Skaitli r sauc par matricas A rangu šādi:
1) matricā A є minor līdz r vіdminny vіd nullei;
2) viss ir mazsvarīgi kārtībā (r + 1) un vairāk, it kā smird іsnuyut, līdz pazūd.
Citādi matricas rangs ir nepilngadīgā augstākā pakāpe, dominējošais nulles veids.
Paraksti: rangA, r A vai r.
Z no iecelšanas izriet, ka r ir mērķis datums. Nulles matricai rangs ir vienāds ar nulli.
Pakalpojuma uzdevums. Tiešsaistes kalkulators tikšanās reizei zināšanu iegūšanai matricas rangs. Izvēloties risinājumu, tas tiek ņemts no Word un Excel formātiem. div. risinājuma piemērs.
Instrukcija. Izvēlieties matricas izmēru, nospiediet Dali.
Pieraksts. Dota r ranga matrica. To, vai matricai ir mazsvars nulles formā un r kārtas, sauc par bāzi, un šo noliktavas kolonnu rindas sauc par šo kolonnu pamatrindām.
Atkarībā no izvēles matrica A var būt pamata nepilngadīgo māte.
Vienas matricas E rangs ir vienāds ar n (rindu skaits).
1. piemērs. Dotas divas matricas, 
ta їхні minori 
, 
. Kuru no tiem var ņemt par pamatu?
Risinājums. Minor M 1 =0, tāpēc vin nevar būt pamata nevienai matricai. Neliels M 2 \u003d-9≠0 un var būt 2, kas nozīmē, ka to var uzskatīt par pamata matricu A vai / і B prātam, kādas pakāpes ir vienādas ar 2. Ja detB=0 (kā virsotne ar divām proporcionālām kolonnām), tad rangB=2 un M 2 var ņemt par matricas B bāzes minoru. Matricas A rangs ir 3, tātad detA=-27≠0 un līdz ar to , matricas B matricas pamata minora secība ir atbildīga par 3 pievienošanu, tāpēc M 2 nav matricas A pamats. Zīmīgi, ka matricai A ir viena pamata minora, kas ir tāda pati kā matricas A zīme.
Teorēma (par pamata minoru).
Vai ir matricas rinda (stovpchik) є lineāra її pamata rindu kombinācija (stovptsіv).
Rezultāti no teorēmas.
- Be-like (r+1) skursteņi (rindas) no matricas ranga r_lineāra atmatā.
- Ja matricas rangs ir mazāks par її rindu skaitu (stovptsіv), tad її rindas (stovptsі) ir lineāri atmatā. Ja rangsA ir vienāds ar її rindu skaitu (stovptsіv), tad rindas (stovptsі) ir lineāri neatkarīgas.
- Matricas A zīme ir vienāda ar nulli un tad, ja її rindas (stowptsі) ir lineāri atmatā.
- Ja es pievienošu vēl vienu rindu matricas rindai (stovptsya), (stovpets) es reizināšu ar to, vai skaitlis ir vienāds ar nulli, tad matricas rangs nemainīsies.
- Ja matricai ir krusta rinda (stovpets), ja tā ir citu rindu lineāra kombinācija (stovptsiv), tad matricas rangs nemainīsies.
- Matricas rangs ir vienāds ar maksimālo її lineāri neatkarīgu rindu skaitu (stowptsіv).
- Maksimālais lineāri neatkarīgo rindu skaits mainās atkarībā no maksimālā lineāri neatkarīgo rindu skaita.
2. piemērs. Atrodiet matricas rangu 
.
Risinājums.
Vykhodyachi s piešķirts matricas rangā, shukatimemo minors augstākās kārtas, vіdminny vіd nulle. Pārveidosim matricu vienkāršāk. Kurā matricas pirmā rinda tiek reizināta ar (-2) і dodamo ar citu, tad її tiek reizināta ar (-1) і dodamo ar trešo.
Matricas rangs ir svarīgs skaitlisks raksturlielums. Raksturīgākais uzdevums, kas atkarīgs no matricas ranga nozīmes, ir algebras lineāro vienādojumu sistēmas summējamības atkārtota pārbaude. Vai tsіy statti mi damo saprast matricas rangu un apskatīt jogas nozīmes metodi. Tiek ziņots, ka materiāla īsākai asimilācijai ir jāanalizē vairāku lietojumu sadalījums.
Navigācija sānos.
Iecelšana matricas rangā un nepieciešamā papildu izpratne.
Pirmā zemākā balss tiek piešķirta matricas pakāpei, nākamā ir labi saprotama nepilngadīgā izpratnei, un nepilngadīgo nozīme matricā var būt uz priekšnieka aprēķina rēķina. Tāpat, ja nepieciešams, ieteicams uzminēt statistikas teoriju, metodes un matricas priekšnieka zināšanas, priekšnieka spēku.
Paņemiet matricu A kārtībā. Pieņemsim, ka k ir naturāls skaitlis, kas nemainās vismazāk no skaitļiem m un n, tātad 
.
Pieraksts.
Neliela k-tā kārtība matrica A tiek saukta par kvadrātveida matricu secībā , kas salocīta no matricas A elementiem, jo tā atrodas atlasīto k rindu un kolonnu aizmugurē k, un matricas A elementu paplašinājums tiek noņemts.
Citiem vārdiem sakot, ja matricā A pievienojam (p-k) rindu un (n-k) kolonnu rindas un trūkstošajiem elementiem pievieno matricu, saglabājot matricas A elementu izvērsumu, tad noņemtā zīme matrica ir mazāka par matricas A secību k.
Apskatīsim piešķirto matricas minoru uz dibena.
Apskatīsim matricu 
.
Pierakstīsim matricas pirmās kārtas nepilngadīgo skaitu. Piemēram, ja mēs izvēlamies trešo rindu un citu matricas A rindu, tad mūsu izvēlei tiek dota pirmās kārtas minora 
. Citiem vārdiem sakot, šīs mazās daļas noņemšanai tika pievienota pirmā un otrā rinda, kā arī pirmā, trešā un ceturtā kolonna no matricas A, un no elementa, kas tika atstāts, tika uzlikts vyznachnik. Kā izvēlēties matricas A pirmo un trešo rindu, mēs atņemam minoru 
.
Mēs ilustrēsim pirmās kārtas skata noņemšanas procedūru nepilngadīgajiem 
і 
.
Šajā secībā matricas pirmās kārtas nepilngadīgie ir matricas elementi.
Parādīsim brētliņu citā secībā. Mēs izvēlamies divas rindas un divas kolonnas. Piemēram, ņemiet pirmo un pārējās rindas un trešo un ceturto rindu. Šādai izvēlei ir nepilngadīgais citā secībā 
. Arī cei minor var pārlocīt virs trešās rindas A, pirmās un pārējās kolonnas matricām.
Іnshim minor no citas matricas kārtas A є.
Ļaujiet man ilustrēt šos nepilngadīgos citā secībā 
і 
.
Līdzīgi matricas trešās kārtas nepilngadīgos A. Oskilka var atrast visu trīs rindu matricā, tad izvēlamies їх ux. Ja izvēlaties trīs pirmās rindas pirms šīm rindām, tad ņemiet trešās kārtas minoru 
Vіn var rosināt uz pārējo matricas A daļu.
Іnshim minor trešās kārtas є 
izejiet uz matricas A trešo kolonnu.
Mazo ass, kas parāda šo trešās kārtas nepilngadīgo motivāciju 
і 
.
Matricai A mazajā secībā vairs nav trešās, shards.
Skіlki іsnuіє іnіє іnоіrіv k-th order of the matrix Un order ?
Nepilngadīgo skaitu kārtībā k var atmaksāt jak, de 
і 
- Dienu skaits no p līdz k un no n līdz k ir skaidrs.
Kā likt visiem nepilngadīgajiem matricas A secībā p pēc n?
Mums ir nepieciešami anonīmi skaitļi matricas rindās un anonīmi skaitļi kolonnās. Mēs visu ierakstām p elementu atņemšana ar k(smaka sakritīs ar izvēlētajām matricas A rindām ar secību k ). Pirms ādas dienas skaitļi rindā tiek secīgi pievienoti visi n elementi kolonnu numuriem. Qi kopas pēc dienu skaitļiem matricas A rindās un kolonnu skaita palīdzēs secībai k pievienot visus nepilngadīgos.
Ņemsim piemēru.
dibens.
Atrodiet ūsas nepilngadīgajiem citā matricas secībā.
Risinājums.
Ja izvades matricas secība ir 3 reiz 3, tad būs viss minors citā secībā 
.
Visas dienas no 3 līdz 2 skaitļiem ierakstām matricā A rindās: 1, 2; 1, 3 un 2, 3. Visas dienas no 3 līdz 2 cipariem kolonnās є 1, 2; 1, 3 un 2, 3.
Paņemiet matricas A pirmo un otro rindu. Vibrējot uz šīm rindām, pirmā un pārējās kolonnas, pirmā un trešā kolonna, otra un trešā kolonna tiek noņemta minorā. 
Pirmajai un trešajai rindai ar līdzīgu kolonnu izvēli tas ir iespējams 
Otrai un trešajai rindai atlika pievienot pirmo un otru, pirmo un trešo, otru un trešo rindu: 
Vēlāk tika atrasti visi deviņi dažādas matricas kārtas nepilngadīgie.
Tagad jūs varat doties uz piešķirto matricas rangu.
Pieraksts.
Matricas rangs- Matricas minora augstākā pakāpe, vіdminnogo vіd nulle.
Matricas A rangs tiek piešķirts kā Rank (A). Varat arī norādīt Rg(A) vai Rang(A).
No matricas ranga un matricas minora piešķiršanas ir iespējams ģenerēt visnovok, lai nulles matricas rangs būtu vienāds ar nulli, bet nulles matricas rangs būtu vienāds ar nulli. ne mazāk par vienu.
Zinot matricas rangu tikšanās.
Arī pirmā matricas ranga noteikšanas metode є brutālā spēka metode. Šis veids ir balstīts uz piešķirto matricas rangu.
Dariet mums zināmu matricas A kārtas pakāpi.
Īsi aprakstiet algoritms rozv'yazannya tsgogo zavdannya nepilngadīgo uzskaitīšanas veidā.
Ja vēlaties vienu matricas elementu, kas izskatās kā nulle, tad matricas rangs ir vismaz vairāk nekā viens (šķembas ir nelielas no pirmās kārtas, nevis vienādas ar nulli).
Pāriesim pie nepilngadīgajiem citā secībā. Ja visi dažādas kārtas nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, tad matricas rangs ir vienāds ar vienu. Ja vēlamies vienu citas kārtas nepilngadīgo, kas nav nulle, mēs pārejam uz trešās kārtas nepilngadīgo uzskaiti, un matricas rangs ir vismaz divi.
Tāpat, ja visi trešās kārtas nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, tad matricas rangs ir vienāds ar diviem. Ja mēs vēlamies vienu trešās kārtas nepilngadīgo, ja skatāmies uz nulli, tad matricas rangs ir vismaz trīs, un mēs pārejam uz ceturtās kārtas nepilngadīgo uzskaiti.
Zīmīgi, ka matricas rangs nedrīkst pārsniegt mazāko skaitli p і n .
dibens.
Atrodiet matricas rangu 
.
Risinājums.
Oskilki matrica nav nulle, її rangs nav mazāks par vienu.
Citas kārtas nepilngadīgais 
vіdminniy vіd nulle, otzhe, matricas rangs nav mazāks par diviem. Pārejam pie trešās kārtas nepilngadīgo uzskaitīšanas. Usyogo їх 
lietas. 
Usі nepilngadīgie trešās kārtas vienāda ar nulli. Tāpēc matricas rangs ir dubults.
Ieteikums:
Rangs(A) = 2.
Matricas ranga atrašana ar oblatīvā nepilngadīgo metodi.
Izveidojiet citas metodes matricas ranga noteikšanai, kas ļaus iegūt rezultātu mazākā skaitļošanas darbā.
Viena no šīm metodēm ir metode oblyamіvnyh minorіv.
Izdomāsim saprast oblyamіvnogo nepilngadīgo.
Šķiet, ka mazā M ok (k + 1)-tā matricas A oblyamovy mazā M secība matricas A, kā matrica, līdzīga mazajai M ok, "atriebties" matricai, līdzīga nepilngadīgais M.
Pretējā gadījumā, šķiet, matrica, vydpovidna oblyamovuvannym minor M , iziet no matricas, scho vіdpovidaє vіdpovida oblyamіvnuyu minor M ok , vykresluvannyam elementi no vienas rindas un vienas kolonnas.
Piemēram, apskatīsim matricu 
un paņem nepilngadīgo citā secībā. Pierakstīsim visus nepilngadīgos, kuri oblyamovuyut: 
Oblyamіvnyh minorіv metodi ierobežo uzbrukuma teorēma (mēs varam inducēt formulu bez pierādījumiem).
Teorēma.
Ja visi nepilngadīgie, kas matricas A k-ajai kārtai pievieno mazo kārtu p ar n, aizpilda ar nulli, tad visas matricas A kārtas (k + 1) nepilngadīgās aizpilda ar nulli.
Tādējādi, lai noteiktu matricas rangu, nav obligāti jākārto visi nepilngadīgie, kas jums ir nepieciešams oblyamovuyt. Nepilngadīgo skaitu, kuri pievieno nepilngadīgo matricas A kārtas k-ajai secībai, zina pēc formulas 
. Zīmīgi, kas ir tie nepilngadīgie, kuri pievieno mazo matricas A k-ajai kārtai, ne vairāk kā matricas A zemākās nepilnības (k + 1). Tam ir labākā alternatīva metodei. oblyamivnyh nepilngadīgo ir vienkāršāks visu nepilngadīgo uzskaitījums.
Pāriesim pie matricas ranga nozīmes pēc galīgo nepilngadīgo metodes. Īsi aprakstiet algoritms kura metode.
Ja matrica A nav nulle, tad kā pirmās kārtas minoru ņemam, vai matricā A ir kāds elements, kas ir vienāds ar nulli. Apskatīsim Yogo Minori, ko oblyamovuyut. Ja smaka ir vienāda ar nulli, tad matricas rangs ir vienāds ar vienu. Ja mēs vēlamies vienu, kas nav nulles oblyamіvny nepilngadīgais (tāda pati secība ir vienāda ar diviem), tad mēs pārejam uz vienu oblyamіvnyh nepilngadīgo izskatīšanu. Ja smaka ir vienāda ar nulli, tad Rank(A) = 2 . Ja vēlaties izmantot vienu veselīgu nepilngadīgo nulles formā (trīs secība ir trīs), tad varat apskatīt nepilngadīgo, kas ir oblyamovuyut. Un līdz šim. Rezultātā ir Rangs(A) = k , lai viss matricas A (k + 1) kārtas minorā būtu nulle vai Rank(A) = min(p, n) , lai būtu ne-nulles mazais, lai mazākā secība (min( p, n) - 1).
Apskatīsim nepilngadīgo ierāmēšanas metodi, lai noteiktu matricas rangu no mucas.
dibens.
Atrodiet matricas rangu 
ar oblyamіvnyh minorіv.
Risinājums.
Ja matricas A elementu a 1 1 uzskata par nulli, tad ņemam to par pirmās kārtas minoru. Pochnemo poshuk kadrējums minors, vіdminnogo vіd nulle: 
Zināšanas par nepilngadīgo citā secībā, vіdminniy vіd nulle. Apskatīsim jogu, kas robežojas ar nepilngadīgajiem (їх 
lietas): 
Izmantojiet nepilngadīgos, kas padara citas kārtas minoru vienādu ar nulli, tad matricas A rangs ir vienāds ar divi.
Ieteikums:
Rangs(A) = 2.
dibens.
Atrodiet matricas rangu 
par palīdzību oblyamіvnyh minorіv.
Risinājums.
Kā pirmās kārtas nulles minora piemēru ņemam matricas A elementu a 1 1 = 1 . Citas kārtas nepilngadīgais, piemēram, jogs obljamovs 
nav vienāds ar nulli. Cei nepilngadīgo pabeidz trešās kārtas nepilngadīgais 
. Tā kā vin nav vienāds ar nulli un jaunajam nav vienāds ar oblyamіvny minor, tad matricas A rangs ir vienāds ar trīs.
Ieteikums:
Rangs(A) = 3 .
Znahodzhennya rangs ar papildu elementārajām matricas transformācijām (pēc Gausa metodes).
Apskatīsim vēl vienu veidu, kā noteikt matricas rangu.
Nākamo matricas transformāciju sauc par elementāru:
- matricas rindu (vai stovptsіv) permutācija;
- visu matricas rindas (stovptsya) elementu reizināšana uz noteiktu skaitli k nulles formā;
- pievienojot jebkuras rindas (stovptsya) elementiem matricas nākamās rindas (stovptsya) tos pašus elementus, kas reizināti ar noteiktu skaitli k .
Matricu sauc par ekvivalento matricu A, it kā atņemts no A par pēdējo elementāru pārveidojumu skaitu. Matricu līdzvērtību norāda ar simbolu "~", tāpēc to raksta A~B.
Matricas ranga vērtība pēc matricas papildu elementārpārveidojumiem ir balstīta uz sacietētajām: tā kā matrica tiek ņemta no matricas A pēc papildu galīgā elementāro pārveidojumu skaita, tad Rank(A) = Rangs (B) .
Šīs stingrības taisnīgums ir redzams no matricas valdnieka autoritātes:
- Pārkārtojot matricas rindas (vai spaltus), šķīrējtiesnesis maina zīmi. Ja vin ir vienāds ar nulli, tad, pārkārtojot rindas (stowptsiv), vin kļūst vienāds ar nulli.
- Reizinot visus jebkuras matricas rindas (stowptsya) elementus ar pietiekamu skaitu k nulles formā, ņemtās matricas apzīmētājs ir vienāds ar izvades matricas apzīmētāju, kas reizināts ar k. Ja sākotnējās matricas oscilators ir tuvāk nullei, tad pēc visu elementu reizināšanas jebkurā rindā vai ar skaitli k, noņemtās matricas oscilators arī ir vienāds ar nulli.
- Pievienojot matricas otrās rindas (stovptsya) elementiem un matricas otrās rindas (stowptsya) otrajiem elementiem, reizinot ar deku, skaitlis k nemaina apzīmētāja numuru.
Elementāro pārveidojumu metodes būtība polygaє pie dotās matricas, kuras rangs mums ir jāzina, uz trapecveida (atklātā nogāzē uz augšējo trikutnaju) elementāru transformāciju palīdzībai.
Kāpēc uztraukties? Šāda veida matricu rangu ir viegli uzzināt. Vіn dorivnyuє kіlkostі rowkіv, scho vengeance b viens ne-nulles elements. Tā kā elementāro pārveidojumu stundu matricas rangs netiek mainīts, tad vērtība būs izvades matricas rangs.
Veidosim matricu ilustrācijas, no kurām viena var nākt pēc transformācijas. Jūsu izskats ir jāatrodas matricas kārtībā.
Šīs ilustrācijas ir veidnes, kas tiks izmantotas matricas A pārveidošanai.
Aprakstiet algoritma metode.
Ļaujiet mums uzzināt nulles matricas A rangu pēc kārtas (p var būt lielāks par n).
Tēvs,. Mēs reizinām visus matricas A pirmās rindas elementus ar . Kurai mēs ņemam līdzvērtīgu matricu, kas ir ievērojami її A (1): 
Pirms ņemtās matricas A (1) citas rindas elementiem pievienojam pārējos pirmās rindas elementus, kas reizināti ar . Pirms trešās rindas elementiem pievienojiet tos pašus pirmās rindas elementus, kas reizināti ar . І līdz p-tajai rindai. Mēs ņemam līdzvērtīgu matricu, ievērojami її A (2): 
Ja visi noņemtās matricas elementi, kas atrodas rindā ar citu p-y, ir vienādi ar nulli, tad matricas rangs ir lielāks par vienu, un arī otras matricas rangs ir lielāks par viens.
Ja mēs vēlamies, lai viens elements, kas nav nulle, rindās būtu otra p-th, tad mēs varam turpināt pārkārtot. Turklāt diemo ir absolūti līdzīgs, bet tikai no matricas A daļas, kas piešķirta mazajam (2) 
Tādējādi mēs pārkārtojam matricas A (2) rindas un (vai) kolonnas tā, lai “jaunais” elements kļūtu par nulli.
Pieraksts. Matricas rangs tiek izsaukts maksimālais lineāri neatkarīgo rindu skaits, kuras tiek aplūkotas kā vektori.
1. teorēma par matricas rangu. Matricas rangs tiek izsaukta matricas minorās nulles maksimālā secība.
Nepilngadīgo izpratne jau tika sakārtota nodarbībā augsta ranga skolēniem, un tajā pašā laikā joga tika atņemta. Ņemiet matricā rindu un kolonnu skaitu, turklāt "prasmju" skaits var būt mazāks par matricas rindu un kolonnu skaitu, bet "prasmju" rindām un kolonnām var būt tas pats numurs. Tad uz šķērsstieņiem rindu rindas un kolonnu rindas parādās mazākas kārtas matrica, mūsu ir ārējā matrica. Matricas i apzīmētājs būs k-tās kārtas minors, tāpēc rindu un kolonnu skaits tiek noteikts būtiski caur k.
Pieraksts. Neliels ( r+1) kārtas, kuras vidū atrodas obrat minor r th rīkojumu, sauc oblyamovuyuchim par šo nepilngadīgo.
Visbiežāk ir divi veidi apskatīt matricas rangu. Tse veids, kā robežojas ar nepilngadīgajiemі elementāru pārveidojumu metode(Gausa metode).
Ar metodi oblyamіvnyh nepilngadīgajiem, teorēma ir uzvaroša.
2. teorēma par matricas rangu. Kā matricas elementiem var pievienot minoru r kārtu, kas nav vienāda ar nulli, tad matricas rangs ir lielāks r.
Ar elementāro pārveidojumu metodi iegūst šādu jaudu:
Tāpat kā elementāru transformāciju ceļš, tika noņemta trapecveida matrica, kas ir ekvivalenta ārējai, tad matricas rangsє rindu skaits nіy krіm rindās, kuras arvien vairāk tiek summētas no nullēm.
Matricas ranga zināšana tādā veidā, lai ierāmētu nepilngadīgos
Oblyamovuyuchy nepilngadīgais tiek saukts par augstākas pakāpes nepilngadīgo saskaņā ar datumu pirms šī datuma, lai šis augstākas pakāpes nepilngadīgais atriebtos nepilngadīgajam notikumā.
Piemēram, ņemot vērā matricu
Vіzmemo minor
pievienot šādus nepilngadīgos:
Algoritms matricas ranga noteikšanai aizskaroši.
1. Ir zināms, ka tas nav vienāds ar nulli nelielā secībā. Ja visi dažādas kārtas nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, tad matricas rangs ir vienāds ar vienu ( r =1 ).
2. Ja mēs vēlamies vienu citas kārtas minoru, kas nav vienāds ar nulli, tad pievienojam trešās kārtas minerālus. Ja visi trešās kārtas mazie vārdi ir vienādi ar nulli, tad matricas rangs ir vienāds ar diviem ( r =2 ).
3. Ja vēlaties vienu no oblyamovlivyh nepilngadīgajiem trešās kārtas nav vienāds ar nulli, tad mēs pievienojam nepilngadīgajiem, kas oblyamovuyut. Ja visi ceturtās kārtas oblyam_vn_ nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, tad matricas rangs ir trīs ( r =2 ).
4. Tādā veidā rīkojieties tik ilgi, kamēr atļaujat matricas izplešanos.
piemērs 1. Atrodiet matricas rangu
.
Risinājums. Citas kārtas nepilngadīgais 
.
Oblyamovuemo joga. Nepilngadīgie būs chotiri:
,
,
Tādā veidā trešās kārtas nepilngadīgo kadrējums ir vienāds ar nulli, un šīs matricas rangs ir vienāds ar diviem ( r =2 ).
dibens 2. Atrodiet matricas rangu
Risinājums. Šīs matricas rangs ir lielāks par 1, tāpēc, tā kā visi atšķirīgās kārtas nepilngadīgie, matricas skaitļi ir vairāk kā nulle, kas ir starp matricas elementiem, є nav vienāds ar nulli.
3. piemērs. Atrodiet matricas rangu
Risinājums. Citas matricas skaitļa kārtas minors, visi matricas skaitļa trešās kārtas minori ir vienādi ar nulli. Otzhe, qiєї matricas rangs ir tāds pats kā divi.
4. piemērs. Atrodiet matricas rangu
Risinājums. Qiєї matricas pakāpe ir augstāka par 3, jo matricas trešās kārtas viena minora ir augstāka par 3.
Matricas ranga atrašana, izmantojot elementārās transformācijas (Gausa metode)
Jau uz 1. dibena var redzēt, ka piešķirtā matricas pakāpe ir ierāmēta tā, lai skaitītu nevis nepilngadīgos. lielisks skaitlis vyznačņikovs. Tomēr ir veids, kas ļauj iekasēt summu līdz minimumam. Šo pamatu metodi uz viselementārākajām matricu transformācijām sauc arī par Gausa metodi.
Matricas elementārajās transformācijās tiek saprastas šādas darbības:
1) jebkuras rindas vai jebkuras matricas kaudzes reizināšana ar skaitli, kas izskatās kā nulle;
2) rindas elementu saskaitīšana vai nākamās rindas to pašu elementu matrica, kas reizināta ar to pašu skaitli;
3) divu skaitļu rindu maiņa matricā;
4) "nulles" rindu vizualizācija, lai visi šo rindu elementi būtu vienādi ar nulli;
5) visu proporcionālo rindu noņemšana, viena sārtināta.
Teorēma. Ar elementāru transformāciju matricas rangs mainās. Citiem vārdiem sakot, tāpat kā ar elementārām transformācijām matricas formā A pārcēlās uz matricu B, tad.
Be-yaka matrica A pasūtījums m × n var redzēt kā sukupnіst m vektors_rindā_abo n vector_v stopts_v.
rangs matricas A pasūtījums m × n tiek izsaukts maksimālais lineāri neatkarīgo vektoru skaits kolonnās vai vektoru rindās.
Kāds ir matricas rangs A dorivnyuє r, Tad ir rakstīts:
Matricas reitings
Aiziet A pietiekama matrica kārtībā m× n. Zināt matricas rangu A zastosuєmo viņai veids, kā izslēgt Gauss.
Zīmīgi, ka jebkurā iekļaušanas stadijā vadošais elements šķiet vienāds ar nulli, tad tas ir niecīgs tajā pašā rindā pēc rindas, kurā vadošais elements parādās kā nulle. Ja šķiet, ka šādas rindas nav, mēs pārejam uz aizskarošu soli.
Pēc Gausa kustības uz priekšu izslēgšanas tiek noņemta matrica, kuras elementi zem galvas diagonāles ir vienādi ar nulli. Protams, var parādīties nulles rindu vektori.
Nenulles vektoru skaits rindā un būs matricas rangs A.
Apskatīsim vienkāršus dibenus.
piemērs 1.
Reizinot pirmo rindu ar 4 un pievienojot citai rindai, reizinot pirmo rindu ar 2 un pievienojot trešajai rindai, iespējams:
Reiziniet otru rindu ar -1 un dodamo uz trešo rindu:
Mēs atņēmām divas rindas, kas nav nulles i, tāpēc matricas rangs ir 2.
dibens 2.
Mēs zinām uzbrukuma matricas rangu:
Reiziniet pirmo rindu ar -2 un dodamo uz citu rindu. Līdzīgi pirmās kolonnas trešās un ceturtās rindas elementi tika atiestatīti uz nulli:
Citas rindas trešās un ceturtās rindas elementu nullēšana, otrās rindas pievienošana citai rindai, kas reizināta ar skaitli -1.
Apskatīsim matricu A. Paskatīsimies uz pasauli.
A = 
Mēs redzam nākamajā stovptsiv rindā ( 
).
26. tikšanās:Nepilngadīga Matricas A k-to kārtu sauc par kvadrātmatricas apzīmētāju, kas iznāk no tās redzējuma.
rindas un stovptsiv.
27. tikšanās:rangs matricas sauc par lielāko no secībām nulles formā, її minors, r(A).
28. tikšanās: Mazsvarīgs, kuru rindu secība tiek izsaukta pamata nepilngadīgais.
Apstiprinājums:
1. Rangs tiek izteikts kā vesels skaitlis. 
)
2.r=0, 
kad A ir nulle.
Matricu elementārā transformācija.
Pirms tam elementāras pārvērtības matricas izskatās šādi:
1) reizinot visus jebkuras matricas rindas (stovptsya) elementus ar to pašu skaitli.
2) pievienojot jebkuras rindas (stowptsya) matricas elementiem tos pašus nākamās rindas elementus (stowptsya), kas reizināti ar to pašu skaitli;
3) matricas rindu (stovptsіv) permutācija;
4) vіdkidannya nulles rinda (stovptsya);
5) rindu aizstāšana matricā ar dubultām kolonnām.
29. tikšanās: Matricas, kuras parādās viena no otras, elementāru transformāciju gadījumā sauc par ekvivalentām matricām, ko apzīmē ar “~”
Ekvivalentu matricu galvenā jauda: Ekvivalentu matricu rangi ir vienādi.
18. piemērs: Uzskaitīt (A), 
Risinājums: Pirmā rinda pakāpeniski tiek reizināta ar (-4) (-2)
(-7), un tad mēs to pievienosim otrai, trešajai un ceturtajai rindai.
~
atcerieties pārējās un ceturtdaļas rindas 
reiziniet otru rindu ar (-2) un dodamo līdz ceturtajai rindai; mēs uzglabājam vēl vienu un trešo rindu.
trešās un ceturtās rindas noliktavā.
~
vіdkinemo nulles rinda
~
r(A)=3 
izvades matricas rangs
sveiki trīs.
30. tikšanās: Sauksim matricu A soļu frekvence, jo visi galvas elementi ir diagonāli 
0, un elementi zem galvas diagonāles ir vienādi ar nulli.
priekšlikums:
1) pakāpju frekvences matricas rangs ir vienāds ar її rindu skaitu;
2) vai matricu var reducēt uz pakāpju formu papildu elementārpārveidojumiem.
19. piemērs: Jebkurai matricas vērtībai 
maє rangs, scho dorivnyuє odinі?
Risinājums: Rangs ir vairāk vienāds ar vienu, kas nozīmē, ka citas kārtas rangs ir vairāk vienāds ar nulli, tas ir.
§6. Sistēmas lineāro rivnyan zagalnogo vyglyadu.
prāta sistēma 
---(9) sauc par apmelojošā prāta sistēmu.
31. tikšanās: Divas sistēmas sauc par vienlīdz stiprām (ekvivalentām), jo pirmās sistēmas ādas risinājums ir otrs un vienāds.
Sistēmai (1) ir matrica A = 
mēs to saucam par sistēmas galveno matricu, un 
=
paplašināta sistēmas matrica
Teorēma. Kronekera kapela
Lai sistēma (9) būtu pilnīga, ir nepieciešams un pietiekami, lai sistēmas galvenās matricas rangs sasniegtu paplašinātās matricas rangu, tātad r(A)=r( 
)
1. teorēma. Tā kā sistēmas matricas rangs ir vienāds ar nezināmo skaitu, sistēmai ir tikai viens risinājums.
2. teorēma. Ja sistēmas matricas rangs ir mazāks nezināmo skaitam, tad sistēma var būt bezpersonisks risinājums.
Lineāro līniju sistēmas rozv'yazannya dovіlnoї noteikums:
1) zināt sistēmas galveno un paplašināto matricu rindas. Jakšo 
, tad sistēma nav saskaņota.
2) Jakšo 
=r, tad sistēma ir dubultā. Zināt kaut kādu pamata mazo pasūtījumu. Pamatu sauc par nepilngadīgo, pamatojoties uz kuru tika norādīts matricas rangs.
Nezināmie, kuru koeficienti ir iekļauti pamata minorā, tiek saukti par galvu (pamata) un tiem nav levoruha, pretējā gadījumā tos nevar saukt par brīviem un pārnest vienādības labo daļu.
3) Caur gribu zināt galvas nezināmo nozīmi. Otrimano zagalne sistēmas risinājums.
20. piemērs: Sekot sistēmai un zināt vairāk vai mazāk vienīgo risinājumu 
Risinājums: 1) T. Kronekeram-Kapelim zināmas sistēmas paplašinātās un pamata matricas rindas:
~
~
~
~
galvenās matricas rangs
2)
zināms paplašinātās matricas rangs 
~
~
~
3) Višnovoka:
=2, tad sistēma ir koherenta.
aliņš 
sistēma nav redzama un var būt bezpersonisks risinājums.
4) Pamata nezināmais 
і 
, Bo smird melot ar pamata minoru, un 
- Viļņa nav mājās.
Aiziet 
\u003d s, de s - lai tas būtu cipars.
5) Atlikušo matricu atbalsta sistēma 
6) Ieteikums: 
7) Pārskatīšana: vai tas ir vienāds ar vihіdnoї sistēmu, de є visi nevіdomі, podstavlyaєmo znaydenі nozīme.
Entuziasms...
