अंतर को कैसे पेंच करें। एक परिवर्तन का विभेदक कार्य

भले ही मैंने (फिलहाल) यह नहीं बताया है कि ऐसा फंक्शन क्या है, फिर भी डिफरेंशियल फंक्शन क्या है, यह समझाने का कोई मतलब नहीं है। सबसे आदिम सूत्र में एक अंतर होता है - tse "mayzhe वही, scho th योग्य है।"

Pokhіdna कार्यों को अक्सर के माध्यम से इंगित किया जाता है।

फ़ंक्शन के अंतर को मानक रूप से निरूपित किया जाता है (इसलिए इसे पढ़ा जाता है - "डी गेम")

एक चर का अवकलन फलन इस प्रकार लिखा जाता है:

रिकॉर्ड के लिए दूसरा विकल्प:

सबसे सरल कार्य: अंतर फ़ंक्शन को जानें

1) पहला चरण। यहाँ से चलें जाओ:

2) दूसरा चरण। आइए अंतर लिखें:

एक या दूसरे dekilkoh zminnyh का अंतर कार्य सबसे अधिक बार vicorist के लिए निकटतम की गणना करें.

क्रिम इन्शिह ज़वदान ज़ डिफरेंशियल इननोडे ज़ुस्ट्रेचाєєєєєє यह "शुद्ध" ज़वदन्न्या रेबुवन्न्या डिफरेंशियल फंक्शन है। दूसरी तरफ से, पोखेडनो में y की तरह, अंतर के लिए बिंदु पर अंतर को समझना स्पष्ट है। takі mi so razglyademom लागू करें।

बट 7

अंतर फ़ंक्शन को जानें

उसके सामने, जैसा कि आप जानते हैं कि मैं जा रहा हूं या एक अंतर है, आपको काफी हद तक आश्चर्य होगा, लेकिन आप अभी तक एक समारोह को माफ नहीं कर सकते (या एक समारोह लिख सकते हैं) इससे पहलेभेदभाव? हम अपना उदाहरण देखते हैं। सबसे पहले, आप रूट का रीमेक बना सकते हैं:

(पांचवीं डिग्री की जड़ स्वयं साइनस तक होती है)।

एक अलग तरीके से, सम्मानपूर्वक, साइन के तहत हमारे पास एक अंतर है, जिसे स्पष्ट रूप से अलग किया जाना चाहिए। भिन्न को विभेदित करने का सूत्र काफी बोझिल है। ची तुम एक शॉट नहीं ले सकते? इस मामले में, यह संभव है, हम संख्या को एक बैनर में शब्द से विभाजित करते हैं:

समारोह जटिल है। न्यू के दो योगदान हैं: साइन को स्टेप के तहत निवेश किया जाता है, और विराज को साइन के तहत निवेश किया जाता है। हम जानते हैं, vicorist, तह कार्यों के भेदभाव का नियम दो बार:

आइए उस अंतर को लिखें, जिसके साथ इसे फिर से पहले "सुंदर" रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

यदि यह खराब है, तो नंबर बुक के बिल्कुल अंत में बैज "स्टिक" ध्वनि करेगा (इसे शॉट लाइन पर दाएं हाथ से किया जा सकता है)।

बट 8

अंतर फ़ंक्शन को जानें

यह एक स्वतंत्र समाधान का एक उदाहरण है।

बिंदु पर अंतर को बदलने के लिए चरण दो बट।

बट 9

डिफरेंशियल फंक्शन की गणना करें बिंदु पर

यहाँ से चलें जाओ:

मुझे पता है, यह जानना अच्छा है। लेकिन किउ में, एक संख्या डालना बेहतर है, इसलिए परिणाम जितना संभव हो उतना सरल है:

प्रत्से बुली मर्नी नहीं, अंतर लिखिए:

अब बिंदु पर अंतर की गणना करते हैं:

अंतर के बैज को किसी एक का प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता नहीं है, केवल कुछ अन्य ओपेरा।

ढहने वाले बिंदु की गति के बारे में कार्य

सामग्री बिंदु के रेक्टिलिनियर आंदोलन के नियम को दें। महत्वपूर्ण रूप से पथ के माध्यम से, एक घंटे में एक बिंदु से गुजरना, और के माध्यम से रास्ता, एक घंटे में गुजर रहा है। उसी दिन, बिंदु रास्ते से गुजरा, बराबर: . दिन को एक घंटे पहले बिंदु की औसत गति कहा जाता है। क्या कम है, टोबो। घंटे और घंटे के बीच का अंतराल जितना छोटा होता है, औसत गति उतनी ही कम होती है जो घंटे के क्षण में गति बिंदुओं की विशेषता होती है। उनके लिए एक निश्चित क्षण में स्विडकोस्ट की अवधारणा को पेश करना स्वाभाविक है, जो को बीच के रूप में दर्शाता है औसत कुरकुरापनसे अंतराल के लिए , यदि:

किसी निश्चित क्षण में मान को बिंदु का घुन कहा जाता है।

इस वक्र के लिए dotichny के बारे में निर्देश

चलो फ्लैट पर चलते हैं, वक्र बराबर के लिए बिना किसी रुकावट के दिया जाता है। बिंदु पर दिए गए वक्र पर एक गैर-ऊर्ध्वाधर बिंदु खींचना आवश्यक है . यदि रोटेशन का बिंदु दिया गया है, तो कार्य की उपलब्धि के लिए बिंदु के शीर्ष गुणांक को जानना आवश्यक है। ज्यामिति से, हम देखते हैं कि, डी - कुट अहंकार से एक सकारात्मक सीधी धुरी (डिव। अंजीर।) बेड़ियों के माध्यम से і चलो एक sіchnu, de - Kut, एक sіchuchoyu z सकारात्मक प्रत्यक्ष अक्ष के साथ समाधान करते हैं। छोटे से आप देख सकते हैं, थानेदार, डे। Kutovy koefіtsієnt, scho stuєtsієєєї tochtsі, zhe buti znaydeniya podstavі आक्रामक vyznachennya।

बिंदु पर क्या वक्र कहलाता है सीमा शिविर sіkuchoї, यदि बिंदु सही बिंदु है . देखें कि आगे क्या है .

यात्रा की नियुक्ति

गणितीय संचालन, समीक्षा की गई अधिक ज़वदान को पूरा करने के लिए आवश्यक है, और वही। यह स्पष्ट है कि ऑपरेशन की विश्लेषणात्मक प्रकृति विशिष्ट भोजन पर आधारित है जिसे उन्होंने कहा था।

मान लें कि फ़ंक्शन को वर्तमान अंतराल पर असाइन किया गया है। आइए इस अंतराल का अर्थ लेते हैं। नादामो याक वेतन वृद्धि (सकारात्मक या नकारात्मक)। तर्क का कौन सा नया मान दिया गया है और फ़ंक्शन का नया मान डे ।

गोदाम भंडारण , Vono समारोह vіd ।

बिंदु में परिवर्तन के बाद अगले फ़ंक्शन को इस बिंदु में तर्क के लिए फ़ंक्शन की सीमा वृद्धि कहा जाता है, जिसे इस वेतन वृद्धि के लिए कहा जाता है, यदि यह एक अच्छी रैंक है:

आदर। यह महत्वपूर्ण है कि फ़ंक्शन बिंदु के सटीक बिंदु पर हो, जैसे कि सूत्र के दाहिने हिस्से के बीच की सीमा मुख्य और अंतिम है और इसके अलावा झूठ नहीं बोलना है, 0 में परिवर्तन में वृद्धि के रूप में (लेवोरुच या दाहिने हाथ)।

एक समान कार्य की पहचान की प्रक्रिया को विभेदीकरण कहा जाता है।

समान कार्यात्मक कार्यों का महत्व

क) पोखेडना पोस्टिनॉय।

डी - फास्ट आओ, क्योंकि। फ़ंक्शन का मान समान है, तो वृद्धि शून्य के बराबर है I भी,

.

Otzhe, pokhіdna nezmennoy dorivnyu शून्य, टोबो। .

b) पोखेडना कार्य करता है।

हम अधिक कार्यों को संग्रहीत करते हैं:

.

vikonannya कार्यों के बीच महत्वपूर्ण pokhіdnoї विजयी विजयी शक्ति की उपस्थिति में, पहले चमत्कारी और निर्बाध कार्यों के बीच।

इस तरीके से, .

फ़ंक्शन के भेदभाव और निरंतरता . के बीच संबंध

एक फ़ंक्शन जो एक बिंदु पर खो सकता है, उस बिंदु पर एक अंतर फ़ंक्शन कहलाता है। एक फ़ंक्शन जो एक निश्चित अंतराल के सभी बिंदुओं पर खो सकता है, उस अंतराल पर एक अंतर फ़ंक्शन कहलाता है।

प्रमेय।यद्यपि कार्य एक बिंदु पर विभेदित है, यह इस बिंदु पर अबाधित है।

लाना। नादामो तर्क पर्याप्त zbіlshennya। वही कार्य लाभ को दूर करता है। आइए समानता को लिखें और इसके साथ बाएँ और दाएँ भागों में सीमा पर जाएँ:

यदि एक गैर-स्थायी फ़ंक्शन में एक असीम रूप से छोटा वृद्धिशील तर्क होता है, यदि यह फ़ंक्शन का एक असीम रूप से छोटा वेतन वृद्धि साबित करता है, तो प्रमेय को लाया जा सकता है।

आदर। दिल टूटने जैसी कोई बात नहीं है। बिंदु पर कार्य में रुकावट के बिना, प्रतीत होता है कि अलग है, इस बिंदु पर भेदभाव नहीं दिखा रहा है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन सभी के लिए अबाधित है, लेकिन बिंदुओं पर विभेदित नहीं है। डायनो:

सीमा सीमित नहीं है, इसलिए, फ़ंक्शन को बिंदु तक विभेदित नहीं किया जाता है।

समान प्राथमिक कार्यों की तालिका

आदर। आइए चरणों और जड़ों की शक्ति का अनुमान लगाएं, जो कार्यों को अलग करते समय विजयी होते हैं:

आइए डालते हैं मृतकों का ज्ञान।

1) .

2)

तह समारोह

आ जाओ . वह फ़ंक्शन एक संक्षिप्त कार्य होगा एक्स.

फ़ंक्शन को बिंदु पर कैसे विभेदित किया जाता है एक्स, और फ़ंक्शन को बिंदु पर विभेदित किया जाता है तुम, फिर बिंदु पर भी विभेदित एक्स, इसके अलावा

.

1.

कृपया, हाँ। ओत्ज़े

पर्याप्त ज्ञान के साथ, मैं बदलूंगा तुमकिसी विचार से कम का परिचय देते हुए लिखो मत।

2.

अंतर

एक बिंदु पर एक नॉन-स्टॉप फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए, हम आकर्षित कर सकते हैं मीट्रिक टन, के माध्यम से जानना जेएक सकारात्मक सीधी धुरी के लिए बीमार कुट ओह। Oskіlki, फिर trikutnik . से एमईएफचिल्ला क्या

प्रस्तुत मूल्य

.

सी विराज कहा जाता है अंतरकार्य। ओत्ज़े

याद रखें, क्या, टोबटो। कि स्वतंत्र परिवर्तन का अंतर विकास के लिए अधिक महंगा है, लिया गया

इस तरह, एक स्वस्थ रचना का विभेदक कार्य एक स्वतंत्र परिवर्तन के अंतर (या वृद्धि) के समान है।

बाकी फॉर्मूले से फॉलो करें, थानेदार, टोबो। यह फ़ंक्शन के अंतर को तर्क के अंतर में लाने के कार्य के समान है।

फंक्शन डिफरेंशियल डीवाईज्यामितीय रूप से - डॉट के समन्वय की वृद्धि, जो तर्क की वृद्धि को दर्शाती है डी एक्स.

छोटे से यह स्पष्ट है कि छोटे डी को क्या करना है एक्सनिरपेक्ष मान में, आप अंतर के लगभग बराबर बड़ा फलन ले सकते हैं, अर्थात।

.

आइए फोल्डिंग फंक्शन को देखें , डी , इसके अलावा, इसे द्वारा विभेदित किया जाता है तुम, और के लिए एक्स. तह कार्यों के भेदभाव के नियम के पीछे

आइए किउ ईर्ष्या को इस से गुणा करें डीएक्स:

Oskіlki (अंतर के उद्देश्य के लिए), तब

इस तरह, फोल्डिंग फंक्शन डिफरेंशियल एक ही तरह का हो सकता है, याकबी चेंज तुमतुला एक मध्यवर्ती तर्क नहीं था, बल्कि एक स्वतंत्र परिवर्तन था।

अंतर की शक्ति को कहा जाता है निश्चरता(अपरिवर्तनीयता) एक अंतर बनाओ.

बट .

आप अवकलन के लिए अवकलन के नियम लिख सकते हैं।

आ जाओ - बिंदुओं पर विभेदन एक्स. टोडी

आइए एक और नियम जोड़ें।

Pokhіdna निहित कार्य

मन के समान ही दिया जाए कि परिवर्तन बुला रहा है। यदि स्पष्ट रूप से गुजरना संभव नहीं है, (रहने दें) तो ऐसे फ़ंक्शन को कहा जाता है परोक्ष रूप से दिया गया. ऐसे फ़ंक्शन की सटीक प्रकृति जानने के लिए, ऐसे फ़ंक्शन के कार्य का सम्मान करते हुए, समान भेदभाव के कुछ हिस्सों को ठेस पहुंचाना आवश्यक है। Z otrimanogo नया जानने के बराबर।

बट .

अपमान के बराबर भागों में अंतर करना, यह याद रखना कि यह किसका कार्य है?

व्याख्यान 4

अंतर के उस ज्यामितीय अर्थ को समझना

नियुक्ति। मुख्य बिंदु x पर फ़ंक्शन का अंतर बड़े फ़ंक्शन का मुख्य, रैखिक भाग है।

अंतर फ़ंक्शन y \u003d f (x) एक स्वतंत्र फ़ंक्शन x (तर्क) के निर्माण के समान है।

इसे इस तरह लिखा जाना चाहिए:

ज्यामितीय भाव अंतर। डिफरेंशियल फंक्शन y = f(x) कोटि S में वृद्धि के बराबर होता है, जो कि बिंदु M(x; y) पर फंक्शन के ग्राफ पर खींचा जाता है, जब x (तर्क) को एक मान (div। आंकड़ा) से बदल दिया जाता है। )

आस-पास की गणनाओं से अंतर को क्यों पीटा जा सकता है?

डिफरेंशियल फ़ंक्शन का मुख्य, रैखिक, नेत्रहीन महत्वपूर्ण हिस्सा है; क्या कम है, तो वृद्धि का बड़ा हिस्सा हिस्सा बनना है। जिस पर आप perekonatisya, peresuvaya सोच लंबवत सोच सकते हैं, बिंदु P (div। छोटे वाले) से अक्ष ऑक्स तक, निर्देशांक के सिल के करीब। इसलिए, न्यूनतम मूल्यों (के लिए) फ़ंक्शन वृद्धि को लगभग सिर के हिस्से से बदला जा सकता है, अर्थात।

अंतर के बारे में अंतर का रिकॉर्ड बनाते हैं

बिंदु x पर डिफरेंशियल फंक्शन मेरा मतलब है

ओत्ज़े,

, (2)

डिफरेंशियल फंक्शन y = f(x) के शार्प निर्माण के लिए अच्छे हैं, स्वतंत्र परिवर्तन में वृद्धि के समान।

आदर। यह याद रखना आवश्यक है कि यदि x तर्क का बाहरी मान है, और यदि मान बढ़ा दिया गया है, तो बाहरी बिंदु x से अंतर बिंदु लेना बेहतर है; सूत्र (1) में, जो रिकॉर्ड से दिखाई नहीं दे रहा है।

डिफरेंशियल फंक्शन को दूसरे रूप में लिखा जा सकता है:

(4)

अंतर की शक्ति

इस और आपत्तिजनक पैराग्राफ में, त्वचा के कार्य महत्वपूर्ण हैं, सभी विश्लेषणों के लिए विभेदित, तर्कों के अर्थ।

शक्ति का अंतर, पोखिदनोय के समान:

(С - स्थिर मूल्य) (5)

(6)

(7)

(9)

सूत्र (5) - (9) त्वचा की समरूपता के दोनों भागों के समान गुणन के लिए विभिन्न सूत्रों से आते हैं।

आस-पास की गणनाओं में अंतर को रोकना

एक और पैराग्राफ में डाला गया समीकरण करीब है

आपको फ़ंक्शन के मान की गणना करने के लिए सन्निकटन के लिए अंतर को ट्विक करने की अनुमति देता है।

आइए रिपोर्ट की निकटता को लिखें। तो याकी

बिल्कुल दिख रहा है

Koristuyuchis nablizhenim znachennyam संख्या, यह आवश्यक है कि माँ mozhlivist rіven yogo सटीकता के बारे में न्याय करे। इस पद्धति की सहायता से, कोई पूर्ण और प्रत्यक्ष रूप से भोग की गणना कर सकता है।

अनुमानित संख्या का पूर्ण अंतर सटीक संख्या और अनुमानित मूल्य के बीच के अंतर के निरपेक्ष मूल्य के बराबर है:

अनुमानित संख्या की सापेक्ष त्रुटि इस संख्या की निरपेक्ष त्रुटि का सटीक सटीक संख्या के निरपेक्ष मान तक विस्तार है:

यदि सटीक संख्या अज्ञात है, तो

कभी-कभी, पहले, सूत्र (11) को कम करें, आउटपुट मान को आगे बदलना आवश्यक है। एक नियम के रूप में, दो उद्देश्यों के लिए लड़ना। सबसे पहले, डोमोगटिस के लिए आवश्यक है, ताकि बोल्डर का मूल्य पोवन्यान में छोटा हो, जितना कम, उतना ही सटीक निकटतम गणना का परिणाम है। एक अलग तरीके से, बाज़ानो, मूल्य की गणना सरलता से की गई थी।

24. गणना के सन्निकटन के लिए फ़ंक्शन के अंतर का परिशिष्ट

गणना के करीब पहुंचने से पहले अंतर को रोकना

अंतर को समझने से पता चलता है कि यदि प्रक्रिया अपने परिवर्तन की प्रकृति के कारण रैखिक के करीब है, तो फ़ंक्शन में वृद्धि अंतर से बहुत कम प्रभावित होती है। इसके अलावा, चूंकि फ़ंक्शन वर्तमान बिंदु x पर खो सकता है, तो वृद्धि और अंतर भी कम से कम होते हैं, जो शून्य हो जाता है:

ओस्किलकी विभेदित कार्य निर्बाध है,

यही कारण है कि एक्सचेंज किए गए फ़ंक्शन को डीएक्स पर असीम रूप से छोटा करने के लिए, जो शून्य के बराबर है, फ़ंक्शन असीम रूप से छोटा है।

इसके अलावा, जब वे समतुल्य होते हैं तो ये दो कार्य असीम रूप से छोटे होते हैं:

समानता और छोटे zbіlshennya तर्क के लिए संभावना देने के करीब है

सूत्र क्या हो सकता है? सिंगिंग पॉइंट्स को बराबर होने दें, बस i के मान गिनें। एक अन्य बिंदु पर टोडी, पास की दूरी में, यह देखना संभव है:

यहां हम परिणाम की सटीकता के बारे में प्रतिक्रिया भरते हैं। यह स्थिति अनुमानित गणना के लिए इस सूत्र के मूल्य को कम कर देती है, लेकिन यह अधिक महत्वपूर्ण है कि यह मटमैला हो और व्यवहार में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

आइए एक उदाहरण देखें। स्ट्रेट-कट ट्राइआउट के पैर a = 5 मीटर और b = 12 मीटर होते हैं।

आइए जानते हैं हाइपोटेंशन की लंबाई:

.

पैर को 0.2 मीटर बदलने के बाद, कर्ण बढ़ाया जाता है (चित्र 11.5, ए)

आइए अब फॉर्म के कार्य को देखते हुए, पैर के परिवर्तन के संबंध में y के अनुमानित मूल्य के लिए सूत्र (11.16) करें:

(बी = कॉन्स्ट);

दोनों विपदकों में, हमने शुकण मूल्य का अनुमानित मूल्य लिया। अले, पहले मामले में, करीबी गणना के परिणामस्वरूप गलती को दोषी ठहराया जाता है, और दूसरे में, काफी सरलता से, - करीबी सूत्रों के संबंध में (यह निकट गणना के कारण गलती से भी पहुंचा जा सकता है) . गौरतलब है कि जब पैर को 0.2 मीटर से बदला गया था, तो कर्ण लगभग 0.08 मीटर बदल गया था, और जब अनुमानित मूल्यों को हटा दिया गया था, जब पैर को बदल दिया गया था, तो यह 0.001 मीटर से कम था।

आइए एक और स्थिति पर एक नज़र डालें: इस ट्रिकॉट में हमने कर्ण को 0.2 मीटर से बदल दिया, जिससे पैर बी बिना बदलाव के रह गया (चित्र 11.5, बी)। यह महत्वपूर्ण है कि पैर ए इस दिशा में कैसे बदलता है:

25. अनुवर्ती कार्यों और अनुसूची के लिए परिशिष्ट

यदि कुछ समय के लिए फंक्शन का ग्राफ एक अबाधित रेखा है, दूसरे शब्दों में, ऐसी रेखा जो बिना जैतून के कागज के आर्च में खींची जा सकती है, तो ऐसे फ़ंक्शन को उस अंतरिम के लिए अबाधित कहा जाता है। snuyut भी कार्य करता है, याक निर्बाध । एक उदाहरण के रूप में, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देख सकते हैं, जो अंतराल में है और [h; बी] बिना किसी रुकावट के, बिंदु पर एले
x \u003d s rozrivnoy और उस पर पूरे vіdrіzka बिना किसी रुकावट के। हमारे द्वारा किए जाने वाले सभी कार्य स्कूल पाठ्यक्रमगणितज्ञ, - बिना किसी रुकावट के त्वचा के बुनियाद पर कार्य करता है, जिस पर बदबू दी जाती है।

यह महत्वपूर्ण है कि कार्य कुछ अंतरिम के लिए खो सकता है, तो यह उस अंतरिम के लिए निर्बाध होगा।

Zvorotne दृढ़ता गलत है। एक फ़ंक्शन जो अंतराल के लिए अबाधित है, अंतराल के कुछ बिंदुओं पर समान की मां नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन
वाई = | लॉग 2 एक्स | अंतराल x> 0 के लिए बिना किसी रुकावट के, लेकिन बिंदु x = 1 पर कोई अंतर नहीं है, इस बिंदु पर शार्क संभव नहीं हैं।

आइए सहायता के लिए चार्ट पर एक नज़र डालें।

फ़ंक्शन f (x) \u003d x3 - 2x2 + x के ग्राफ़ को प्रेरित करें।

1) यह फ़ंक्शन सभी x € R के लिए असाइन किया गया है।

2) आइए हम जांचे गए फ़ंक्शन की एकरसता के अंतराल और दूसरे समान एक से परे चरम बिंदुओं को जानें। Pokhіdna dorivnyuє f "(x) \u003d 3x 2 - 4x + 1. हम स्थिर बिंदुओं को जानते हैं:
3x 2 - 4x + 1 = 0, तारे x 1 = 1/3, x 2 = 1।

एक समान चिन्ह निर्दिष्ट करने के लिए, हम वर्ग त्रिपद 3x 2 - 4x + 1 को गुणकों में विघटित करते हैं:
f "(x) \u003d 3 (x - 1/3) (x - 1)। इसके अलावा, अंतराल पर x< 1/3 и х >1 समानता सकारात्मक है; इसके अलावा, समारोह अंतराल में बढ़ता है।

Pohіdna 1/3 . पर नकारात्मक< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

बिंदु x 1 \u003d 1/3 अधिकतम के लिए एक बिंदु है, बिंदु की दिशा में दाएं हाथ के टुकड़े, कार्य बदलता है, और बाएं हाथ बढ़ता है। इस बिंदु पर, फ़ंक्शन का मान बराबर f (1/3) = (1/3) 3 - 2 (1/3) 2 + 1/3 = 4/27 है।

न्यूनतम बिंदु बिंदु x 2 = 1 है, बिंदु की दिशा में बाएं हाथ के टुकड़े, कार्य बदलता है, और दाएं हाथ बढ़ता है; tsіy बिंदु का मान कम से कम अच्छा f(1) = 0 है।

3) ग्राफ को संकेत करते समय, निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ रेखा के बिंदुओं को खोजना शुरू करें। Oskіlki f(0) = 0, फिर ग्राफ निर्देशांक के कोब से होकर गुजरेगा। विरिशुयुची बराबर f(0) = 0, हम संपूर्ण भुज से ग्राफ के वक्र के बिंदुओं को जानते हैं:

x 3 - 2x 2 + x \u003d 0, x (x 2 - 2x + 1) \u003d 0, x (x - 1) 2 \u003d 0, सितारे x \u003d 0, x \u003d 1.

4) एक सटीक सबप्लॉट के लिए, हम दो और बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान को जानते हैं: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2।

5) अनुवर्ती (अंक 1 - 4) के विचित्र परिणाम, हमारे पास फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 2x 2 + x का एक ग्राफ होगा।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्रोत्साहित करने के लिए, योजना के समान सहायता के लिए इस फ़ंक्शन की शक्ति के लिए सिर के पीछे कॉल करें, अंतिम कार्य के लिए योजना के समान।

इस रैंक में, जब फ़ंक्शन की शक्तियां पहुंच जाती हैं, तो यह जानना आवश्यक है:

1) क्षेत्र सौंपा गया;

2) चले जाओ;

3) स्थिर बिंदु;

4) आंतरायिक वृद्धि और क्षय;

5) चरम बिंदु और इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन का मूल्य।

अनुवर्ती के परिणाम मैन्युअल रूप से तालिकाओं के रूप में दर्ज किए जाते हैं। फिर, vikoristovuyuchi तालिका, buduyut शेड्यूल फ़ंक्शन। अधिक सटीक ग्राफिक्स के लिए, आपको निर्देशांक अक्षों के साथ योग रेखा के बिंदुओं को जानना होगा - यदि आवश्यक हो - ग्राफ के अधिक बिंदु।

यदि हम एक युग्मित या अयुग्मित फ़ंक्शन के साथ चिपके रहते हैं, तो ग्राफ़ को प्रोत्साहित करने के लिए यह पर्याप्त शक्ति करने और x > 0 के लिए ग्राफ़ को प्रेरित करने के लिए पर्याप्त है, और फिर इसे y-अक्ष (निर्देशांक का कोब) के सममित रूप से कल्पना करने के लिए। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f (x) \u003d x + 4 / x का विश्लेषण करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि दिया गया फ़ंक्शन अप्रकाशित है: f (-x) \u003d -x + 4 / (-x) \u003d - ( एक्स + 4 / एक्स) \u003d -एफ(एक्स)। योजना के सभी बिंदुओं को पूरा करने के बाद, हमारे पास x > 0 के लिए फलन का आलेख और x के लिए फलन का आलेख होगा< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >निर्देशांक के कोब के लिए 0।

सफलता के लिए, अधिकांश भाग के लिए कार्यों की अनुसूची को नवोदित करने का कार्य मौखिक रूप से किया जाता है।

यह भी महत्वपूर्ण है कि कुछ कार्यों के पूरा होने की स्थिति में, हम नियुक्ति के पूरे क्षेत्र में नहीं, बल्कि केवल एक निश्चित अवधि के लिए आवश्यक अनुवर्ती कार्य के साथ फंस सकते हैं, उदाहरण के लिए, यह आवश्यक है f(x) = 2 [-one; 2].

26. एंटिडेरिवेटिव फंक्शन। महत्वहीन अभिन्न और प्रभुत्व का योग

पहले की नियुक्ति।

एक अंतराल (a; b) के लिए आदिम फलन f(x) एक ऐसा फलन F(x) है जो दिए गए अंतराल से किसी भी x के लिए समानता प्राप्त करता है।

अगर हम इस तथ्य को ध्यान में रखते हैं कि निरंतर सी शून्य के बराबर है, तो समानता उचित है . इस तरह, फ़ंक्शन f (x) काफी स्थिर मान के लिए अवैयक्तिक प्राथमिक F (x) + C हो सकता है, इसके अलावा, q प्राथमिक मान काफी स्थिर मान के लिए एक और समान होते हैं।

एक अनिर्धारित अभिन्न का गंतव्य।

सभी अवैयक्तिक प्राथमिक फलन f(x) को इस फलन का गैर-महत्वपूर्ण समाकलन कहा जाता है और इन्हें नियत किया जाता है .

विराज को इंटीग्रैंड विरेज कहा जाता है, और f(x) को पिइंटेग्रल फंक्शन कहा जाता है। इंटीग्रल वाइरस एक डिफरेंशियल फंक्शन f(x) है।

दीया znahodzhennya nevodomoї funktії दिए गए अंतर के पीछे गैर-महत्वहीन इनटेग्रुवन्नीम कहा जाता है, इसलिए इनटेग्रुवन्न्या का परिणाम एक फ़ंक्शन एफ (एक्स) नहीं है, लेकिन अवैयक्तिक її प्राइम एफ (एक्स) + सी।

एक अहस्ताक्षरित अभिन्न (पहले की शक्ति) की शक्ति को एक समान की शक्ति के लिए तैयार करना और लाना संभव है।

1.
एक अधिक उन्नत पिडिन्टेग्रल फ़ंक्शन के एकीकरण के परिणाम के समान।

2.
किसी फ़ंक्शन के अंतर के अभिन्न के गैर-मान स्वयं फ़ंक्शन के योग और पर्याप्त स्थिरांक के बराबर होते हैं।

3. , डी के - काफी स्थिर।
p align="justify"> अपरिभाषित समाकल के चिन्ह के लिए गुणांक को दोष दिया जा सकता है।

4.
योगों के अभिन्न / कार्यों के अंतर के गैर-महत्व अधिक महंगे योग / कार्यों के अभिन्न के गैर-महत्व के अंतर हैं।

अपरिभाषित अभिन्न की पहली और अन्य शक्तियों की मध्यवर्ती तुल्यता को स्पष्टीकरण के लिए पेश किया गया है।

तीसरे और चौथे रैंक की पुष्टि के लिए, सुनिश्चित करें कि समानता के सही हिस्से सही हैं:

संख्याएं पिडिन्टेग्रल फ़ंक्शन के समान हैं, जो पहली गुणवत्ता का प्रमाण है। यह बाकी बदलावों में नहीं जीतेगा।

इस क्रम में, एकीकरण का कार्य भेदभाव का मोड़ कार्य है, इसके अलावा, उनके बीच घनिष्ठ संबंध है:

· पहले प्राधिकरण एकीकरण का पुन: सत्यापन करने की अनुमति देते हैं। पिछले एकीकरण की शुद्धता को उलटने के लिए, सटीक परिणाम की गणना करने के लिए पर्याप्त है। भेदभाव के परिणामस्वरूप, फ़ंक्शन एक समान एकीकृत फ़ंक्शन के रूप में प्रकट होता है, यह महत्वपूर्ण है कि एकीकरण सही ढंग से किया गया हो;

· अपरिभाषित समाकलन की अन्य शक्ति फ़ंक्शन के दिए गए अंतर के पीछे प्राथमिक को जानने की अनुमति देती है। जिनके लिए महत्वहीन अभिन्नों की किसी भी मध्य गणना के बिना अधिकारियों की स्थापना की जाती है।

आइए एक उदाहरण देखें।

प्राथमिक फलन ज्ञात कीजिए, जिसका मान x = 1 पर सबसे महत्वपूर्ण है।

हम अंतर गणना से जानते हैं कि (कृपया समान बुनियादी प्राथमिक कार्यों की तालिका देखें)। इस तरीके से, . एक और शक्ति के लिए . टोबो पहले अवैयक्तिक हो सकता है। x = 1 के लिए एक मान लिया जाता है। मन के लिए, मान अधिक अकेला हो सकता है, फिर, C \u003d 1.

यदि समान बुनियादी प्राथमिक कार्यों की तालिका को अंतर के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, तो इससे अपरिभाषित अभिन्न की एक और शक्ति के अनुसार, आदिम की एक तालिका जोड़ना संभव है।

इसी तरह की जानकारी।

लॉग अंतर

विभिन्न प्रकार के कार्यों का अंतर सरल है, जैसे कि वे प्रोलॉगरिथम आगे थे। आपको किसके लिए ऐसी विधि की आवश्यकता है। आपको क्या जानने की आवश्यकता है आपबराबर से वाई = एफ (एक्स), तब आप कर सकते हो:

लागू।

शो-स्टिप फंक्शन और डिफरेंशिएशन

शो-स्टेटएक कार्य को मन का कार्य कहा जाता है वाई = यू वी, डे यू = यू (एक्स), वी = वी (एक्स).

znahodzhennia pokhіdnoї vіd शो-स्टेप फ़ंक्शंस के लिए लॉगरिदमिक भेदभाव zastosovuєtsya।

लागू।

विरोबनिह की तालिका

भेदभाव को नियंत्रित करने वाले सभी मुख्य फ़ार्मुलों को एक तालिका में मिलाकर, पहले पेश किया गया था। हर जगह हम सोचेंगे यू = यू (एक्स), वी = वी (एक्स), जेड = स्थिरांक। समान बुनियादी प्राथमिक कार्यों के लिए, हम एक समान बंधनेवाला फलन के बारे में प्रमेय का उपयोग करते हैं।

लागू।

एक विभेदक समारोह की अवधारणा। ZV'YAZOK MIZH डिफरेंशियल I VIROBNICHI

समारोह में आओ वाई = एफ (एक्स)एक vіdrіzku में विभेदित [ ए; बी]. Pokhіdna tsієї funktsії यू गायन बिंदु एक्स 0 Î [ ए; बी] ईर्ष्या का संकेत दिया

.

पिता, बीच की खातिर

प्राप्त तुल्यता के सभी पदों को . से गुणा करना एक्स, हम लेते हैं:

Δ आप = एफ"(एक्स 0)·Δ एक्स+ एक एक्स।

ओत्ज़े, असीम रूप से छोटा वेतन वृद्धि Δ आपविभेदित कार्य वाई = एफ (एक्स)दो डोडंकिव के योग को देखते हुए प्रस्तुत किया जा सकता है, जिसके लिए पहले (साथ .) एफ"(एक्स 0) ≠ 0) सिर का हिस्सा, रैखिक दूरी एक्स, और दूसरी ओर, उच्चतम क्रम का एक असीम रूप से छोटा मान, निचला एक्स. समारोह का मुख्य भाग बढ़ाया जाता है, टोबो। एफ"(एक्स 0)·Δ एक्सबिंदु पर फलन का अवकलन कहलाता है एक्स 0 मैं के माध्यम से दर्शाता हूँ डीवाई.

इस रैंक में, एक समारोह के रूप में वाई = एफ (एक्स)क्या मैं जा सकता हुँ एफ"(एक्स) बिंदु पर एक्स, फिर टीवी पोखेडनोї एफ"(एक्स) बढ़ाने के लिए एक्सतर्क को बुलाओ समारोह अंतरमेरा मतलब:

हम डिफरेंशियल फंक्शन जानते हैं वाई = एक्स. किस दिशा में आप" = (एक्स)" = 1 मैं, बाद में, डीवाई=डीएक्स=Δ एक्स. इस प्रकार, अंतर डीएक्सस्वतंत्र खदान एक्स zbіgaєtsya z zbіlshennyam एक्स. इसलिए, हम सूत्र (1) को इस प्रकार लिख सकते हैं:

डीवाई = एफ "(एक्स)डीएक्स

अले ज़ ओगो स्पेव्वेदनोश्नजा विप्लिवा, स्को। ओह, मैं जाऊंगा एफ "(एक्स) फ़ंक्शन के अंतर को स्वतंत्र परिवर्तन के अंतर पर सेट करना संभव है।

पहले, हमने दिखाया कि बिंदु पर फ़ंक्शन के विभेदन के कारण, बिंदु पर अंतर का आधार स्पष्ट होता है।

निष्पक्ष है कि zvorotne दृढ़ता।

सिर्फ किस अर्थ के लिए एक्ससमारोह में वृद्धि आप = एफ(एक्स+Δ एक्स) – एफ (एक्स)आप . की नजर में फाइल कर सकते हैं आप = ए·Δ एक्स+ α, de α - एक असीम रूप से छोटा मूल्य, जैसा कि यह मन को प्रसन्न करता है, टोबो। समारोह के लिए बॉक्स वाई = एफ (एक्स)इस्नूє डिफरेंशियल डाई = एक डीएक्सगायन बिंदु पर एक्स, तो यह फ़ंक्शन बिंदु में खो सकता है एक्सі एफ "(एक्स)=लेकिन.

Deisno, शायद, और इस तथ्य के लिए कि . के साथ एक्स→0, फिर।

इस प्रकार, कार्यों के भेदभाव और अंतर के कारणों के बीच, एक और भी घनिष्ठ संबंध है, अपमान समान रूप से मजबूत है।

लागू।फ़ंक्शन अंतर जानें:

ज्यामितीय अंतर ZMIS

आइए समारोह को देखें वाई = एफ (एक्स)और वक्र। वक्र पर एक पूर्ण बिंदु लें एम (एक्स; वाई), tsij बिंदु पर वक्र के लिए खींचे जाने योग्य I महत्वपूर्ण रूप से कुट के माध्यम से, जो अक्ष की सकारात्मक दिशा को डॉटी रूप से संतुष्ट करता है बैल. दामो स्वतंत्र परिवर्तन एक्सवेतन वृद्धि एक्स, तब फ़ंक्शन वेतन वृद्धि लेता है आप = समुद्री मील दूरएक । मूल्यों एक्स+Δ एक्सі आप+Δ आपवक्र के वाई = एफ (एक्स)बिंदु

एम 1 (एक्स+Δ एक्स; आप+Δ आप).

जेड एमएनटीज्ञात एन टी=एम.एन. tgα. क्योंकि tgα = एफ "(एक्स), ए एम.एन. = Δ एक्स, तब एन टी = एफ "(एक्स)·Δ एक्स. अले नियुक्त अंतर के लिए डीवाई=एफ "(एक्स)·Δ एक्सउस के लिए डीवाई = एन टी.

इस प्रकार, फ़ंक्शन f(x) का अंतर, जो दिए गए मान x और x देता है, qy बिंदु x पर वक्र y=f(x) को कोटि में वृद्धि।

विभेदक अपरिवर्तनीयता के बारे में प्रमेय

पहले, हम बचिली, तो क्या तुमє स्वतंत्र चर, फिर अंतर समारोह आप=एफ "(तुम) देख सकते हैं डीवाई = एफ "(तुम)ड्यू.

यह दिखाया जाएगा कि यह रूप उस दृष्टिकोण से लिया गया है, यदि तुमएक स्वतंत्र परिवर्तन नहीं, बल्कि एक कार्य, अर्थात्। हम फोल्डिंग फ़ंक्शन के अंतर के लिए शब्द जानते हैं। आ जाओ वाई = एफ (यू), यू = जी (एक्स)या वाई = एफ (जी (एक्स)). फिर तह कार्यों के भेदभाव के नियम का पालन करना:

.

पिता, नियुक्त के लिए

यवसुरा जी"(एक्स)डीएक्स= ड्यूउस के लिए डाई = एफ"(यू)डु.

Mi आपत्तिजनक प्रमेय लेकर आया।

प्रमेय।तह समारोह अंतर वाई = एफ (यू), जिसके लिए यू = जी (एक्स), शायद वही नज़ारा डाई = एफ"(यू)डुयाकी विन माव बी, याकबी इंटरमीडिएट तर्क तुमबीवी स्वतंत्र परिवर्तन।

अन्यथा, पहले स्थान पर होने के लिए अंतर के रूप के आधार पर, स्वतंत्र चर के कार्य का तर्क दूसरे तर्क का कार्य है। अंतर की शक्ति को कहा जाता है अंतर का अपरिवर्तनीय रूप.

बट. जानना डीवाई.

अंतर करने के लिए Vahovuyuchi शक्ति अपरिवर्तन, हम जानते हैं

.

एचआईवी के दृष्टिकोण से पहले अंतर को निर्धारित करना

हमें फ़ंक्शन का अर्थ दें आप 0 = एफ (एक्स 0 ) वह अच्छा आप 0 " = एफ "(X 0) बिंदु पर X 0. आइए दिखाते हैं कि वास्तविक नज़दीकी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का मान कैसे पता करें एक्स.

जैसा कि हम पहले ही . के बढ़े हुए फंक्शन के बारे में बता चुके हैं आपआप सूमी को देखते हुए भुगतान कर सकते हैं आप=डीवाई+α·Δ एक्स, तब। zbіlshennya funktії vіdіznyаєtsya vіd dіfferenіalі द्वारा मान neskіchenno छोटा। उसके लिए, छोटे . के साथ nehtuyuchi एक्सनिकटतम बस्तियों में एक और डोडैंक, और वे निकट तुल्यता के साथ संक्षारक हैं आप≈डीवाईया आप» एफ"(X 0)·Δ एक्स.

चूंकि, इस उद्देश्य के लिए, आप = एफ(एक्स) – एफ(X 0), तब एफ (एक्स) - एफ (एक्स 0)≈एफ"(X 0)·Δ एक्स.

लागू।

विरोबनिची उच्च आदेश

समारोह में आओ वाई = एफ (एक्स)डेयाकोम vіdrіzku पर विभेदित [ ए; बी]. का मतलब एफ"(एक्स), vzagali लग रहा है, झूठ बोलना एक्स, तब। अच्छा एफ"(एक्स) भी परिवर्तन का एक कार्य है एक्स. इस समारोह को जाने दो। अवकलन , आइए इसे फलन f(x) की तरह मित्र कहते हैं।

Pokhіdna को पहले pokhіdnoї के रूप में कहा जाता है दूसरे आदेश के समानया एक और pokhіdny vіd tsієї कार्य वाई = एफ (एक्स)और सूचित करें आप"अबो" एफ""(एक्स) ओत्ज़े, आप"" = (आप")".

उदाहरण के लिए, जैसे पर = एक्स 5, फिर आप"= 5एक्स 4, और आप""= 20एक्स 4 .

इसी तरह, आप अपनी लाइन में, एक अलग क्रम में, आप भी अंतर कर सकते हैं। Pokhіdna एक और pokhіdnoї के रूप में कहा जाता है इसी तरह का तीसरा आदेशया तीसराइसे y"""या f"""" द्वारा निरूपित किया जाता है एक्स).

वज़ागली, n-वें क्रम के समानसमारोह का प्रकार एफ (एक्स) vid pokhіdnoї में pokhіdna (persha) कहा जाता है ( एन- 1)वाँ क्रम, इसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है आप(कोई भी नहीं एफ(एन) ( एक्स): आप(एन) = ( आप(एन-1))"।

Otzhe, perebuvannya pokhіdno उच्च क्रम में id यह निचले क्रम में है।

नामित अंतर

आइए फ़ंक्शन को देखें \(y = f\left(x \right),\) अंतराल में निरंतर होने के रूप में \(\left[(a,b) \right].\) मान लें कि वास्तविक बिंदु में \( (x_0) \ in \left[ (a,b) \right]\) इंक्रीमेंट का स्वतंत्र परिवर्तन \(\Delta x.\) फंक्शन का इंक्रीमेंट \(\Delta y,\) सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया \[\Delta y = \Delta f\left(((x_0)) \right) = f\left(((x_0) + \Delta x) \right) - f\left(((x_0)) \ right) .\] किसी के लिए भी डिफरेंशियल फंक्शन, इंक्रीमेंट \(\Delta y\) को दो जोड़ के योग के रूप में देखा जा सकता है: \[\Delta y = A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right) ,\] de पहला कार्यकाल (तथाकथित सिर का हिस्सा वेतन वृद्धि) रैखिक रूप से वृद्धि में गिरती है \(\Delta x,\) और दूसरा शब्द बच्चे का अधिक उच्च क्रम हो सकता है \(\Delta x.\) समारोह अंतर i को \(dy\) या \(df\left(((x_0)) \right).\) द्वारा दर्शाया जाता है

आइए एक साधारण बट पर फ़ंक्शन (डेल्टा y) को दो भागों में विस्तारित करने के विचार को देखें। कार्यों को पक्ष \((x_0) = 1 \,\text(m)\,\) (छोटे वाले \(1\)) के साथ वर्गाकार होने दें। यह क्षेत्र स्पष्ट रूप से बड़ा है \[(S_0) = x_0^2 = 1 \,\text(m)^2.\] वर्ग की भुजा को \(\Delta x = 1\,\text(cm) से बढ़ाने के लिए ,\ ) तो अधिक सटीक रूप से बड़े वर्ग के क्षेत्रफल का मान \ tobto हो जाता है। बढ़ा हुआ क्षेत्र \(\Delta S\) अधिक \[ (\Delta S = S - (S_0) = 1.0201 - 1 = 0.0201\,\text(m)^2) = (201\,\text(cm)^2 ।) \] अब \(\Delta S\) वेतन वृद्धि इस तरह दिखती है: \[\require(cancel) (\Delta S = S - (S_0) = (\left(((x_0) + \Delta x) ) \right)^2) - x_0^2) = (\cancel(x_0^2) + 2(x_0)\Delta x + (\left((\Delta x) \right)^2) - \ रद्द करें (x_0 ^2)) = (2(x_0)\Delta x + (\बाएं((\Delta x) \right)^2)) = (A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right) ) = (dy + o\left((\Delta x) \right).) \] अब से, फ़ंक्शन में वृद्धि \(\Delta S\) को हेड पार्ट (फ़ंक्शन का अंतर) से जोड़ा जाता है, जो \(\Delta x\) के समानुपाती है और अधिक \ i छोटेपन के उच्च क्रम की शर्तें, उनकी अपनी पंक्ति में, बराबर \[\omicron\left((\Delta x) \right) = (\बाएं((\Delta) x) \right)^2) = ( 0.01^2) = 0.0001\,\text(m)^2 = 1\,\text(cm)^2.\] = 201\,\text(cm)^2 .\)

सम्मानपूर्वक, इस एप्लिकेशन में, गुणांक \(A\) एक यादृच्छिक फ़ंक्शन के मान के लिए अधिक महत्वपूर्ण है \(S\) बिंदु पर \((x_0):\) \ प्रमेय :

फ़ंक्शन के शीर्ष भाग का गुणांक \(A\) बिंदु पर बढ़ता है \((x_0)\) tsіy पर निचले \(f"\left(((x_0)) \right)\) के मान को बढ़ाता है बिंदु, वह वृद्धि \( \Delta y \) सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है \[ (\Delta y = A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right) ) = (f"\left(( (x_0)) \right)\Delta x + \ omicron\left((\Delta x) \right).) \] समीकरण के हानिकारक हिस्सों को \(\Delta x \ne 0,\) पर अलग करना शायद \[ (\frac((\Delta y)))((\ Delta x)) = A + \frac((\omicron\left((\Delta x) \right)))((\Delta x))) = ( f"\बाएं(((x_0)) \दाएं) + \frac((\omicron\left((\Delta x) \right)))((\Delta x)).) \] (x_0):\) \[ (y"\left(((x_0)) \right) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x) ) ) = (A = f"\बाएं(((x_0)) \right)) \] यहां हमने झूठ बोला था कि उच्च क्रम के छोटे मूल्य \(\omicron\left((\Delta x) \right)\) के एक छोटे मूल्य के लिए, कम \( \डेल्टा x,\) मध्यस्थ \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\omicron\left((\Delta x) \right))) ((डेल्टा x)) = 0.\] स्वतंत्र परिवर्तन का अंतर \(dx\) विकास में सुधार \(\Delta x:\) \ फिर spіvvіdnoshennia \ स्लेज से, क्या \ tobto। Pokhіdnu दो अंतरों को स्थापित करने के रूप में कार्य करता है।

फ़ंक्शन अंतर का ज्यामितीय अर्थ

छोटा \(2\) बड़े फंक्शन \(\Delta y\) के हेड पार्ट \(A\Delta x\) (फंक्शनल डिफरेंशियल) और स्मॉलनेस के उच्च क्रम के टर्म के ब्रेकडाउन को योजनाबद्ध तरीके से दिखाता है \(\ ओमाइक्रोन \ लेफ्ट ((\ डेल्टा एक्स) \ राइट) \)।

Dotychnaya \(MN\), बिंदु \(M\) पर एक कुटिल कार्य \(y = f\left(x \right)\) के लिए किया जाता है, जैसा कि ऐसा लगता है, यह बुरा दिखता है \(\alpha\), किसी प्रकार के बेहतर की स्पर्शरेखा: \[\tan \alpha = f"\left(((x_0)) \right).\] जब तर्क को \(\Delta x\) में बदल दिया जाता है, तो वृद्धि \(A \Delta x.\) , स्थापित dotic, यानी, एक डिफरेंशियल फंक्शन। )

अंतर की शक्ति

चलो \(u\) और \(v\) - फ़ंक्शन बदलें \(x\)। अंतर में समान शक्ति हो सकती है:

1. अंतर के संकेत के लिए निरंतर गुणांक को दोषी ठहराया जा सकता है:

   \(d\left((Cu) \right) = Cdu\), जहां \(C\) एक स्थिर संख्या है।

2. विभेदक योग (खुदरा) कार्य:

   \(d\बाएं((यू \pm v) \right) = du \pm DV.\)

3. डिफरेंशियल स्थिरांक से शून्य:

   \(डी\बाएं(सी \दाएं) = 0.\)

4. स्वतंत्र परिवर्तन का अंतर \(x\) बढ़ाने के लिए:

   \(डीएक्स = \डेल्टा एक्स.\)

5. विकास के लिए विभेदक रैखिक कार्य:

   \(d\left((ax + b) \right) = \Delta \left((ax + b) \right) = a\Delta x.\)

6. विभेदक दो कार्यों का निर्माण:

   \(d\left((uv) \right) = du \cdot v + u \cdot DV.\)

7. निजी दो कार्यों का अंतर:

   \(d\बाएं((\बड़ा\frac(u)(v)\ normalsize) \right) = \large\frac((du \cdot v - u \cdot dv))(((v^2))) \सामान्य आकार।\)

8. अंतर फ़ंक्शन तर्क के व्युत्पन्न के समान है:

   \(dy = df\left(x \right) = f"\left(x \right)dx.\)

जैसा कि आप देख सकते हैं, डिफरेंशियल फंक्शन \(dy\) को एक समान गुणक \(dx\) के रूप में संशोधित किया गया है। उदाहरण के लिए, \[(d\left(((x^n)) \right) = n(x^(n - 1))dx,)\;\; (डी\बाएं((\ln x) \दाएं) = \frac((dx))(x),)\;\; (d\बाएं((\sin x) \right) = \cos x dx) \] इत्यादि।

अंतर का अपरिवर्तनीय रूप

आइए हम दो कार्यों \(y = f\left(u \right)\) और \(u = g\left(x \right),\) की संरचना पर विचार करें। फ़ंक्शन को मोड़ो \(y = f\left((g\left(x \right)) \right).\) जहां निचला सूचकांक उस परिवर्तन को इंगित करता है जिसके लिए भेदभाव किया जाना है।

"बाहरी" फ़ंक्शन का अंतर \(y = f\left(u \right)\) दृश्य में लिखा जा सकता है \ "आंतरिक" फ़ंक्शन का अंतर \(u = g\left(x \right)\ ) को इसी तरह दिखाया जा सकता है: \ \ (du \) सामने के सूत्र पर, फिर हम \ Oskіlki \ ((y "_x) \u003d (y" _u) \ cdot (u "_x), \) लेते हैं। किसी फ़ंक्शन के अंतर के लिए virase के रूप, जैसा कि "सरल" फ़ंक्शन के मामले में होता है। अंतर का अपरिवर्तनीय रूप .