apvērsuma matrica- ce matrica A -1 reizinot ar jaku, tiek dota vālīšu matrica A rezultātā iegūst vienu matricu E:
AA −1 = A −1 A =E.
Atgriešanās matricas metode.
Vārtu matricas metode- šī ir viena no visplašākajām matricu risināšanas metodēm un tiek izmantota lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu (SLAE) risināšanai gadījumos, ja nezināmo mainīgo skaits ir vienāds ar algebrisko vienādojumu skaitu.
Ejam sistēma n lineārā rivnyan z n unwidomimi:
Šādu sistēmu var uzrakstīt kā matricas izlīdzināšanu A*X=B,
de 
- sistēmas matrica,
- Stovpets nevidomihs,
- Stovpets vіlnykh koefіtsієntіv.
No dotās matricas izlīdzināšanas to parāda X veids, kā reizināt abas ļaunuma matricas līdzinājuma daļas A-1, pēc kura mēs varam:
A -1 * A * X = A -1 * B
Zinot ko A-1*A=E arī E*X=A-1*B vai X=A-1*B.
Līdz ar kroka sākšanos pagrieziena matrica ir parakstīta A-1 un reiziniet ar simts brīvajiem dalībniekiem B.
Vārtejas matrica uz matricu Aіsnuє mazāk tad, ja det A≠ 0 . Ņemot vērā cenu, ieviešot SLAE ar grozāmās matricas metodes palīdzību, vispirms ir jāmaina det A. Jakšo det A≠ 0 , tad sistēma ir tikai viens risinājums, jo to var atņemt ar vārtu matricas metodi, lai gan det A = 0, tad tāda sistēma ar vārtu matricas metodi netraucē.
Virishennya matrica.
Secība priekš seruma matricas šķīdums:
- Noņemiet matricas arbitru A. Ja zīme ir lielāka par nulli, ja atgriešanās matrica ir tālu, ja atdeve ir lielāka par nulli, tad atgriešanās matricu nav iespējams uzzināt.
- Zināma transponētā matrica AT.
- Shukaєmo algebras papildinājumi, pēc kuriem mēs aizstājam visus matricas elementus ar to algebriskajiem papildinājumiem.
- Apgriezto matricu izvēlamies no algebras piedevām: visi ņemtās matricas elementi dalās ar dotās matricas zīmi. Summēšanas matrica jebkurā laikā būs shukana vārtu matrica.
Norādījumi zemāk par algoritmu seruma matricas šķīdums patiesībā tas ir tas pats, it kā būtu vairāk mājienu, atšķirība ir tikai krokiv šprotei: mums ir svarīgi algebriskie papildinājumi, un pēc tam mēs aprēķinām savienības matricu C.
- Saprotiet, ka ir dota kvadrātveida matrica. Ir skaidrs, ka nav negatīvas ietekmes, ka virulences matrica nevar būt.
- Saprotiet, ka ir dota kvadrātveida matrica. Ir skaidrs, ka nav negatīvas ietekmes, ka virulences matrica nevar būt.
- Algebras papildinājumu aprēķināšana.
- Mēs izveidojam sabiedroto (savstarpēji, nāk) matricu C.
- Apgrieztās matricas pievienošana ar papildinājumiem algebrai: visi dotās matricas elementi C dilimo uz vālītes matricas. Apakšsummas matrica būs nejauši definēta šarnīra matrica.
- Pereveryaemo vikonan robots: reizināta pochatkovu un otrimana matrica, rezultāts var būt viena matrica.
Labāk ir strādāt, lai palīdzētu adventes matricai.
Teorēma: Līdz kvadrātmatricai labā puse piešķiriet vienu tādas pašas kārtas matricu un papildu elementārām pārveidojumiem pa rindām pārtaisiet vālītes matricu, kas ir tā vērta, par vienu, tad tā tiks noņemta no labās puses no labās puses uz vālīti.
Virulences matricas nozīmes piemērs.
Pārvaldnieks. Matricai 
zināt atdevi pēc pievienotās matricas metodes.
Risinājums. Pievienojams noteiktai matricai BET labajā pusē es izdalīšu 2. kārtas matricu:
No 1. rindas var redzēt 2:
Citā rindā ir redzamas 2 pirmās rindas:
Lai tiešsaistē uzzinātu reverso matricu, jums jāievada pašas matricas izmērs. Lai to izdarītu, noklikšķiniet uz ikonām “+” vai “-” doti, kolonnu un rindu skaita vērtības doki jūs nekontrolē. Ievadīsim laukam nepieciešamos elementus. Zemāk ir poga "Aprēķināt" - nospiežot її, ekrānā redzēsiet atsauksmes par atskaites lēmumiem.
Lineārā algebra bieži iestrēgst vārtu matricas aprēķināšanas procesā. To izmanto tikai neapspriežamām matricām un kvadrātveida matricām, lai saprastu nulles determinantu. Principā razrahuvat її nav є īpaša locīšana, it īpaši, ja maєte labajā pusē ar nelielu matricu. Turklāt, ja jums ir nepieciešams salokāms rozrahunka vai atkārtoti pārbaudīt savu lēmumu, pasteidzieties ar šo tiešsaistes kalkulatoru. Ar šo palīdzību jūs ātri un ar augstu precizitāti pārskatāt matricu.
Ar šī tiešsaistes kalkulatora palīdzību jūs varat ievērojami atvieglot savas problēmas. Turklāt vīns palīdz nofiksēt materiālu, teorētiski to atņemšana ir sava veida simulators smadzenēm. Neskatieties uz to tā, it kā es manuāli mainīšu aprēķinus, es varu dot jums vairāk naudas, atvieglojot paša algoritma izpratni. Līdz tam jūs nevarat padarīt sevi zayva reverka.
Virulences matricas nozīme ir process, kas attīstās, lai veiktu vienkāršus uzdevumus. Ale tsі dії atkārtojas tik bieži, ka process iziet, lai pabeigtu trivalim. Golovna - netērējiet cieņu ar ķiršu.
Ja izmantojat visplašāko metodi - algebras papildinājumus, jums būs nepieciešams:
Pieteikuma lološanas stundā mēs sakārtosim atskaiti. Tikmēr mēs zinām, kāda ir teorija par pagrieziena matricu.
Priekš seruma matrica іsnuє pirms upes līdzība ar atgriešanās numuru. Ādas numuram a, kas nav vienāds ar nulli, ir tas pats skaitlis b, kas tvir aі b viens vienīgs: ab= 1. Skaitlis b izsauca numura atgriešanu b. Piemēram, skaitlis 7 ir skaitlis 1/7, skaitlis 7 * 1/7 = 1.
Virulences matrica , kas jums jāzina par qiєї kvadrātveida matricu BET, šādu matricu sauc
tvir uz yaku matricas BET labajā pusē ir identitātes matrica, tātad
. (1)
Viena matrica ir diagonāla matrica, jo visi diagonālie elementi ir vienādi ar vienu.
Seruma matricas nozīme- uzdevums, jo tas visbiežāk tiek pārkāpts ar divām metodēm:
- ar algebrisko saskaitījumu metodi, kad, kā tas bija atzīmēts stundas sākumā, ir jāzina primārās, mazākuma un algebriskās saskaitīšanas un transponēšanas matricas;
- ar nedomiskā Gausa iekļaušanas metodi, kurā nepieciešams veikt matricu elementāras transformācijas (saskaitīt rindas, reizināt rindas ar tādu pašu numuru utt.).
Īpaši atkarīgiem izmantojiet citas metodes, piemēram, lineāro transformāciju metodi. Šajā brīdī mēs analizēsim trīs metodes un algoritmus vārtu matricas nozīmei, izmantojot metodes.
Teorēma.Ādas nevienskaitlīgai (nevienskaitlīgai, nevienskaitlīgai) kvadrātveida matricai var zināt apvērsuma matricu un pat vairāk nekā vienu. Īpašai (virogēnai, vienskaitļa) kvadrātveida matricai matrica nav iesaiņota.
Tiek saukta kvadrātveida matrica nav īpašs(pretējā gadījumā neapstrādāta, nevienskaitlis), jo mainīgais nav vienāds ar nulli, tas īpaši(pretējā gadījumā virogēns, vienskaitlis), kas nozīmē, ka zīme ir vienāda ar nulli.
Apgrieztā matrica ir zināma tikai kvadrātveida matricai. Acīmredzot arī apgrieztā matrica būs kvadrātveida un tādā pašā secībā kā matrica. Matricu, kurā reversā matrica ir zināma, sauc par reverso matricu.
Pagrieziena matricas aprēķins ar nedominējošā Gausa iekļaušanas metodi
Pirmais tamborējums vārtu matricas vērtībai ar nezināmā Gausa izslēgšanas metodi - piešķiriet matricai A Es izdalīšu tādas pašas kārtas matricas, atjaunojot tās ar vertikālu robežu. Mēs ņemam dubultu matricu. Reiziniet matricas aizskarošās daļas ar , pēc tam noņemiet to
,
Vārtu matricas vērtības algoritms ar nedominējošā Gausa izslēgšanas metodi
1. Pirms matricas A piešķirt vienu matricu tai pašai secībai.
2. Apgrieziet dubulto matricu tā, lai kreisajai daļai būtu viena matrica, bet labajai daļai būtu apgrieztā matrica vienas matricas telpā. matrica A matricas kreisā daļa tiek pārveidota par vienu matricu pa matricas elementāro transformāciju ceļu.
2. Kāds ir matricas transformācijas process A vienā matricā noteiktā rindā vai noteiktā kolonnā parādās tikai nulles, tad matricas apzīmētājs ir vienāds ar nulli, i, arī matrica A būt virogēnam, un nav virulences matricas. Un šeit, tālāk, ir piesprausta pagrieziena matrica.
dibens 2. Matricai
zināt rotācijas matricu.
Un її izveidosim no jauna, lai kreisajai daļai būtu viena matrica. Sāksim transformāciju.
Kreisās un labās matricas pirmo rindu reiziniet ar (-3) un pievienojiet to otrai rindai, un pēc tam reiziiniet pirmo rindu ar (-4) un pievienojiet to trešajai rindai, pēc tam atņemiet
.
Sob yakomoga nākamo transformāciju laikā nebija daļskaitļu, izveidosim vienu citas rindas priekšā dubultās matricas kreisajā daļā. Par ko mēs reizinām otru rindu ar 2 un redzam trešo rindu, tad ņemam to
.
Mēs pievienojam pirmo rindu ar citu, un tad mēs reizinām otru rindu ar (-9) un pievienojam to ar trešo rindu. Todi otrimaєmo
.
Pēc tam sadaliet trešo rindu uz 8
.
Trešo rindu reiziniet ar 2 un saglabājiet to citā rindā. Izeja:
.
Pārkārtosim otru un trešo rindu pa vietām, tad ņemsim atlikušo:
.
Bachimo, ka kreisajai daļai bija viena matrica, tad labajā pusē bija apgrieztā matrica. Šādā veidā:
.
Varat apgriezt aprēķinu, reizinot izvades matricu ar zināmo apvērsuma matricu:
Rezultātā ir jāatrod apvērsuma matrica.
Jūs varat mainīt lēmumu, lai saņemtu palīdzību tiešsaistes kalkulators krēpu matricas vērtībai .
3. piemērs. Matricai
zināt rotācijas matricu.
Risinājums. Pievienojot dubultotu matricu
un mēs її pārstrādāsim.
Pirmā rinda tiek reizināta ar 3, bet otra ar 2, un tā ir redzama no otras, un pēc tam pirmā rinda tiek reizināta ar 5, bet trešā ar 2 un ir redzama no trešās rindas, tad tā tiek noņemta
Šī tēma ir viena no ienīstākajām studentu vidū. Hirshe, varbūt, mazāk vyznachniki.
Lieta ir tāda, ka pati izpratne par galveno elementu (un es tajā pašā laikā nerunāju par matricām) mums palīdzēja pirms reizināšanas darbības. Navitat shkіlnіy progrіnіnі vvazhaєtsya saliekama darbība, un matricu daudzveidība - vzagali okrema tēma, yakіy Man ir piešķirta visa rindkopa un video nodarbība.
Šodien mēs neiedziļināsimies matricas aprēķinu detaļās. Tikai minēju: kā tiek apzīmētas matricas, kā vairojas smaka un kas no tās izplūst.
Atkārtošana: matricas reizināšana
Parunāsim par atzīšanu. Matrica $A$ izvērsta $\left[ m\times n \right]$ ir vienkārši h skaitļu tabula vienādā secībā $m$ rindas un $n$ rindas:
\=\apakšskava(\left[ \begin(matrica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & (a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\beigas(matrica) \right])_(n)\]
Lai nesajauktu rindas un rindas vipadkovā veidā (pārliecinieties, ka miegā varat sajaukt vienu un divus - ko jūs varat teikt par jaksu rindām), vienkārši skatieties attēlu:
Indeksu apzīmējums klitīna matricai Ko tu redzi? Ja novieto standarta koordinātu sistēmu $OXY$ kreisajā augšējā locījumā un virza asi tā, lai smaka noslāpē visu matricu, tad matricas ādas šūna var viennozīmīgi iestatīt koordinātas $\left(x;y \right) $ - būs rindas numurs un numurs stovptsya.
Kāpēc koordinātu sistēma atrodas augšējā kreisajā stūrī? Tieši šī iemesla dēļ mēs sākam lasīt tekstus. Tse duz tikai atceries.
Un kāpēc viss $x$ ir tieši uz leju, nevis ar labo roku? Es zinu, ka viss ir vienkārši: paņemiet standarta koordinātu sistēmu (visi $x$ iet pa labi, visi $y$ iet uz augšu) un pagrieziet to tā, lai tā uzbriest matricu. Šis ir 90 grādu pagrieziens aiz gada bultiņas – tāds ir mana bačimo rezultāts attēlā.
Zagalom, kā matricas elementiem piešķirt indeksus, pasaule tika sakārtota. Tagad apskatīsim reizinājumus.
Pieraksts. Matricas $A=\left[ m\times n \right]$ un $B=\left[ n\times k \right]$, ja kolonnu skaits pirmajā ir lielāks par rindu skaitu otru sauc par saīsinājumiem.
Tāpat. Var šaubīties un teikt, ka matricas $A$ un $B$ apmierina pasūtīto pāri $\left(A;B \right)$: ja tās ir sakārtotas šādā secībā, tad nav skaidrs, ka $B$ un $ A$, tad. var izmantot arī pāri $\left(B;A \right)$.
Ir iespējams reizināt vairāk nekā izmantojot matricu.
Pieraksts. Tvіr uzgodzhenikh matricas $A=\left[ m\times n \right]$ un $B=\left[ n\times k \right]$ ir cenu matrica $C=\left[ m\times k \right]$ tādi elementi kā $((c)_(ij))$ tiek ņemti vērā pēc formulas:
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
Citiem vārdiem sakot: lai ņemtu matricas $C=A\cdot B$ elementu $((c)_(ij))$, ņemiet pirmās matricas $i$-rindu, $j$-to rindu. no otras matricas, un pēc tam reiziniet pa pāriem. Rindas elementi ir vienādi. Salieciet rezultātus.
Tātad, ass ir tik suvore. No jauna skatupunkta ir acīmredzama faktu smidzināšana:
- Matricu reproducēšana, acīmredzot, nekomutatīvi: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- Tomēr daudzskaitļi ir asociatīvi: $\left(A\cdot B\right)\cdot C = A\cdot\left(B\cdot C\right)$;
- І pārvietoties sadalījumā: $ \ pa kreisi (A + B \ pa labi) \ cdot C = A \ cdot C + B \ cdot C $;
- Atkal sadalījumā: $ A \ cdot \ kreisi (B + C \ pa labi) = A \ cdot B + A \ cdot C $.
Reizinātāja sadali var adekvāti aprakstīt pašam kreisajam un labajam reizinātājam-sumi, izmantojot reizinātāja darbības nekomutativitāti.
Tomēr tas joprojām iznāk kā $A\cdot B=B\cdot A$, šādas matricas sauc par permutējamām.
Matricas vidū, kā tur reizināt ar, є īpaši t, kā reizinot ar to, vai matrica $A$ atkal dod $A$ vai ne:
Pieraksts. Matricu $E$ sauc par identitātes matricu, ti, $A\cdot E=A$ vai $E\cdot A=A$. Ar kvadrātmatricu $A$ varam uzrakstīt sekojošo:
Matrica pa vienai ir daļa no matricas izlīdzināšanas pabeigšanas stundas būtības. Es piedalījos matricu gaismā. :)
Un caur tsiu $E$ dehto ieraudzīja visu to mežonīgo lietu, it kā būtu rakstīts tālāk.
Kas ir atgriezeniskā matrica
Vairāku matricu šķembas ir darbietilpīga darbība (jums ir jāreizina virkne rindu un kolonnu), tad arī izpratne par galveno matricu šķiet nenozīmīga. Es lūdzu dažus paskaidrojumus.
Tikšanās atslēga
Nu ir pienācis laiks uzzināt patiesību.
Pieraksts. Tiek uzskatīts, ka matrica $B$ ir galvenā matricai $A$, tātad
Apgrieztā matrica tiek apzīmēta ar $((A)^(-1))$ (nemaldieties pa soļiem!), ko var pārrakstīt šādi:
Būtu labāk, ja viss būtu vienkāršs un skaidrs. Ale, analizējot šādu apzīmējumu, es uzreiz vainoju brētliņu par spēku:
- Chi zavzhdi є vorotna matrica? Un, ja jūs nesākat, tad kā jūs apzīmējat: ja tas ir beidzies, un ja tas nav?
- Un kurš teica, ka šāda matrica nav? Vai pašreizējai matricai $A$ ir vairākas atdeves yurbas?
- Kā izskatās "pagrieziena" ūsas? І patīk, labi, їх rahuvati?
Kā tiek aprēķināti algoritmi - mēs par to runāsim trīs reizes gadā. Ale par іnshі uzturu v_dpovіmo inficēšanās. Formalizēsim tos, redzot cieto cietību.
Galvenās pilnvaras
Nez kāpēc principā izskatās tā, kā izskatās matrica $A$, lai tai būtu nepieciešams $((A)^(-1))$. Uzreiz esam neizpratnē par to, ka uzbrukuma matricām jābūt kvadrātveida, turklāt vienāda izmēra: $ \ pa kreisi [n \ reizes n \ pa labi] $.
Lemma 1. Dota matrica $A$ i, kas apvilkta ar їth $((A)^(-1))$. Tās pašas pārkāpuma matricas ir kvadrātveida, turklāt vienāda secība $ n $.
Pierādījums. Viss ir vienkārši. Ļaujiet matricai $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Mērogi twir $A\cdot ((A)^(-1))=E$ pielāgošanai, matricas $A$ un $((A)^(-1))$ atbilstoši norādītajai secībai:
\[\begin(līdzināt) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( līdzināt)\]
Tās ir tiešas matricas reizināšanas algoritma sekas: koeficienti $n$ un $a$ ir "tranzīts" un vienādi.
Tajā pašā laikā tiek piešķirts apgrieztais reizinātājs: $((A)^(-1))\cdot A=E$, tātad arī matricas $((A)^(-1))$ un $A$ piešķirts norādītajam pasūtījumam:
\[\begin(līdzināt) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( līdzināt)\]
Tāpat bez starpniecības varam ņemt vērā, ka $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Tomēr ir iespējams piešķirt $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, tāpēc matricas var viegli paplašināt:
\[\begin(līdzināt) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(līdzināt)\]
I-ass iziet tā, ka visas trīs matricas - $ A $, $ ((A) ^ (-1)) $ i $ E $ - ir kvadrāta izmēri $ \ kreisi [n \ reiz n \ pa labi] $. Lemma piegādāta.
Nu jau ir slikti. Mēs, kas kļūstam par vilkačiem, esam mazāki par kvadrātveida matricām. Tagad mēs mainām, ka ir tikai viena atgriešanās matrica.
Lemma 2. Dota matrica $A$ i, kas apvilkta ar їth $((A)^(-1))$. Tā pati apvērsuma matrica ir viena.
Pierādījums. Pidemo in protivolezhnoy: ļaujiet matricai $A$ var vēlēties divas reversa kopijas - $B$ un $C$. Todі, zgіdno z znachennyam, virnі takі іvnostі:
\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \& A \ cdot C = C \ cdot A = E. \\ \end(līdzināt)\]
Iespējams, ka visas matricas - $ A $, $ B $, $ C $ i $ E $ - ir kvadrātveida tādā pašā secībā: $ \ kreisi [n \ reiz n \ pa labi] $. Otzhe, tvir tika iecelts:
Matricu reizināšanas šķembas asociatīvi (bet ne komutatīvi!), Mēs varam rakstīt:
\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\&B\cdot A\cdot C=B\cdot\left(A\cdot C\right)=B\cdot E=B; \&B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C.\\ \end(align)\]
Otrimali edino iespējamais variants: divi pivot matricas gadījumi ir vienādi. Lemma piegādāta.
Spoguļošanas izmantošana var burtiski atkārtot pivotālā elementa vienotības pierādījumu visiem reālajiem skaitļiem $b\ne 0$. Vienīgais papildinājuma avots ir matricu paplašināšanās parādīšanās.
Vtіm, mi dosi par tiem neko nezinu, chi kvadrātveida matrica є atgriezeniska. Šeit palīgā nāk visu kvadrātveida matricu galvenā īpašība.
3. Lemma. Dota matrica $A$. Tā kā matrica $((A)^(-1))$ tai ir atgriezeniska, tad izvades matricas zīme ir vienāda ar nulli:
\[\pa kreisi| A \right|\ne 0\]
Pierādījums. Mēs jau zinām, ka $A$ un $((A)^(-1))$ ir kvadrātveida matricas $\left[ n\times n \right]$. Arī to ādu var aprēķināt kā simbolu: $\left| A \right|$ i $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Aizsargājiet primātu, lai radītu tikumīgu vyznachniku radīšanu:
\[\pa kreisi| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]
Ale zgіdno z galamērķi $A\cdot ((A)^(-1))=E$, un saucējs $E$ vienmēr iet uz 1, tāpēc
\[\begin(līdzināt) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(līdzināt)\]
Divu skaitļu ieguvums ir vienāds ar vienu tikai tādā gadījumā, ja šo skaitļu āda ir vienāda ar nulli:
\[\pa kreisi| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]
Asis es izeju, sho $ \ pa kreisi | A \right|\ne 0$. Lemma piegādāta.
Patiešām, tas ir vēl loģiskāk. Tūlīt mēs analizēsim pivot matricas nozīmīguma algoritmu - un es sapratīšu, kāpēc principā nav iespējams pamatot jebkuras šarnīra matricas nulles pivotu.
Ale for the cob noformulējiet "papildu" tikšanos:
Pieraksts. Virogēna matrica ir kvadrātveida matrica, kuras izmērs ir $\left[n\times n\right]$ un kuras vērtība ir tuvāka nullei.
Šajā rangā mēs varam apstiprināt, ka apgrieztā matrica nav jauna.
Kā uzzināt atgriešanās matricu
Apskatīsim universālu algoritmu atdeves matricu zināšanām. Vzagali, іsnuіє divi zagalnopriynyatі algoritmi, un otrs arī tiek uzskatīts šodien.
Tā, kuru var apskatīt uzreiz, ir vēl efektīvāka matricām, kas izvērstas $ \ kreisi [2 \ reiz 2 \ pa labi] $ i - daļēja - paplašināta $ \ kreisi [3 \ reizes 3 \ pa labi] $. Un ass sāk paplašināties $ \ kreisi [4 \ reiz 4 \ pa labi] $ yogo ir labāk nesasaldēt. Kāpēc uzreiz visi sapratīs.
Algebriskie papildinājumi
Sagatavojies. Ninі būs bіl. Nē, neuztraucies: skaistā medmāsa pie gultas nenāks pie tevis, pančoki ar mežģīnēm un netaisi pie gultas injekciju. Viss ir daudz prozaiskāk: algebriski papildinājumi tam її "Savienības matricas" diženums būs jūsu ziņā.
Sāksim no galvas. Lai tā ir kvadrātveida matrica $ A = \ left [n \ reiz n \ right] $, kuras elementus sauc par $ ((a)_ (ij)) $. Tad šādam ādas elementam varat norādīt papildinājumu algebrai:
Pieraksts. Papildinājums $((A)_(ij))$ algebrai līdz elementam $((a)_(ij))$, kas atrodas matricas $i$. rindā un $j$. $A=\left[ n \times n \right]$
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
De $M_(ij)^(*)$ ir matricas primārā vērtība, kas ņemta no izejas $A$ un atbilst tai pašai $i$-tajai rindai un $j$-tai kolonnai.
Vēl vienu reizi. Algebras papildinājums matricas elementam ar koordinātām $\left(i;j \right)$ tiek piešķirts kā $((A)_(ij))$ un tiek ņemts vērā pēc parauga:
- Pakausī tas ir izkaisīts no izvades matricas $i$-rindas un $j$-tās rindas. Mēs atņemam jaunu kvadrātveida matricu i її vyznachit mi tiek apzīmēta kā $M_(ij)^(*)$.
- Sareizināsim šo mainīgo ar $((\left(-1 \right)))^(i+j))$ — šī mainīgā reversu var padarīt prātīgu, bet patiesībā tā ir tikai zīme pirms $M_(ij)^ (*)$.
- Vvazhaemo - otrimuemo konkrēts numurs. Tobto. Algebras pievienošana pati par sevi ir skaitlis, nevis jauna matrica utt.
Pati matrica $M_(ij)^(*)$ tiek saukta par komplementāro minoru līdz elementam $((a)_(ij))$. Un šajā ziņā mēs esam ieviesuši lielāku algebriskās pievienošanas nozīmi;
Svarīga cieņa. Zagal "pieaugušo" matemātikā algebriskos papildinājumus apzīmē šādi:
- Ņem kvadrātmatricas $ k $ rindas i $ k $ kolonnas. Skata otrajā rindā matrica izvēršas līdz $\left[k\times k \right]$ - її apzīmētājs tiek saukts par $k$ kārtas mazo un tiek piešķirts $((M)_(k))$ .
- Pārveidosim “atlasīto” $k$ rindu un $k$ kolonnu skaitu. Weide kvadrātveida matrica – skaitli sauc par komplementāro minoru un apzīmē ar $M_(k)^(*)$.
- Mēs reizinām $M_(k)^(*)$ ar $((\left(-1 \right)))^(t))$, kur $t$ ir atlasīto rindu un kolonnu skaitļu summa. Tse i būs algebras papildinājums.
Apskatiet trešo ražu: ziedojumu summa bija $2k$! Turklāt $k=1$ varam ņemt tikai 2 ekstras - i būšu tās $i+j$ - elementa $((a)_(ij))$ "koordinātes", kurām vajag pielikumu. no algebras.
Šajā pakāpē šodien vikāristi tiek viegli piedoti iecelšanai amatā. Ale jak mi nadali, yogo parādās vairāk nizh pietiekami. Kur nāk svarīgākais:
Pieraksts. Konjunkcijas matrica $S$ ar kvadrātmatricu $A=\left[ n\times n \right]$ ir cenu matrica, kas paplašina $\left[ n\times n \right]$, lai iznāktu no $A. $, aizstājot $(( a)_(ij))$ algebriskos papildinājumus $((A)_(ij))$:
\\Labā bultiņa S=\left[ \begin(matrica) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrica) \right]\]
Pirmā doma, kuru pārmet tikšanās pamanīšanas brīdī - "nav jau tā, cik var priecāties!" Atslābsti: rahuvati notiek, bet jau ne tik daudz. :)
Nu tas viss ir ļoti jauki, bet ko vēl vajag? Un tagad ass.
Galvenā teorēma
Pagriezīsimies mazliet atpakaļ. Atcerieties, ka 3. lemmā tika teikts, ka atgriezeniskā matrica $A$ ne vienmēr ir virogēna (tas ir, tā ir nulles noklusējuma vērtība: $ \ left | A \ right | \ ne 0 $).
Tātad ass, patiesa un apgriezta: tā kā matrica $ A $ nav virogēna, tā noteikti ir apgriezta. І atrodiet faktisko shēmu, meklējot $((A)^(-1))$. Apskatiet:
Apvērsuma matricas teorēma. Dosim kvadrātveida matricu $ A = \ kreisi [n \ reiz n \ pa labi] $, un її nulles apzīmētājs ir: $ \ pa kreisi | A \right|\ne 0$. Tad tiek izmantota apgrieztā matrica $((A)^(-1))$ un tiek ievērota pēc formulas:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
Un tagad - viss tas pats, ale razbіrlivim rokraksts. Lai uzzinātu šarnīra matricu, ir nepieciešams:
- Fuck vizionārs $ \ pa kreisi | A \right|$ un samierināties, scho vіn vіdminny vіd nulle.
- Pēc tam salokiet savienojuma matricu $S$. savāc 100 500 papildinājumus algebrai $((A)_(ij))$ un ievieto tos atstarpēs $((a)_(ij))$.
- Transponējiet matricu $S$ un pēc tam reiziniet її ar deac skaitli $q=(1)/(\left|A \right|)\;$.
Es visu! Atrasta atgriešanas matrica $((A)^(-1))$. Apskatīsim dibenu:
\[\left[ \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right]\]
Risinājums. No jauna definēsim vilkacis. Porahuemo vyznachnik:
\[\pa kreisi| A \right|=\left| \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
Vyznachnik vіdminny vіd nulle. Tātad matrica ir apgriezta. Mēs pievienojam savienības matricu:
Mums ir nepieciešami algebriski papildinājumi:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\labais|=3. \\ \end(līdzināt)\]
Izpelnieties cieņu: vyznachniki | 2 |, | 5 |, | 1 | ka |3| — nevis paši moduļi paplašina matricas līdz $\left[1\times 1\right]$, nevis moduļi. Tobto. tā kā sarakstos bija negatīvi skaitļi, tad “mīnusu” nevajag atņemt.
Tātad, mūsu sabiedroto matrica izskatās šādi:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(masīvs)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(masīvs) \right])^(T))=\left[ \begin (masīvs)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(masīvs) \right]\]
Nu no i viss. Uzdevums ir beidzies.
Vidpovid. $\left[ \begin(masīvs)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(masīvs) \right]$
Pārvaldnieks. Atrast iesaiņotu matricu:
\[\left[ \begin(masīvs)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(masīvs) \right] \]
Risinājums. Es vēlreiz atvainojos, vadītājs:
\[\begin(līdzināt) & \left| \begin(masīvs)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(masīvs) \right|=\begin(matrica ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(līdzināt)\]
Vіdmіnny vіd no nulles apzīmētājs ir apgrieztā matrica. Un ass uzreiz būs vissvarīgākā: jums ir jāņem pat 9 (deviņi, māte їх!) algebriskie papildinājumi. Es tos nodīrāju ar $\left[ 2\time 2 \right]$ palīdzību. Lidoja:
\[\begin(matrica) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrica) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrica) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrica) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrica) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrica) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrica) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrica) \right|=2; \\ \end(matrica)\]
Īsāk sakot, sabiedroto matrica izskatās šādi:
Tēvs, atgriešanās matrica būs šāda:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrica) \right]=\left[ \begin(masīvs)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(masīvs) \right]\]
Ass un viss. Asis un vіdpovіd.
Vidpovid. $\left[ \begin(masīvs)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(masīvs) \right ]$
Tāpat kā bahīts, piemēram, ādas dibens, veicām atkārtotu pārbaudi. Pie zv'azku z tsim svarīga cieņa:
Nevilcinieties pārskatīt. Reiziniet doto matricu ar zināmo atdevi - jūs varat atrast $E$.
Vikonati tsiu reverbka ir bagātīgi vienkāršāka nekā swidshe, zemāka shukat atvainojiet no attāliem aprēķiniem, ja, piemēram, jūs pārkāpjat matricas izlīdzināšanu.
Alternatīvs veids
Kā jau teicu, apvērsuma matricas teorēma darbojas brīnumaini, lai izvērstu $\left[2\time 2\right]$ un $\left[3\times 3\right]$ ""), un ass lielu izvērsumu matricām ir pamatojoties uz tiešu summu.
Bet neuztraucieties: ir alternatīvs algoritms, kura palīdzību var atrast $\left[ 10\times 10 \right]$ matricas atgriešanas vērtību. Bet, kā tas bieži notiek, lai redzētu, kurš algoritms mums ir nepieciešams neliels teorētiskais ievads.
Elementāra transformācija
Starp dažādām matricas transformācijām dažas īpašas tiek sauktas par elementārajām. Ir tieši trīs šādas pārvērtības:
- Vairāki. Varat ņemt $i$-to rindu (stow) un reizināt jogo ar skaitli $k\ne 0$;
- Papildinājums. Pievienojiet $i$-tajai rindai (kaudzei) jebkuru citu $j$-to rindu (steku), reizinājumus uz skaitļa $k\ne 0$ (var, protams, i $k=0$, bet kāda jēga vai kādam ir?Nekas nemainīsies.
- Permutācija. Paņemiet $i$-to un $j$-th rindu (stovptsі) un atzīmējiet tās ar pavadoņiem.
Kāpēc šīs pārvērtības sauc par elementārām (lielajām matricām smirdoņa vairs tik elementāra neizskatās) un kāpēc tās ir tikai trīs - uzturs iziet ārpus šodienas nodarbības tvēriena. Tāpēc neiedziļināsimies detaļās.
Tas ir vēl svarīgāk: visas bažas, kas mums jāpārvar saistībā ar pieņemto matricu. Tātad, tātad: jūs neesat pabeidzis. Ar laiku būs vēl viena tikšanās – paliec šīs dienas nodarbībā.
Pieņemta matrica
Vienīgi skolā izlīdzināšanas sistēmas tika izstrādātas ar locīšanas metodi. Nu, lūk, skatiet citu rindu no vienas rindas, reiziniet katru rindu ar skaitli - ass ir viss.
Tātad ass: uzreiz būsiet visi vienādi, bet jau “pieauguši”. Vai tu esi gatavs?
Pieraksts. Dotā matrica $A = \left[n\times n\right]$ i viena tāda paša izmēra matrica $E$ $n$. Tad matrica $\left[A\left| E\pa labi. \right]$ — jauna cenu matrica $\left[ n\times 2n \right]$, kas izskatās šādi:
\[\left[ A\left| E\pa labi. \right]=\left[ \begin(masīvs)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(masīvs) \right]\]
Īsāk sakot, ņemam tai pa labi piedēvēto $A$ matricu pa vienam, vajadzīgā izmēra $E$ matricu, dalītu ar vertikālajiem rīsiem skaistumam - ass ir dota jums.
Kas ir smieklīgi? Un kā ar asi:
Teorēma. Ļaujiet matricai $A$ būt apgrieztai. Apskatīsim saņemto matricu $ \ left [ A \ left | E\pa labi. \right]$. Jaksto par palīdzību elementāra rindu pārveidošana celt її skatīties $ \ pa kreisi [ E \ left | B\pa labi. \right]$, tad. reizinātāja veids, kurā rindu permutācijas ņem matricu $E$ ar labo pusi no $A$, pēc tam tiek izņemta ļaunā matrica $B$ - tiek apgriezta uz $A$:
\[\left[ A\left| E\pa labi. \pa labi]\uz \pa kreisi[ E\pa kreisi| B\pa labi. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]
Axis ir tik vienkārši! Īsumā, acīmredzot, pivot matricas nozīmes algoritms izskatās šādi:
- Pierakstiet doto matricu $\left[ A\left| E\pa labi. \right]$;
- Vikonuvati elementāra punktu rindu transformācija, doki par tiesībām aizstāt $A$ neparādīties $E$;
- Viltīgi, levoruch var parādīties kā matrica $B$. ES atgriezīšos;
- PEĻŅA! :)
Nu, to ir vieglāk pateikt, labāk to pateikt. Apskatīsim dažus piemērus: $\left[ 3\x 3 \right]$ un $\left[ 4\x 4 \right]$ izvēršanai.
Pārvaldnieks. Atrast iesaiņotu matricu:
\[\left[ \begin(masīvs)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(masīvs) \right]\ ]
Risinājums. Mēs pievienojam doto matricu:
\[\left[ \begin(masīvs)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 un 1 \\\end(masīvs) \right]\]
Atlikušās izvades matricas rindas ar singliem, mēs varam redzēt pirmo rindu no pārējām:
\[\begin(līdzināt) & \left[ \begin(masīvs)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\beigas(masīvs) \labais]\sākums(matrica) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\beiga(matrica)\uz \\ & \uz \pa kreisi [ \begin(masīvs)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(masīvs) \right] \\ \end(līdzināt)\]
Vienu vairs nav, pirmā krējuma rinda. Ale її mi nav chipaєmo, іnakshe trešajā stovpci sāk "vairot" shoy sakārtot vienatnē.
Tad mēs varam redzēt vēl vienu divu rindu no pārējām - mēs ņemam vienu apakšējā kreisajā stūrī:
\[\begin(līdzināt) & \left[ \begin(masīvs)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\beigas(masīvs) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrica)\uz \\ & \left [ \begin(masīvs)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masīvs) \right] \\ \end(līdzināt)\]
Tagad jūs varat redzēt pārējo rindu no pirmās rindas un otro rindu no otras - šādā veidā mēs “norādījām” pirmo rindu:
\[\begin(līdzināt) & \left[ \begin(masīvs)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\beigas(masīvs) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrica)\uz \\ & \ uz \left[ \begin(masīvs)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masīvs) \right] \\ \end(līdzināt)\]
Reiziniet otru rindu ar –1 un pēc tam skatiet to 6 reizes no pirmās rindas un pievienojiet 1 reizi pārējai rindai:
\[\begin(līdzināt) & \left[ \begin(masīvs)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masīvs) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \\\beigas(matrica)\uz \\ & \to \left[ \begin(masīvs)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masīvs) \right]\begin(matrica) -6 \\ \augšupvērstā bultiņa \\ +1 \\\beigas ( matrica)\uz \\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(masīvs) \right] \\ \end(līdzināt)\]
Vairs nepietika atcerēties misiju 1. un 3. rindu:
\[\left[ \begin(masīvs)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(masīvs) \right]\]
Gatavs! Labajā pusē ir shukana apvērsuma matrica.
Vidpovid. $\left[ \begin(masīvs)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(masīvs) \right ]$
Pārvaldnieks. Atrast iesaiņotu matricu:
\[\left[ \begin(matrica) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrica) \right]\]
Risinājums. Es atkal komponēju, es nākšu:
\[\left[ \begin(masīvs)(rrrr|rrrr) 1&4&2&3&1&0&0&0 \\ 1&-2&1&-2&0&1&0&0\ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(masīvs) \right]\]
Trohi pozalimaєmo, poturbuєmosya turklāt, skilki uzreiz notiek rahuvat... un pochnemo rahuvat. Attiecībā uz vālīti pirmā kolonna tika “anulēta”, redzot 2. un 3. rindas 1. rindu:
\[\begin(līdzināt) & \left[ \begin(masīvs)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(masīvs) \right]\begin(matrica) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(masīvs)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(masīvs) \right] \\ \end(līdzināt)\]
Sposterigaemo bagātīgāk "mīnuss" 2-4 rindās. Visas trīs rindas reizinām ar –1 un pēc tam noņemam trešo rindu, skatoties uz pēdējās 3. rindu:
\[\begin(līdzināt) & \left[ \begin(masīvs)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(masīvs) \right]\begin(matrix) \ \\ left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\beigas(matrica)\uz \\ & \to \left[ \begin(masīvs)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (masīvs) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \augšupvērstā bultiņa \\ -2 \\\beiga(matrica)\uz \\ & \to \left[ \begin (masīvs)( rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end(masīvs) \right] \\ \end(līdzināt)\]
Tagad ir "pіdsmazhiti" pārējās izvades matricas stunda: mēs varam redzēt pārējo 4. rindu:
\[\begin(līdzināt) & \left[ \begin(masīvs)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masīvs ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(masīvs)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end(masīvs) \right] \\ \end(līdzināt)\]
Pēdējais metiens: “vipally” vēl viens solis, redzot 1. un 3. rindas 2. rindu:
\[\begin(līdzināt) & \left[ \begin(masīvs)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end( masīvs) \right]\begin(matrica) 6 \\ \augšupvērstā bultiņa \\ -5 \\ \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(masīvs)(rrrr|rrrr) 1 &0&0&0&0&33& -6&-26&-17 \\0&1&0&0&6&-1&-5&3\\0&0&1&0&-25&5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masīvs) \ pa labi] \\ \end(līdzināt)\]
Es atkal esmu dusmīgs uz vienu matricu, kas nozīmē, ka labroči ir otrādi. :)
Vidpovid. $\left[ \begin(matrica) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrica) \right]$
Nu no i viss. Pārskati pats – es brucht.
Šajā rakstā apskatīsim pagrieziena matricas jēdzienus, її dominanci un apzīmēšanas veidus. Sīkāk apskatīsim aplikāciju risinājumu, kurā dotajam ir nepieciešams inducēt ietītu matricu.
Navigācija sānos.
Galvenā matrica ir vīzija.
Rotējošās matricas jēdziens tiek ieviests tikai kvadrātveida matricām, kas ir jebkura zināma nulles veida apzīmētājs, tātad neapstrādātām kvadrātveida matricām.
Pieraksts.
Matricu sauc par matricas šarnīra punktu, vyznachnik kā nulles noteikums, kā godīga vienlīdzība 
, de E - Viena matrica ar n kārtu n.
Znahodzhennya zvorotnoj matricas papildu matricām z dodatkіv algebra.
Kā shukati atgriešanās matricu qієї?
Pirmkārt, mums ir jāsaprot transponētā matrica, matricas mazais un matricas elementa algebriskais papildinājums.
Pieraksts.
Neliela k-tā kārtība matrica A ar secību m līdz n - matricas indekss k reiz k, lai nāk no matricas A elementiem, kuriem ir atlasītas k rindas un k kolonnas. (k nepārvieto mazākos h skaitļus m vai n).
Minor (n-1)-tā secība, kas sastāv no visu rindu elementiem, crim i-ої, i no visām kolonnām, krimtā j-tā, kvadrātveida matrica Un secība n pēc n ir nozīmīgs jaks.
Citiem vārdiem sakot, minora iziet no kvadrātmatricas A, kuras secība ir n reize n ar i-tās rindas un j-tās kolonnas elementiem.
Piemēram, mēs to pierakstām, citas kārtas minoru, kas iznāk no matricas 
citas, trešās rindas un pirmās, trešās kolonnas elementu izvēle 
. Tas ir arī parādīts kā nepilngadīgais, kas nāk no matricas vikresluvannyam citu rindu, ka trešā stovptsya 
. Ilustrēsim šos nepilngadīgos: i.
Pieraksts.
Algebriskie papildinājumi Kvadrātmatricas elementus sauc par (n-1) kārtas minoru, kas nāk no matricas A, elementu iekļaušanas i-tajā rindā un j-tajā kolonnā, reizinot ar .
Elementa algebriskā pievienošana ir norādīta kā . tādā veidā, 
.
Piemēram, matricai Elementa є algebriskā pievienošana.
Citā veidā mums ir vajadzīgas divas priekšnieka pilnvaras, kā mēs esam paņēmuši no matricas galvenā aprēķina sadalījuma:
Pamatojoties uz šķīrējtiesneša pilnvarām, paredzētā darbība matricas reizināšanai ar galveno matricas skaitu un izpratni par to ir godīga. 
, de - transponēta matrica, kuras elementi ir algebras piedēkļi.
matrica 
tas ir efektīvs matricai A, tātad kā līdzsvars . Parādīsim to 
Sklademo rotācijas matricas algoritms ar uzvarošu degsmi .
Analizēsim pivot matricas nozīmes algoritmu no sadursmes.
dibens.
Dota matrica 
. Atrodiet iesaiņoto matricu.
Risinājums.
Aprēķināsim matricas A apzīmētāju, izskaidrojot jogu aiz trešās kolonnas elementiem: 
Apzīmētājs vіdmіnniy vіd nulle, tāpēc matrica A ir apgriežama.
Mēs zinām matricu ar algebras papildinājumiem: 
Toms 
Mēs varam arī transponēt matricu ar algebras papildinājumiem: 
Tagad mēs zinām atgriešanās matricas jaku :
Mēs pārskatām atņemto rezultātu: 
Pašu kapitāls vykonuyutsya, otzhe, zvorotna matrica ir zināma pareizi.
Galvenās matricas dominēšana.
Tikumīgās matricas izpratne, greizsirdība , matricu operāciju apzīmējums un matricas apzīmētāja jauda ļauj pivotālās matricas spēks:
Znakhodzhennya zvorotnoi matrica pēc Gausa-Jordāna metodes.
Izveidot alternatīvas metodes seruma matricas nozīmei, piemēram, Gausa-Jordānas metode.
Gausa-Jordana metodes būtība ir tajā, ka ar vienu matricu E veikt elementāras transformācijas, ar kurām nevirogēna kvadrātveida matrica A tiek inducēta uz E, tad mēs redzam reverso matricu.
Aprakstīsim algoritmu matricas A samazināšanai līdz n par n, kas nav vienāda ar nulli, līdz vienai matricai ar Gausa-Jordana metodi. Es aprakstīšu algoritmu, izmantojot piemēru, lai viss būtu saprotams.
Pārkārtosim matricu tā, lai elements kļūtu par viengabalainu, bet pirmās kolonnas elementu rindas kļūtu par nulli.
Jakščo, tad pirmās rindas vietu liek k-tajā rindā (k> 1), yakіy, bet k-tās rindas vietā pirmo. (Rinda s obov'yazkovo іsnuє, іnakshe matrica A ir virogēna). Pēc rindu pārkārtošanas viņi atņēma “jauno” matricu A, jaku maє.
Tagad pirmās rindas ādas elementu reiziniet ar . Tātad mēs nonākam pie “jaunās” matricas A, y y . Dalі citas rindas elementiem pievienojiet atbilstošos pirmās rindas elementus, kas reizināti ar . Pirms trešās rindas elementiem - pirmās rindas galvenie elementi, kas reizināti ar . Es turpinu šo procesu līdz n-tajai rindai ieskaitot. Tādējādi visi matricas A pirmās kolonnas elementi, sākot no citas, kļūst par nulli.
No pirmā soļa mēs to izjaukām, pāriesim pie nākamā.
Pārkārtosim matricu A tā, lai elements kļūtu par viengabalainu, bet visi pārējie elementi no otras, sākot no , kļūtu par nulli.
Jakščo, tad otras rindas vietā tiek likta k-tā rinda (k>2), bet k-tās rindas vietā draugs. Tātad otrimuєmo perebrazuyu matrica A, yakoy. Mēs reizinām visus citas rindas elementus ar . Pēc tam trešās rindas elementiem pievienojam šādus otras rindas elementus, kas reizināti ar . Pirms ceturtās rindas elementiem - nākamie otras rindas elementi, kas reizināti ar . Es turpinu šo procesu līdz n-tajai rindai ieskaitot. Tātad visi otras matricas A elementi, sākot no trešās, kļūst par nulli un vairāk nekā vienu.
Mēs pabeidzām ar vēl vienu soli, pārejam uz trešo un veicam līdzīgu transformāciju.
Tātad mēs turpinām procesu, līdz visi matricas A galvas diagonāles elementi kļūst vienādi ar vienu un visi elementi zem galvas diagonāles kļūst vienādi ar nulli.
No šī brīža mēs sākam pāreju uz Gaus-Jordan metodi. Tagad pārtaisīsim matricu A tā, lai visi n-tās kolonnas elementi krіm kļūtu par nulli. Lai th — (n-1) rindas elementiem, pievienojiet n-tās rindas otros elementus, kas reizināti ar . Pirms (n-2) rindas elementiem - nākamie n-tās rindas elementi, kas reizināti ar . Es turpinu šo procesu līdz pirmajai rindai ieskaitot. Tātad visi matricas A n-tās kolonnas elementi (krim) kļūst par nulli.
Ar pārējo stovptsem paņēmām, ejam uz (n-1)-to.
Pārkārtosim matricu A tā, lai visi (n-1) kolonnas elementi kļūtu par nulli. (n-2) rindas pirmajam elementam pievienojam otro elementu (n-1) rindā, reizinot ar . Pirms (n-3) rindas elementiem - nākamie (n-1) rindas elementi, kas reizināti ar . Es turpinu šo procesu līdz pirmajai rindai ieskaitot. Tātad visi matricas A (n-1)-tās kolonnas elementi (krim) kļūst par nulli.
dibens.
Kursora matrica 
uz vienotu ar papildu Gausa transformāciju - Jordānija.
Risinājums.
Oskіlki , bet , tad pārkārtojam pirmo un pārējās matricas rindas, ņemam matricu 
.
Mēs reizinām visus matricas pirmās rindas elementus ar: 
.
Citas rindas elementiem pievienojam pirmās rindas ekvivalentos elementus, kas reizināti ar 0, un trešās rindas elementiem pievienojam pirmās rindas ekvivalentos elementus, kas reizināti ar (-4) : 
Pāriesim pie nākamās darbības.
Noņemtās matricas elements jau ir viens, tāpēc nav nepieciešams reizināt citas rindas elementus ar . Pirms trešās rindas elementiem mēs pievienojam atbilstošos otras rindas elementus, reizinot ar: 
Pāriesim uz trešo soli.
Mēs reizinām trešās rindas elementus ar: 
.
Singles uz matricas galvas diagonāles tiek noņemtas, tāpēc dodieties uz pagrieziena punktu.
Citas rindas elementiem pievienojam trešās rindas ekvivalentos elementus, kas reizināti ar (-2) , bet pirmās rindas elementiem pievienojam trešās rindas ekvivalentos elementus, kas reizināti ar: 
Pārējā kolonnā mēs noņemam nepieciešamos nulles elementus, pārejam uz pēdējo (uz otru) kolonnu.
Pirms pirmās rindas elementiem pievienojiet šādus otras rindas elementus, kas reizināti ar: 
.
Tādējādi tika veiktas visas matricas transformācijas, un viena matrica tika noņemta.
Ir pienācis laiks apturēt Gauss-Jordan metodi līdz seruma matricas vērtībai.
dibens.
Atrodiet apvērsuma matricu priekš 
Gausa-Jordānas metode.
Risinājums.
Sānu kreisajā daļā mēs veiksim Gauss - Jordan transformāciju ar matricu A, un labās puses daļa darbosies ar tādu pašu transformāciju ar vienu matricu.
Oskіlki, bet tad mēs varam pārkārtot pirmo un pārējās rindas pa vietām: 
Reiziniet matricas pirmās rindas elementus vienu ar otru, lai elements kļūtu par vienu: 
Citas rindas elementiem pievienojiet pirmās rindas otrās rindas elementus, kas reizināti ar 0, trešās rindas elementiem, pievienojiet pirmās rindas otrās rindas elementus, kas reizināti ar 2, ceturtās rindas elementiem. - pirmās rindas elementi, kas reizināti ar 5: 
Tātad matricas A pirmajā kolonnā mēs noņēmām nulles elementus. Pāriesim pie nākamās darbības. Elementam ir iespējams kļūt par vienu vienību. Ja mēs reizinām citas matricas rindas elementus ar , neaizmirstiet atkārtot tās pašas transformācijas ar matricu labajā pusē: 
Tie deva mums nepieciešamību pievienot elementus un nulles, kuriem trešās rindas elementiem mēs pievienojam citas rindas otrās rindas elementus, kas reizināti ar 0, un ceturtās rindas elementiem pievienojam otro rindu. otras rindas elementi, kas reizināti ar: 
Tāpēc matricas A otra puse ir pārveidota, lai tā izskatītos tā. Pāriesim uz trešo soli. Tā kā elements ir nulle, tad tas ir mīnus trešā un ceturtā rinda: 
Mēs reizinām trešās rindas elementus ar: 
Matricas A trešā kolonna, ieguvusi nepieciešamo izskatu (elements ir nulle, ceturtās rindas elementiem nav gadījies pievienot trešās rindas papildu elementus, reizināts ar). Ceturtā rinda vairs nebija jāreizina ar tām, lai visi galvas diagonāles elementi būtu vienādi ar vienu: 
Tiešā pāreja uz Gausa-Jordāna metodi ir pabeigta, pārejiet pie pagrieziena. Atlikušajā matricas A kolonnā mēs noņemam nepieciešamos nulles elementus. Lai to izdarītu, trešās rindas elementiem pievienojiet atlikušās rindas otrās rindas elementus, kas reizināti ar , citas rindas elementiem - pārējās rindas elementus, kas reizināti ar , pirmās rindas elementiem - elementus. no atlikušās rindas, reizināts ar 0: 
Mēs ņemam nulles priekšējā rindā, lai pievienotu otras pirmās rindas elementiem otrajā rindā trešās rindas elementus, kas reizināti ar 0 otrajā rindā: 
Pārējā transformācija ir pagājusi. Pirms pirmās rindas elementiem mēs pievienojam citas rindas elementus, kas reizināti ar: 
Vēlāk matrica A ar Gausa-Jordana transformācijām tiek reducēta līdz vienai matricai, un vienīgā matrica, kas atrodas aiz pašu transformāciju palīdzības, tiek reducēta uz apvērsuma matricu. Šajā rangā matricas labā daļa tika atņemta. Varat veikt atkārtotu verifikāciju, pārvēršot matricas reizinājumu apgrieztajā matricā.
Ieteikums:
.
Znahodzhennya elementіv vzvortnoї matricі par podpomogoyu dezvyazannya vіdpovіdnyh sistēmām іnіynih іvnіnі algebra.
Apskatīsim vēl vienu veidu, kā kvadrātmatricai A piešķirt šarnīra matricu secībā no n līdz n.
Šī metode ir balstīta uz n lineāro nehomogēnu algebrisko vienādību sistēmām n dod mums trīs lineāru nehomogēnu algebras vienādību sistēmas: 
Risinājumu šīm sistēmām uzrakstīt nav iespējams, ja nepieciešams, sazinieties ar mums pirms izplatīšanas.
No pirmās sistēmas tas ir iespējams, no otras -, no trešās -. Otzhe, shukana zvorotna matrica var izskatīties 
. Ieteicams veikt atkārtotu pārbaudi, lai pārskatītu rezultāta pareizību.
Ņemsim līdzi somu.
Mēs apskatījām izpratni par galveno matricu, її autoritāti un trim metodēm un її znahodzhennia.
Entuziasms...
