Pozitīvi iracionāli skaitļi. Kas ir neracionāls skaitlis

No vecās vienas dozhinas matemātiķi jau zināja: viņi apzinājās, piemēram, par tās kvadrāta malas diagonāles neatbilstību, kas ir vienāda ar skaitļa iracionalitāti.

Racionāls:

Lietojiet neracionalitātes pierādījumu

Korin z 2

Pieļaujami nepieņemami: racionāli, tāpēc šķiet, ka tas izskatās pēc neīsas daļskaitļa, de i - skaitļu skaits. Zvedomo perebachuvanu līdzsvars laukumā:

Zvіdsi squeal, scho paired, otzhe, paired i. Nāc de cile. Todi

Tēvs, pāris, tēvs, pāris i. Mēs, tāpat kā zēni un meitenes, atņēmām daļskaitļa īsumu. Oce, bija nepareizi atlaist, un - neracionāls skaitlis.

2 logaritms 3

Pieļaujami nepieņemami: racionāli, tāpēc šķiet, ka tā ir daļa, de i - vesels skaitlis. Šķembas var uzskatīt par pozitīvu. Todi

Ale ir sapārots, bet nesapārots. Paņemam salveti.

e

Vēsture

Iracionālo skaitļu jēdzienu netieši pieņēma Indijas matemātiķi 7. gadsimtā pirms mūsu ēras, ja Manavas (bl. 750 BC - bl. 690 BC) skaitļus, piemēram, 2 un 61, nevar skaidri izteikt.

Pirmais iracionālo skaitļu pamatu pierādījums tiek piedēvēts Hipazam no Metaponta (bl. 500 p.m.ē.), pitagoriešiem, kuri zināja šo pierādījumu, apgriežot sānus ar pentagrammām. Pitagoriešu stundās bija svarīgi, lai būtu tikai viena diena, tā bija maza un nepanesama, kā vesels skaitlis, lai iekļūtu be-yaky vіdrіzok. Aizsargājiet Hippas, ka nav nevienas dzīves vienības, nolaidības šķembas par її іsnuvannya, ko celt līdz izcilībai. Vins ir parādījis, ka vienāda augšstilba kaula taisna griezuma trīskaulu hipotenūza var kompensēt atsevišķu ribu skaitu, bet skaits vienlaikus var būt gan savienots, gan nesapārots. Pierādījums izskatās šādi:

• Hipotensijas garuma pagarināšana līdz taisna augšstilba kaula taisna griezuma trikotāžas kājas garumam var būt izteiktāka a:b, de aі b izvēlēties mazāko iespējamo.
• Pitagora teorēmai: a² = 2 b².
• tik jaks a² puisis, a var būt savienots pārī (oskіlki kvadrāts no nepāra numura buv bi ir nesapārots).
• Oskilki a:b nav īss, b var būt nesapārots.
• tik jaks a zēns, nozīmīgs a = 2y.
• Todi a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², vēlāk b² puisis, todi i b pāros.
• Prote Bulo atveda, sho b nesapārots. Tīrīšana.

Grieķu matemātiķi nosauca nereciprokālo lielumu vērtību alogos(nevimovnim), prote zgіdno ar leģendām neredzēja Hipas nastu. Pastāv leģenda, ka Hippas zdіysniv vіdkrittya, perebuvaya jūras braucienā, un citi pitagorieši viņu pārņēma aiz borta “viszziņas elementa radīšanai, kas nosoda doktrīnu, ka visas viszinības ikdienas lietas var būt samazināts līdz šo skaitļu skaitam. Hipas atklāšana radīja nopietnu problēmu Pitagora matemātikai, iznīcinot pieņēmumus, kas bija visu teoriju pamatā, ka skaitļi un ģeometriski objekti ir vienoti un nedalāmi.

Div. arī

Piezīmes

Materiāls tsієї statti є pochatkovu іnformієyu pro iracionāli skaitļi. Uz rokas iracionālu skaitļu un rožu iecelšana ir saprotama joga. Tālāk liksim neracionālus skaitļus. Nareshti, paskatīsimies uz dejaku, dodieties uz za'yasuvannya, ja dotais skaitlis ir iracionāls skaitlis.

Navigācija sānos.

Iracionālo skaitļu iecelšana un pielietošana

Sagriežot desmitdaļas, tika aplūkotas bezgalīgās neperiodiskās desmitdaļas. Šādas frakcijas mirgo uz desmito daļu no dožinu skaita vіdrіzkіv, nonsummary ar vienu vіdrіzk. Mēs arī norādījām, ka nereducētas neperiodiskas desmitdaļas nevar pārvērst primārajās daļās (brīnieties par primāro daļskaitļu tulkošanu no desmitiem un atpakaļ), kā arī skaitļi nav racionāli skaitļi, tie šādā veidā attēlo iracionālus skaitļus.

Tā nu mēs devāmies augšā iracionālo skaitļu apzīmējums.

Pieraksts.

Skaitļi, tāpat kā desmitajā ierakstā, ir neizsmeļamas neperiodiskas decimāldaļdaļas, tiek sauktas iracionāli skaitļi.

Tikšanās skanēšana ļauj vadīt pielietot neracionālos skaitļus. Piemēram, neizsmeļamais neperiodiskais decimālskaitlis 4.10110011100011110000… (vieninieku un nulles skaits palielinās par vienu) ir iracionāls skaitlis. Pieņemsim iracionāla skaitļa piemēru: −22.353335333335…

Slīdēja zaznachit, scho іracionālie skaitļi dosit rіdko zustrіchayutsya vglyadі neskіnchennyh neperiodiskas decimāldaļas. Smaka smirdoņa ieraugot utt., kā arī ieraugot speciāli ievestus burtus. Visbiežāk sastopamie iracionālo skaitļu piemēri šādā ierakstā ir aritmētiskā kvadrātsakne no diviem, skaitlis “pi” π=3,141592…, skaitlis e=2,718281… šis zelta skaitlis.

Iracionālos skaitļus var aprēķināt arī, izmantojot racionālos skaitļus, piemēram, racionālos un iracionālos skaitļus.

Pieraksts.

Iracionāli skaitļi- tse dіysnі skaitļi, yakі є racionāli.

Kāds ir iracionāls skaitlis?

Ja skaitlis ir iestatīts virs decimāldaļas, un deyakogo, sakne, logaritms plānā kārtā.

Bez šaubām, kad ēdiens tiek piegādāts, ir vēl labāk zināt, jo skaitļi nav neracionāli. No iracionālo skaitļu apzīmējuma izriet, ka iracionālie skaitļi ir racionāli skaitļi. Šādā secībā neracionālie skaitļi NAV:

• kіntsі un neskіnchennі periodiskas desmitdaļas.

Tas nav arī iracionāls skaitlis, vai tas būtu racionālu skaitļu sastāvs, kas saistīts ar aritmētisko darbību zīmēm (+, −, ·, :). Tse tim, scho summa, mazumtirdzniecība, tvir un privāti divi racionālie skaitļi є racionālais skaitlis. Piemēram, vīrusa vērtības ir racionāli skaitļi. Tūlīt ir cieņā, ka, ja šādos gadījumos starp racionālajiem skaitļiem ir viens iracionāls skaitlis, tad veselā vērtība būs iracionāls skaitlis. Piemēram, programmā Virase skaitlis ir neracionāls, un skaitļi ir racionāli, tāpat arī iracionālais skaitlis. Jakbijs bija racionāls skaitlis, tad skaitļa racionalitāte no tā izspiedās, bet tas nebija racionāls.

Parasti, ja ir dots skaitlis, lai novērstu iracionālo skaitļu, sakņu zīmju, logaritmu, trigonometrisko funkciju, skaitļu π, e apkaisīšanu, tad ir jāpierāda dotā skaitļa iracionalitāte vai racionalitāte konkrētā ādas gadījumā. . Taču tas jau ir zems, ņemot vērā rezultātus, ko var paātrināt. Uzskaitīsim galvenos.

Ir pierādīts, ka soļa k sakne no vesela skaitļa ir racionāls skaitlis, ja skaitlis ir mazāka vesela skaitļa k-tā soļa sakne, citos gadījumos šādu sakni dod iracionāls skaitlis . Piemēram, skaitļi i ir iracionāli, tas, kuram nav vesela skaitļa, kura kvadrāts ir dārgāks 7 un kuram nav vesela skaitļa, kura skaitlis ir pieci soļi, dod skaitli 15. Un skaitļi і є іracionāli, oskіlki і.

Ja vēlaties izmantot logaritmus, tad novediet tos līdz iracionalitātei un izmantojiet paralēlisma metodi. Piemēram, mēs varam teikt, ka log 2 3 ir iracionāls skaitlis.

Pieņemsim, ka log 2 3 ir racionāls skaitlis, bet chi nav iracionāls, tāpēc to var uzskatīt par daļu m/n. un ļauj reģistrēt vienādību svārstību sākumu: . Greizsirdības saglabāšana nav iespējama, joga kreisajā daļā nesapārots numurs, un labā daļa - puisis. Tā mēs to izdarījām vēlreiz, vēlāk mūsu pieņēmums izrādījās nepareizs, un tika atklāts, ka log 2 3 ir neracionāls skaitlis.

Ar cieņu, scho lna pozitīva un vіdmіnnom vіd vienotības racionālā є iracionālā skaitļa gadījumā. Piemēram, i - iracionāli skaitļi.

Ir arī pierādīts, ka skaitlis e a racionālas bezprātīgas nulles gadījumā ir iracionāls, un skaitlis π z ir iracionāls, ja apzināta vesela nulle z є iracionāls. Piemēram, skaitļi ir neracionāli.

Iracionālie skaitļi ir arī trigonometriskas funkcijas sin, cos, tg un ctg jebkurai racionālai un patvaļīgai argumenta nulles vērtībai. Piemēram, sin1 , tg(−4) , cos5,7 ir iracionāli skaitļi.

Іsnuyut un іnshі atnesa іn rezultātus, uz yakі mi mēs sajaucamies ar jau augšāmcēlušies. Ir arī jāsaka, ka, lai pierādītu izteiktos rezultātus, vairāk rezultātu ir zastosovuetsya teorija algebriskie skaitļiі pārpasaulīgie skaitļi.

Nasamkіnets ir zīmīgi, ka tas nav jaunāko sasniegumu varto darbs, lai doto skaitļu neracionalitāte. Piemēram, šķiet acīmredzami, ka iracionāls skaitlis iracionālā pakāpē ir iracionāls skaitlis. Tā turpināt. Kā apstiprinājumu izskanējušajam faktam, pārcelsim soļus. Mēs redzam, ka tas ir iracionāls skaitlis, un ir arī audzināts, ka tas ir iracionāls skaitlis, ale racionāls skaitlis. Var ienest arī iracionālo skaitļu, summas, mazumtirdzniecības, tvir un privāti šādu є racionālu skaitļu piemērus. Turklāt skaitļu π+e , π−e , π·e , π π , π e un citu bagātību racionalitāte un iracionalitāte nav celta gaismā.

Literatūras saraksts.

• Matemātika. 6. klase: Navch. par zagalnosvіt. komplekts/[N. Jā Viļenkins un iekš.]. - 22. suga., Vipr. – M.: Mnemozina, 2008. – 288 lpp.: il. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: navch. 8 šūnām. zahalnosvit. set/[Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Ņeškovs, S. B. Suvorova]; par sarkanu. S. A. Teļakovskis. - 16. veids. - M.: Prosvitnitstvo, 2008. - 271 lpp. : il. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (palīdzības grāmata tehnikuma audzēkņiem): Navč. palīgs.- M.; Visch. skola, 1984.-351 lpp., il.

Un tā saknes smaka tika pārņemta no latīņu vārda "ratio", kas nozīmē "iemesls". Vykhodyachi no burtiskā tulkojuma:

• Racionālais skaitlis - tse "saprātīgs skaitlis".
• Iracionāls skaitlis, acīmredzot, "neracionāls skaitlis".

Dziļa izpratne par racionālo skaitli

Racionālais skaitlis ir skaitlis, ko var uzrakstīt šādi:

1. Zvicheynogo pozitīva frakcija.
2. Negatīvā zvichaynogo frakcija.
3. Skaitlis izskatās kā nulle (0).

Citiem vārdiem sakot, līdz racionālam skaitlim pіdіyde tik vyznachennya:

• Ja naturāls skaitlis є pēc savas būtības ir racionāls, tad, ja naturālu skaitli var attēlot, izskatoties kā daļskaitlis.
• Neatkarīgi no tā, vai tas ir vesels skaitlis, ieskaitot skaitli nulle, šķembas, vai tas ir vesels skaitlis, var uzrakstīt kā pozitīvu virsskaitli, kā negatīvu virsskaitļu daļu un kā nulli.
• Neatkarīgi no tā, vai tas ir lielisks drībs, un var būt nevis pozitīva vērtība, bet gan negatīva, tas var arī aiziet bez aizķeršanās ar racionālu skaitli.
• Tātad, pirms pašas tikšanās jūs varat pievienot un mainīt numuru, pēdējo desmito dribu vai neizsīkstošo periodisko dribu.

Izmantojiet racionālu skaitli

Apskatīsim racionālos skaitļus:

• Naturālie skaitļi - "4", "202", "200".
• Ciparu cipari - "-36", "0", "42".
• Atvainojiet par frakcijām.

No vairāk piemēroto lietojumprogrammu saraksta ir skaidrs, ka racionālie skaitļi var būt gan pozitīvi, gan negatīvi. Acīmredzot skaitlis 0 (nulle), jo tam ir sava rinda kā racionāls skaitlis, tajā pašā laikā nav iekļauts negatīva skaitļa pozitīvā skaitļa kategorijā.

Zvіdsi, es gribētu uzminēt maģisku apgaismojuma programmu ar aizskaroša apzīmējuma palīdzību: "Racionālie skaitļi" tiek saukti par skaitļiem, kurus var uzrakstīt kā daļskaitli x / y, de x (skaitītājs) ir vesels skaitlis, un y (zīme) ir naturāls skaitlis.

Labāka izpratne par iracionālā skaitļa nozīmi

Mums ir zināms "racionālo skaitļu" krēms un "neracionālo skaitļu" nosaukums. Īsi mēģināsim norunāt tikšanos šiem numuriem.

Senie matemātiķi, aprēķinājuši kvadrāta diagonāli no tā malām, zināja par iracionāla skaitļa bāzi.
Vyhodyachi iecelšanu par racionāliem skaitļiem, jūs varat izraisīt loģisku valodu un datumus iracionālā skaitļa iecelšanai.
Otzhe, tiešām, tie ir faktiskie skaitļi, kas ir racionālie, elementārie un iracionālie skaitļi.
Decimāldaļas, kas attēlo neracionālus skaitļus, nav periodiskas un neizsmeļamas.

Lietojiet neracionālu skaitli

Apskatīsim nelielu iracionāla skaitļa piemēru. Kā mēs jau sapratām, neskaitāmus desmitus neperiodisku daļu sauc par iracionālām, piemēram:

• Skaitlis "-5.020020002 ... (ir skaidri redzams, ka tie divi ir sadalīti viena, divu, trīs utt. nulles secībā)
• Skaitlis "7.040044000444 ... (šeit ir skaidrs, ka četrinieku skaits un nulles palielināsies par vienu lancetiskā veidā).
• Ikviens zina skaitli Pi (31415 ...). Tātad, tā - tas ir arī neracionāli.

Vzagali visi faktiskie skaitļi ir gan racionāli, gan neracionāli. Runāšana vienkāršos vārdos, iracionāls skaitlis nav redzams virsskaitļa daļā x / y.

Zagalny vysnovok ka īss p_vnyannya starp cipariem

Mēs apskatījām ādas numuru okremo, zaudējām atšķirību starp racionālo un iracionālo skaitli:

1. Iracionālais skaitlis tiek uzasināts, kad tiek iegūta kvadrātsakne, kad mietu dala ar diametru utt.
2. Racionāls skaitlis ir liela daļa.

Ieliksim savus kilkom statūtus ar konfesijām:

• Aritmētiskā darbība, kas izvērsta virs racionāla skaitļa, tumšsarkanā dalīta ar 0 (nulle), gala rezultātā tā arī tiek reducēta uz racionālu skaitli.
• Gala rezultātu, veicot aritmētisko darbību ar iracionālu skaitli, var novest gan uz racionālu, gan uz iracionālu vērtību.
• Ja piedalāmies aritmētiskajā darbībā un tiem un citiem skaitļiem (neatkarīgi no tā, vai esam dalījuši vai reizinājuši ar nulli), tad rezultātu redzēsim kā iracionālu skaitli.

Bezpersoniskie iracionālie skaitļi izskan, lai tos apzīmētu ar lielo latīņu burtu I (\displaystyle \mathbb (I) ) pie treknās kontūras bez pildījuma. Šādā veidā: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q)), tad bezpersoniski iracionālie skaitļi є runas un racionālo skaitļu daudzveidības atšķirība.

Par iracionālo skaitļu pamatu, precīzāk, neskaitāmiem skaitļiem, neskaitāmiem vienā singularitātē, jau vecie matemātiķi zināja: bija zināms, piemēram, tās kvadrāta malas diagonāles neskaitāmība, kas ir vienāda ar numurs.

Enciklopēdisks YouTube

• 1 / 5

  Racionāls:

  Lietojiet neracionalitātes pierādījumu

  Korin z 2

  Nepieņemsim: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionāli, tāpēc šķiet, ka tā ir daļa m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), de m (\displaystyle m)- vesels skaitlis un n (\displaystyle n) ir naturāls skaitlis.

  Zvedomo perebachuvanu līdzsvars laukumā:

  2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displeja stils (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\labā bultiņa 2=(\frac (m^(2) ) ))(n^(2)))\Labā bultiņa m^(2)=2n^(2)).

  Vēsture

  senatne

  Iracionālo skaitļu jēdzienu netieši pieņēma Indijas matemātiķi 7. gadsimtā pirms mūsu ēras, ja Manava (bl. 750 BC - bl. 690 BC) skaitļus, piemēram, 2 un 61, nevar skaidri izteikt [ ] .

  Pirmais iracionālo skaitļu pamatu pierādījums tiek piedēvēts Pitagora Metaponta Hipazam (bl. 500 BC). Pitagoriešu stundām bija svarīgi, lai būtu tikai viena diena, tā bija maza un nepanesama, jo vesels skaits reižu, lai ievadītu būt-jebkāda veida vіdrіzok [ ] .

  Precīzu datu par tiem nav, šāda skaitļa neracionalitāti apstiprināja Hipazs. Zgіdno z leģenda, vіn znayshov yogo vvchayuchi dozhini malas ar pentagrammām. Tāpēc ir prātīgi atlaist, cik maksāja zelts peretīns [ ] .

  Grieķu matemātiķi nosauca nereciprokālo lielumu vērtību alogos(nevimovnim), prote zgіdno ar leģendām neredzēja Hipas nastu. Pastāv leģenda, ka Hippas zdіysniv vіdkrittya, perebuvaya jūras braucienā, un citi pitagorieši viņu pārņēma aiz borta “viszziņas elementa radīšanai, kas nosoda doktrīnu, ka visas viszinības ikdienas lietas var būt samazināts līdz šo skaitļu skaitam. Hipas atklāšana radīja nopietnu problēmu Pitagora matemātikai, iznīcinot pieņēmumus, kas bija visu teoriju pamatā, ka skaitļi un ģeometriski objekti ir vienoti un nedalāmi.

  Daudzus visus naturālos skaitļus apzīmē ar burtu N. Dabiskie skaitļi, kuri skaitļi ir līdzīgi objektu skaitam: 1,2,3,4, ... Dažos gadījumos naturāliem skaitļiem pievieno arī skaitli 0 .

  Daudzus veselus skaitļus apzīmē ar burtu Z. Skaitļa veselie skaitļi ir naturāli skaitļi, nulle un negatīvi skaitļi:

  1,-2,-3, -4, …

  Tagad mēs nonākam pie visu veselo skaitļu bezpersoniskuma galvenās frakcijas: 2/3, 18/17, -4/5 un tā tālāk. Tad mēs atņemam daudz racionālu skaitļu.

  Racionālo skaitļu anonimitāte

  Visu racionālo skaitļu bezpersoniskums tiek apzīmēts ar burtu Q. Visu racionālo skaitļu reizinājums (Q) ir bezpersonisks, kas sastāv no skaitļiem formā m / n, -m / n un skaitļa 0. ietilpība n,m jūs varat darboties kā naturāls skaitlis. Zīmīgi, ka visus racionālos skaitļus var attēlot rindas beigu vai neizsmeļamas PERIODISKAS decimāldaļas formā. Verno un zvorotne, vai tas būtu sava veida kincevy vai neizsmeļams periodisks desmiti drib var rakstīt šķietami racionālu skaitli.

  Un jaku buti piespiedu kārtā ar numuru 2.0100100010 ...? Vono є neskіchenno NEPERIODISKA decimāldaļdaļa. Es nemelošu uz racionāliem skaitļiem.

  IN skolas kurss Algebras ir mazāk verbāli (vai vairāk fiktīvi) skaitļi. Visu reālo skaitļu neesamību apzīmē ar burtu R. Rich R sastāv no visiem racionālajiem un visiem iracionālajiem skaitļiem.

  Iracionālo skaitļu izpratne

  Iracionāli skaitļi - neskaitāmi desmiti neperiodisku daļskaitļu. Iracionāliem skaitļiem nav īpašas nozīmes.

  Piemēram, visi skaitļi, kas ņemti no naturālu skaitļu kvadrātsaknes, tāpat kā naturālo skaitļu kvadrāti, būs neracionāli. (√2, √3, √5, √6, tikai).

  Taču nav labi domāt, ka iracionālie skaitļi vairāk līdzinās kvadrātsaknes variācijām. Piemēram, skaitlis "pī" arī ir neracionāls, bet tas netika atņemts. Un, ja jūs nemēģināsit, jūs nevarēsit atņemt jogu, kvadrātsakni no jebkura naturāla skaitļa.