\ \ updownarrow \\ -2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [ \ start (सरणी) ( rrrr|rrrr) 1 और -6 और 0 और -1 और -1 और 0 और 2 और 0 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\ अंत (सरणी) \ दायां] \\ \ अंत (संरेखण) \]

अब बाकी आउटपुट मैट्रिक्स "pіdsmazhiti" का समय है: हम दूसरों की पंक्ति 4 देख सकते हैं:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 और -1 और 1 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत (सरणी ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 और -6 और 0 और 0 और -3 और 0 और 4 और -1 \\ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 5 और 1 और 0 और 5 और 0 और -5 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\ अंत (सरणी) \ दायां] \\ \ अंत (संरेखण) \]

अंतिम थ्रो: "विपली" एक और कदम, पंक्ति 1 और 3 की पंक्ति 2 को देखते हुए:

\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 5 और 1 और 0 और 5 और 0 और -5 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत ( सरणी) \ दाएँ] \ शुरू (मैट्रिक्स) 6 \\ \ updownarrow \\ -5 \\ \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [ \ start (सरणी) (rrrr | rrrr) 1 &0&0&0&0&33& -6&-26&-17 \\0&1&0&0&6&-1&-5&3\\0&0&0&0&-25&5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \ दाएं] \\ \अंत (संरेखित करें)\]

मैं फिर से सिंगल मैट्रिक्स से नाराज हूं, जिसका मतलब है कि राइट-हैंड रिवर्स है। :)

विदपोविद। $\बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 33 और -6 और -26 और 17 \\ 6 और -1 और -5 और 3 \\ -25 और 5 और 20 और -13 \\ -2 और 0 और 2 और - 1 \\\अंत (मैट्रिक्स) \दाएं]$

खैर, मैं से सब कुछ। खुद एक संशोधन करें - मुझे ब्रच में।

इस लेख में, आइए टर्निंग मैट्रिक्स की अवधारणाओं, प्रभुत्व और महत्व के तरीकों पर एक नज़र डालें। आइए अनुप्रयोगों के समाधान को विस्तार से देखें, जिसमें किसी दिए गए के लिए एक लिपटे मैट्रिक्स को प्रेरित करना आवश्यक है।

किनारे पर नेविगेशन।

मुख्य मैट्रिक्स एक दृष्टि है।

एक परिक्रामी मैट्रिक्स की अवधारणा केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए पेश की जाती है, किसी भी ज्ञात प्रकार के शून्य के संकेतक, इसलिए गैर-कुंवारी वर्ग मैट्रिक्स के लिए।

नियुक्ति।

मैट्रिक्स को मैट्रिक्स के लिए धुरी कहा जाता है, vyznachnik शून्य के नियम के रूप में, निष्पक्ष समानता के रूप में , de E - क्रम n बटा n का अकेला आव्यूह।

Znahodzhennya zvorotnoj अतिरिक्त मैट्रिक्स z dodatkіv बीजगणित के लिए मेट्रिसेस।

qієї के लिए रिटर्न मैट्रिक्स को कैसे शुकाती करें?

सबसे पहले, हमें समझने की जरूरत है ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स, मैट्रिक्स माइनर और मैट्रिक्स तत्व के बीजीय पूरक।

नियुक्ति।

माइनर के-वें क्रममैट्रिक्स ए ऑफ ऑर्डर एम बाय एन - ऑर्डर के मैट्रिक्स का इंडेक्स के द्वारा के, ताकि मैट्रिक्स ए के तत्वों से आ सके, जिन्होंने के पंक्तियों और के कॉलम का चयन किया है। (k सबसे छोटी h संख्या m या n को स्थानांतरित नहीं करता है)।

माइनर (n-1)-वें क्रम, जो सभी पंक्तियों के तत्वों से बना है, crim i-ої, i सभी स्तंभों का, crim j-th, वर्ग मैट्रिक्स और क्रम n बाय n महत्वपूर्ण याक है।

दूसरे शब्दों में, अवयस्क वर्ग मैट्रिक्स A से क्रम n ब n से i-वें पंक्ति और j-वें स्तंभ के तत्वों के साथ बाहर आता है।

उदाहरण के लिए, हम इसे लिखते हैं, एक अलग क्रम का एक नाबालिग, जो मैट्रिक्स से निकलता है दूसरी, तीसरी पंक्ति और पहले, तीसरे स्तंभ के तत्वों का चुनाव . इसे नाबालिग भी दिखाया गया है, जो मैट्रिक्स से बाहर आता है vikresluvannyam एक और पंक्ति जो तीसरी स्तोत्स्या . आइए इन अवयस्कों का वर्णन करें: i.

नियुक्ति।

बीजीय जोड़वर्ग मैट्रिक्स के तत्वों को (n-1)वें क्रम का माइनर कहा जाता है, जो मैट्रिक्स A से आता है, i-वें पंक्ति और j-वें कॉलम में तत्वों का समावेश, से गुणा।

तत्व का बीजीय योग इस प्रकार दर्शाया गया है। इस तरह से, .

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स के लिए तत्व का बीजीय योग।

एक अलग तरीके से, हमें प्रमुख की दो शक्तियों की आवश्यकता होती है, जैसा कि हमने मैट्रिक्स के प्रमुख की गणना के वितरण से लिया है:

मध्यस्थ की शक्तियों के आधार पर, मैट्रिक्स को संख्या से गुणा करने और निर्णायक मैट्रिक्स की समझ के लिए निर्दिष्ट संचालन उचित है , डी - ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स, जिसके तत्व बीजगणित के उपांग हैं।

आव्यूह यह मैट्रिक्स ए के लिए प्रभावी है, तो कैसे समानता . आइए इसे दिखाते हैं

स्क्लेडेमो रोटेशन मैट्रिक्स एल्गोरिदमविजयी उत्साह के साथ .

आइए बट से पिवट मैट्रिक्स के महत्व के एल्गोरिदम का विश्लेषण करें।

बट

एक मैट्रिक्स दिया गया . लिपटे मैट्रिक्स का पता लगाएं।

समाधान।

आइए मैट्रिक्स ए के संकेतक की गणना करें, तीसरे कॉलम के तत्वों के पीछे योग की व्याख्या करते हुए:

Vіdmіnniy vіd शून्य का सूचक, इसलिए मैट्रिक्स A उलटा है।

हम बीजगणित के अतिरिक्त मैट्रिक्स को जानते हैं:

टॉम

हम बीजगणित में परिवर्धन के साथ मैट्रिक्स को भी स्थानांतरित कर सकते हैं:

अब हम रिटर्न मैट्रिक्स याक को जानते हैं :

हम घटाए गए परिणाम की समीक्षा करते हैं:

हिस्सेदारी vykonuyutsya, otzhe, zvorotna मैट्रिक्स को सही ढंग से जाना जाता है।

निर्णायक मैट्रिक्स का प्रभुत्व।

पुण्य मैट्रिक्स को समझना, ईर्ष्या , मैट्रिसेस पर संचालन का पदनाम और मैट्रिक्स के डिज़ाइनर की शक्ति की अनुमति है निर्णायक मैट्रिक्स की शक्ति:

गॉस-जॉर्डन विधि द्वारा Znakhodzhennya zvorotnoi मैट्रिक्स।

सीरम मैट्रिक्स के महत्व के लिए वैकल्पिक तरीके स्थापित करें, उदाहरण के लिए, गॉस-जॉर्डन विधि।

गॉस-जॉर्डन पद्धति का सार इस तथ्य में निहित है कि एक एकल मैट्रिक्स ई के साथ प्राथमिक परिवर्तन करने के लिए, जिसके द्वारा एक गैर-विषाणु वर्ग मैट्रिक्स ए को ई से प्रेरित किया जाता है, फिर हम एक रिवर्स मैट्रिक्स देखते हैं।

गॉस-जॉर्डन विधि द्वारा मैट्रिक्स ए को n से n के क्रम में कम करने के लिए एल्गोरिथ्म का वर्णन करें, जो शून्य के बराबर नहीं है, एक एकल मैट्रिक्स के लिए। मैं एक उदाहरण का उपयोग करके एल्गोरिथ्म का वर्णन करूंगा, ताकि सब कुछ समझ में आ जाए।

आइए मैट्रिक्स को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि तत्व एक ठोस हो जाए, और पहले कॉलम के तत्वों की पंक्तियाँ शून्य हो जाएं।

यक्षो, फिर पहली पंक्ति का स्थान k-th पंक्ति (k> 1) में, yakіy में रखा जाता है, लेकिन k-th पंक्ति के स्थान पर, पहले वाला रखा जाता है। (पंक्ति s obov'yazkovo issnuє, इनाक्षे मैट्रिक्स ए वायरोजेन है)। पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करने के बाद, उन्होंने "नया" मैट्रिक्स ए, याक माє को हटा लिया।

अब पहली पंक्ति के त्वचा तत्व को से गुणा करें। तो हम "नए" मैट्रिक्स A, y y पर पहुंचते हैं। दूसरी पंक्ति के तत्वों में डालिए, पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ें। तीसरी पंक्ति के तत्वों से पहले - पहली पंक्ति के मुख्य तत्वों से गुणा किया जाता है। मैं इस प्रक्रिया को n-वें पंक्ति समावेशी तक जारी रखता हूं। इस प्रकार, मैट्रिक्स ए के पहले कॉलम के दूसरे से शुरू होने वाले सभी तत्व शून्य हो जाते हैं।

पहले चरण से, हमने इसे अलग कर लिया, आइए अगले चरण पर चलते हैं।

आइए मैट्रिक्स ए को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि तत्व एक ठोस बन जाए, और अन्य सभी तत्व, से शुरू होकर, शून्य हो जाते हैं।

यक्षो, फिर के-वें पंक्ति (के> 2) को दूसरी पंक्ति के स्थान पर रखा जाता है, और मित्र को के-वें पंक्ति के स्थान पर रखा जाता है। तो otrimuєmo perebrazuyu मैट्रिक्स ए, याकोय। हम दूसरी पंक्ति के सभी तत्वों को से गुणा करते हैं। उसके बाद, तीसरी पंक्ति के तत्वों में, हम दूसरी पंक्ति के निम्नलिखित तत्वों को गुणा करते हैं। चौथी पंक्ति के तत्वों से पहले - दूसरी पंक्ति के अगले तत्वों से गुणा किया जाता है। मैं इस प्रक्रिया को n-वें पंक्ति समावेशी तक जारी रखता हूं। तो तीसरे से शुरू होने वाले अन्य मैट्रिक्स ए के सभी तत्व शून्य हो जाते हैं, और एक से अधिक हो जाते हैं।

हम एक और कदम के साथ समाप्त करते हैं, हम तीसरे चरण में जाते हैं और एक समान परिवर्तन करते हैं।

इसलिए हम इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि मैट्रिक्स ए के सिर के विकर्ण के सभी तत्व एक के बराबर न हो जाएं, और सिर के विकर्ण के नीचे के सभी तत्व शून्य के बराबर न हो जाएं।

इस क्षण से, हम गॉस-जॉर्डन पद्धति में बदलाव शुरू करते हैं। अब मैट्रिक्स A का रीमेक बनाते हैं ताकि n-वें कॉलम के सभी तत्व, krіm, शून्य हो जाएं। (n-1)वें पंक्ति के तत्वों में वें के लिए, nवीं पंक्ति के दूसरे तत्वों को गुणा करके जोड़ें। (n-2)वें पंक्ति के तत्वों से पहले - nवीं पंक्ति के अगले तत्वों को . से गुणा किया जाता है। मैं इस प्रक्रिया को पहली पंक्ति के समावेशी तक जारी रखता हूं। अतः आव्यूह A (crim) के n-वें स्तंभ के सभी अवयव शून्य हो जाते हैं।

शेष स्टोव के साथ, हमने इसे उठाया, (एन -1) वें पर जाएं।

आइए मैट्रिक्स ए को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि (एन -1) वें कॉलम के सभी तत्व शून्य हो जाएं। (n-2)वीं पंक्ति के पहले तत्व के लिए, हम (n-1)वें पंक्ति के दूसरे तत्व को से गुणा करते हैं। (n-3)वें पंक्ति के तत्वों से पहले - (n-1)वें पंक्ति के अगले तत्वों को . से गुणा किया जाता है। मैं इस प्रक्रिया को पहली पंक्ति के समावेशी तक जारी रखता हूं। अतः आव्यूह A (crim) के (n-1)-वें स्तंभ के सभी अवयव शून्य हो जाते हैं।

बट

होवर मैट्रिक्स गॉस - जॉर्डन के अतिरिक्त परिवर्तन के साथ एकल के लिए।

समाधान।

Oskіlki , लेकिन , फिर हम मैट्रिक्स की पहली और दूसरी पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, हम मैट्रिक्स लेते हैं .

हम मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के सभी तत्वों को गुणा करते हैं: .

दूसरी पंक्ति के तत्वों में, हम पहली पंक्ति के समतुल्य तत्वों को 0 से गुणा करते हैं, और तीसरी पंक्ति के तत्वों में, हम पहली पंक्ति के समतुल्य तत्वों को (-4) से गुणा करते हैं:

आइए अगले चरण पर चलते हैं।

हटाए गए मैट्रिक्स का तत्व पहले से ही एक है, इसलिए दूसरी पंक्ति के तत्वों को गुणा करने की कोई आवश्यकता नहीं है। तीसरी पंक्ति के तत्वों से पहले, हम दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करते हैं:

चलिए तीसरे चरण पर चलते हैं।

हम तीसरी पंक्ति के तत्वों को इससे गुणा करते हैं: .

मैट्रिक्स के सिर के विकर्ण पर एकल हटा दिए जाते हैं, इसलिए मोड़ पर आगे बढ़ें।

दूसरी पंक्ति के तत्वों में, हम तीसरी पंक्ति के समतुल्य तत्वों को (-2) से गुणा करते हैं, और पहली पंक्ति के तत्वों में, हम तीसरी पंक्ति के समतुल्य तत्वों को गुणा करते हैं:

बाकी कॉलम में, हम आवश्यक शून्य तत्वों को हटाते हैं, हम अंतिम (दूसरे को) कॉलम में जाते हैं।

पहली पंक्ति के तत्वों से पहले, दूसरी पंक्ति के निम्नलिखित तत्वों को गुणा करके जोड़ें:
.

इस प्रकार, मैट्रिक्स के सभी परिवर्तन किए गए, और एकल मैट्रिक्स को हटा दिया गया।

सीरम मैट्रिक्स के मूल्य तक गॉस-जॉर्डन पद्धति को रोकने का समय आ गया है।

बट

के लिए एक उत्क्रमण मैट्रिक्स खोजें गॉस-जॉर्डन विधि।

समाधान।

पक्ष के बाईं ओर, हम मैट्रिक्स ए के साथ गॉस-जॉर्डन के परिवर्तन को अंजाम देंगे, और पक्ष का दाहिना हिस्सा एक ही मैट्रिक्स के साथ एक ही परिवर्तन के साथ काम करेगा।

Oskіlki, लेकिन, फिर हम पहली और दूसरी पंक्तियों को स्थानों के अनुसार पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के तत्वों को एक दूसरे से गुणा करें, ताकि तत्व एक हो जाए:

दूसरी पंक्ति के तत्वों में, पहली पंक्ति के दूसरी पंक्ति के तत्वों को 0 से गुणा करके, तीसरी पंक्ति के तत्वों में, पहली पंक्ति के दूसरी पंक्ति के तत्वों को, चौथी पंक्ति के तत्वों में 2 से गुणा करके, जोड़ें। - पहली पंक्ति के तत्व, 5 से गुणा करें:

तो, मैट्रिक्स ए के पहले कॉलम में, हमने शून्य तत्वों को हटा दिया। आइए अगले चरण पर चलते हैं। तत्व का एकल इकाई बनना संभव है। जिसके लिए हम मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति के तत्वों को गुणा करते हैं, उसी परिवर्तन को मैट्रिक्स के साथ दाईं ओर दोहराना न भूलें:

उन्होंने हमें तत्वों और शून्यों को जोड़ने की आवश्यकता दी, जिसके लिए, तीसरी पंक्ति के तत्वों में, हम दूसरी पंक्ति की दूसरी पंक्ति के तत्वों को 0 से गुणा करते हैं, और चौथी पंक्ति के तत्वों में, हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं दूसरी पंक्ति के तत्वों को इससे गुणा किया जाता है:

तो मैट्रिक्स ए के दूसरे पक्ष को इसके जैसा दिखने के लिए फिर से डिजाइन किया गया है। चलिए तीसरे चरण पर चलते हैं। चूंकि तत्व शून्य है, तो यह तीसरी और चौथी पंक्तियों को घटाता है:

हम तीसरी पंक्ति के तत्वों को इससे गुणा करते हैं:

मैट्रिक्स ए का तीसरा कॉलम, एक आवश्यक रूप प्राप्त कर रहा है (तत्व शून्य है, यह चौथी पंक्ति के तत्वों के लिए तीसरी पंक्ति के अतिरिक्त तत्वों को गुणा करने के लिए नहीं हुआ था)। चौथी पंक्ति को उनसे गुणा करना अब आवश्यक नहीं था, ताकि सिर के विकर्ण के सभी तत्व एक के बराबर हो जाएं:

गॉस-जॉर्डन पद्धति के लिए सीधा कदम पूरा हो गया है, टर्निंग मूव पर आगे बढ़ें। हम मैट्रिक्स ए के शेष कॉलम में आवश्यक शून्य तत्वों को हटा देते हैं। इसके लिए तीसरी पंक्ति के तत्वों में, शेष पंक्ति के तत्वों को दूसरी पंक्ति के तत्वों से गुणा करके दूसरी पंक्ति के तत्वों में जोड़ें - शेष पंक्ति के तत्वों को, से गुणा करके, पहली पंक्ति के तत्वों में - तत्व शेष पंक्ति का, 0 से गुणा किया गया:

हम दूसरे के तत्वों में जोड़ने के लिए सामने के कॉलम में शून्य निकालते हैं, जो तीसरी पंक्ति की दूसरी पंक्ति के तत्वों में पहली पंक्ति है, जिसे निम्न तरीके से 0 से गुणा किया जाता है:

बाकी परिवर्तन चला गया है। पहली पंक्ति के तत्वों से पहले, हम दूसरी पंक्ति के तत्वों को गुणा करते हैं:

बाद में, गॉस-जॉर्डन के परिवर्तनों द्वारा मैट्रिक्स ए को एक एकल मैट्रिक्स में घटा दिया गया है, और इस तरह के परिवर्तनों की मदद के पीछे एकल मैट्रिक्स स्वयं एक रिवर्सल मैट्रिक्स में कम हो गया है। इस क्रम में मैट्रिक्स का दाहिना हिस्सा छीन लिया गया। आप मैट्रिक्स के गुणन को रिवर्स मैट्रिक्स में परिवर्तित करके पुन: सत्यापन कर सकते हैं।

सुझाव:

.

Znahodzhennya elementіv vorotnoї matricі podpomogoyu dezvyazannya vіdpovіdnyh सिस्टम के लिए यह बीजगणित है।

आइए एक वर्ग मैट्रिक्स ए के लिए पिवट मैट्रिक्स का मूल्यांकन करने के लिए एक और तरीका देखें जो n ब n के क्रम में है।

रैखिक गैर-सजातीय बीजगणितीय समानता के शीर्ष n सिस्टम पर नींव की यह विधि n हमें बीजगणित की रैखिक गैर-समरूप समानता की तीन प्रणालियाँ देता है:

इन प्रणालियों के लिए समाधान लिखना संभव नहीं है, यदि आवश्यक हो, तो वितरण से पहले हमसे संपर्क करें।

पहली प्रणाली से, यह संभव है, दूसरे से -, तीसरे से -। ओत्ज़े, शुकाना ज़्वोरोत्ना मैट्रिक्स दिख सकता है . परिणाम की शुद्धता पर पुनर्विचार करने के लिए पुन: जांच करने की अनुशंसा की जाती है।

चलो एक बैग ले आओ।

हमने निर्णायक मैट्रिक्स, प्राधिकरण और तीन विधियों और znakhodzhennia की समझ को देखा।