Kā pieskrūvēt diferenciāli. Vienas izmaiņas diferenciālā funkcija

Pat ja es neesmu paskaidrojis (šobrīd), kas ir šāda funkcija, tad nav jēgas skaidrot, kas ir diferenciālā funkcija. Primitīvākajai formulai ir diferenciālis - tse "mayzhe to pašu, scho th ir cienīgs."

Pokhіdna funkcijas visbiežāk tiek norādītas caur .

Funkcijas diferenciālis parasti tiek apzīmēts ar (tātad tas tiek lasīts - "de game")

Viena mainīgā diferenciālā funkcija ir uzrakstīta šādi:

Otrā ieraksta iespēja:

Vienkāršākais uzdevums: zināt diferenciāļa funkciju

1) Pirmais posms. Pazūdam:

2) cits posms. Pierakstīsim diferenciāli:

Diferenciālā funkcija viena vai otra dekilkoh zminnyh visbiežāk vicorist par aprēķināt tuvāko.

Krіm іnshih zavdan z diferenciālis іnоdі züstrіchaєєєєєє і "tīra" zavdannya rebuvannya diferenciāļa funkcija. No otras puses, tāpat kā y pokhіdnoї, attiecībā uz diferenciāli ir skaidri jāsaprot diferenciālis punktā. І takі pieteikties mi tik razglyademom.

dibens 7

Zināt diferenciālo funkciju

Viņa priekšā, kā jūs zināt, ka es iešu vai diferenciālis, jums būs lielā mērā jābrīnās, bet šķiet, ka nevarat piedot funkciju (vai uzrakstīt funkciju) pirms tam diferenciācija? Mēs skatāmies uz mūsu piemēru. Pirmkārt, varat pārtaisīt sakni:

(piektās pakāpes sakne atrodas līdz sinusam).

Citādā veidā, ar cieņu, zem sinusa mums ir atšķirība, kas, acīmredzot, ir jānošķir. Daļas diferencēšanas formula ir diezgan apgrūtinoša. Či nevari nošaut? Šajā gadījumā ir iespējams, mēs sadalām skaitli pēc vārda reklāmkarogā:

Funkcija ir sarežģīta. Jaunajam ir divi ieguldījumi: sinuss tiek ieguldīts zem soļa, un viraz tiek ieguldīts zem sinusa. Mēs zinām, vikorist, locīšanas funkciju diferenciācijas likumu divreiz:

Pierakstīsim diferenciāli, ar kuru to atkal var pasniegt pirmajā "skaisto" izskatā:

Ja tas ir slikts, žetons ciparu grāmatiņas pašās beigās skanēs “stick” (var būt ar labo roku uz sitiena līnijas).

dibens 8

Zināt diferenciālo funkciju

Šis ir neatkarīga risinājuma piemērs.

Veiciet otro soli, lai mainītu diferenciāli punktā.

dibens 9

Aprēķiniet diferenciālo funkciju punktā

Pazūdam:

Es zinu, ir labi zināt. Bet cjiu valodā labāk ir ievietot skaitli, lai rezultāts būtu pēc iespējas vienkāršāks:

Pratsі buli not marni, pierakstiet diferenciāli:

Tagad aprēķināsim starpību punktā:

Diferenciāļa žetonam nav jāatspoguļo viena, tikai dažas citas operas.

Uzdevumi par sabrūkošā punkta ātrumu

Ļaujiet materiāla taisnvirziena kustības likumam punktu. Zīmīgi cauri taciņai, stundas laikā pabraucot garām punktam, un cauri veidā, paiet pēc stundas. Tajā pašā dienā punkts pagāja garām, vienāds: . Dienu sauc par punkta vidējo ātrumu stundu iepriekš. Kas ir mazāk, tobto. Jo īsāks intervāls starp stundu un stundu, jo īsāks vidējais ātrums raksturo kustības punktus stundas brīdī. Viņam ir dabiski noteiktā brīdī ieviest jēdzienu swidkost, apzīmējot її kā starp vidējais kraukšķīgums intervālam no līdz , ja:

Vērtību sauc par punkta mitte dotajā brīdī.

Norādījumi par dotichny uz doto līkni

Ejam pa dzīvokli, līkne tiek dota bez pārtraukuma līdzvērtīgiem. Dotajai līknei punktā nepieciešams uzzīmēt nevertikālu punktu . Ja ir dots rotācijas punkts, tad uzdevuma sasniegšanai ir jāzina punkta augšējais koeficients. No ģeometrijas mēs redzam, ka de - Kuts augstprātīgi domā par pozitīvu taisnu asi (div. att.). Caur plankumiem і veiksim sіchnu, de - Kut, risinājumus ar sіchuchoyu z pozitīvu tiešo asi. No mazā var redzēt, sho, de. Kutovy koefіtsієnt, scho stuєtsієєєї єї ї ї ї ї ї ї ї ї ї tochtsі, zhe buti znaydeniya podstavі ofensive vyznachennya.

Kādu līkni sauc punktā pierobežas nometne sіkuchoї, ja punkts ir pareizais punkts . Skatiet tālāko .

Ceļojuma iecelšana

Matemātiskā darbība, kas nepieciešama, lai pabeigtu pārskatīto vairāk zavdan, un tas pats. Ir skaidrs, ka operācijas analītiskais raksturs ir balstīts uz konkrētu pārtiku, ko viņi sauca.

Ļaujiet funkcijai piešķirt pašreizējo intervālu. Ņemsim vērā šīs starpspēles nozīmi. Nadamo jaku pieaugums (pozitīvs vai negatīvs). Kura jaunā argumenta vērtība tiek dota un jaunā funkcijas vērtība de .

Noliktavas uzglabāšana , Vono є funkcija vіd .

Nākamā funkcija pēc punkta izmaiņām tiek saukta par funkcijas starpinkrementu šajā punktā pret argumentu, kas sauca pieaugumu, ja tas ir labs rangs:

Cieņa. Ir svarīgi, lai funkcija būtu pokhіdna precīzā punktā, it kā starp labo daļu formulas іsnuіє і kіntsevy un papildus neapgulties, kā zminnoї pragne palielinājums līdz 0 (kreisais vai labrocis ).

Līdzīgas funkcijas atpazīšanas procesu sauc par diferenciāciju.

Līdzīgu funkcionālo funkciju nozīme

a) Pokhіdna postіynoy.

Nāc de - ātri, jo. funkcijas vērtība ir vienāda, tad pieaugums ir vienāds ar nulli i, arī

.

Otzhe, pokhіdna nezmennoy dorivnyu nulle, tobto. .

b) Pokhіdna funkcijas.

Mēs uzglabājam vairāk funkciju:

.

Klātbūtnē nozīmīgas pokhіdnoї uzvarošas uzvaras spēks starp vikonannya funkcijām, pirmais brīnumains starp un nepārtrauktām funkcijām.

tādā veidā, .

Saikne starp funkciju diferenciāciju un її nepārtrauktību

Funkciju, kuru var pazaudēt punktā, sauc par diferenciālo funkciju šajā punktā. Funkciju, kuru var zaudēt visos noteikta intervāla punktos, sauc par šī intervāla diferenciālo funkciju.

Teorēma. Lai gan funkcija noteiktā punktā ir diferencēta, šajā brīdī tā ir nepārtraukta.

Atnešana. Nadamo arguments pietiekami zbіlshennya. Tā pati funkcija noņem pastiprinājumu. Pierakstīsim vienādību un pāriesim uz robežu kreisajā un labajā daļā ar:

Ja nepastāvīgai funkcijai ir bezgalīgi mazs inkrementālais arguments, ja tas pierāda bezgalīgi mazu funkcijas pieaugumu, tad var izcelt teorēmu.

Cieņa. Nav tādas lietas kā sirds sāpes, tobto. bez funkcijas pārtraukuma punktā, šķietami atšķirīgs, šajā brīdī neparāda diferenciāciju. Piemēram, funkcija ir nepārtraukta visiem , bet nav diferencēta punktos. Diyno:

Robeža nav ierobežota, tāpēc funkcija nav diferencēta līdz punktam.

Līdzīgu elementāru funkciju tabula

Cieņa. Uzminēsim pakāpienu un sakņu spēku, kas uzvar, diferencējot funkcijas:

Liksim zināšanas par mirušajiem.

1) .

2)

Saliekamā funkcija

Aiziet . Šī funkcija būs saliekamā funkcija x.

Kā funkcija tiek diferencēta punktā x, un funkcija ir diferencēta punktā u, Tad arī diferencēts punktā x, Turklāt

.

1.

Lūdzu, jā. Otzhe

Ar pietiekamām zināšanām es mainīšos u nerakstiet, ieviešot її mazāk par domu.

2.

Diferenciāls

Nepārtrauktas funkcijas grafiku punktā mēs varam zīmēt MT, zinot cauri jїї kut slimīgi uz pozitīvu taisnu asi Ak. Oskіlki, pēc tam no trikutnik MEF kliedz ko

Ieviestā vērtība

.

Cey viraz sauc diferenciālis funkcijas. Otzhe

Atceries, ko, tobto. ka neatkarīgo izmaiņu diferenciāls ir dārgāks izaugsmei, ņemot vērā

Tādā veidā veselīgas radīšanas diferenciālā funkcija ir līdzīga neatkarīgu izmaiņu diferenciālajai (vai pieauguma) funkcijai.

No pārējās formulas seko, sho, tobto. Tas ir līdzīgs funkcijai, kas savieno funkcijas diferenciāli ar argumenta diferenciāli.

Funkciju diferenciālis dyģeometriski - dotikas ordinātu pieaugums, kas atspoguļo argumenta D pieaugumu X.

No mazā ir skaidrs, ko darīt mazajam D X absolūtā vērtībā jūs varat ņemt lielāko funkciju, kas ir aptuveni vienāda ar її diferenciāli, tas ir.

.

Apskatīsim locīšanas funkciju , de , turklāt tā atšķiras ar u, un - par X. Aiz locīšanas funkciju diferenciācijas noteikuma

Sareizināsim qiu greizsirdību ar dx:

Oskіlki (diferenciālam), tad

Tādā veidā saliekamās funkcijas diferenciālis var būt tāda paša veida, jakby mainīt u bula nebija starparguments, bet gan neatkarīga maiņa.

Diferenciāļa jaudu sauc nemainīgums(nemainība) veido diferenciāli.

dibens. .

Jūs varat pierakstīt diferenciāļu diferencēšanas noteikumus.

Aiziet – diferenciācija punktos X. Todi

Pievienosim vēl vienu noteikumu.

Pokhіdna netiešās funkcijas

Lai tas tiek pielīdzināts prātam, ko aicina pārmaiņas. Ja nav iespējams skaidri iziet cauri , (lai tas būtu), tad šādu funkciju izsauc netieši dota. Lai precīzi zinātu šādas funkcijas būtību, ir nepieciešams aizskart vienādas diferenciācijas daļas, vienlaikus ievērojot šādas funkcijas funkciju. Z otrimanogo jauns vienāds zināt.

dibens. .

Apvainojumu diferencēšana daļās, kas vienādas ar, atceroties, ka tā ir funkcija

4. lekcija

Izpratne par diferenciāļa ģeometrisko sajūtu

Pieraksts. Funkcijas diferenciālis galvenajā punktā x ir lielākās funkcijas galvenā, lineārā daļa.

Diferenciālā funkcija y \u003d f (x) ir līdzīga neatkarīgas funkcijas x (argumenta) izveidošanai.

Tas būtu jāraksta šādi:

Ģeometrisko sajūtu diferenciālis. Diferenciālā funkcija y = f(x) ir vienāda ar ordinātu S pieaugumu, kas novilkta uz funkcijas grafiku punktā M(x; y), kad x (arguments) tiek mainīts par vērtību (dal. skaitlis). ).

Kāpēc diferenciāli var pārspēt no tuvējiem aprēķiniem?

Diferenciālis ir galvenā, lineārā, vizuāli nozīmīga funkcijas daļa; Kas ir mazāks, tad lielākā pieauguma daļa ir kļūt par daļu. Pie kam jūs varat perekonatisya, peresuvaya domāšana perpendikulāri, izlaidumi no punkta P (div. mazie) uz asi Ox, tuvāk koordinātu vālītei. Tāpēc minimālajām vērtībām (par) funkcijas palielinājumu var aptuveni aizstāt ar galvas daļu, tas ir.

Par atšķirību no diferenciāļa ieraksta

Diferenciālā funkcija punktā x es domāju

Oce,

, (2)

diferenciālās funkcijas y = f(x) šķembas ir piemērotas radīšanai, līdzīgi kā neatkarīgo izmaiņu pieaugums.

Cieņa. Jāatceras, ka, ja x ir argumenta ārējā vērtība un ja vērtība tiek palielināta, tad diferenciālpunktu labāk ņemt no ārējā punkta x; formulā (1), kas nav redzama no ieraksta.

Diferenciālo funkciju var uzrakstīt citā formā:

(4)

Diferenciāļa spēks

Šajā un aizskarošajās rindkopās ādas funkcijas ir svarīgas, diferencētas visās analīzēs, її argumentu nozīmes.

Jaudas diferenciālis, kas ir analogs pokhidnoy:

(С — nemainīga vērtība) (5)

(6)

(7)

(9)

Formulas (5) - (9) nāk no dažādām formulām, kas nodrošina līdzīgu abu ādas vienmērīguma daļu reizinājumu.

Diferenciāļa apturēšana tuvējos aprēķinos

Ievietots citā rindkopā izlīdzināšana ir tuvu

ļauj pielāgot diferenciāli tuvinājumiem, lai aprēķinātu funkcijas vērtību.

Pierakstīsim ziņojuma tuvumu. tik jaks

Absolūti tas ir redzams

Koristuyuchis nablizhenim znachennyam skaitļus, ir nepieciešams māte mozhlivist spriest par rіven yogo precizitāti. Ar šīs metodes palīdzību var aprēķināt absolūti un redzami indulgenci.

Aptuvenā skaitļa absolūtā atšķirība ir vienāda ar precīzā skaitļa un aptuvenās vērtības starpības absolūto vērtību:

Aptuvenā skaitļa relatīvā kļūda ir šī skaitļa absolūtās kļūdas paplašināšana līdz precīza skaitļa absolūtajai vērtībai:

Ja precīzs skaits nav zināms, tad

Dažreiz, pirmkārt, pazeminiet formulu (11), ir nepieciešams konvertēt izvades vērtību uz priekšu. Kā likums, cīnīties divu mērķu dēļ. Pirmkārt, ir nepieciešams domogtis, lai laukakmens vērtība povnyannі s ir maza, jo mazāk, jo precīzāks ir tuvākā aprēķina rezultāts. Citā veidā, bazhano, vērtība tika aprēķināta vienkārši.

24. Funkcijas diferenciāļa papildinājums aprēķina tuvinājumiem

Diferenciāļa apturēšana pirms tuvošanās aprēķinam

Diferenciāļa izpratne liecina, ka, ja process ir tuvu lineāram tā izmaiņu rakstura dēļ, tad diferenciālis maz ietekmē funkcijas pieaugumu. Turklāt, tā kā funkcija var tikt zaudēta pašreizējā punktā x, tad palielinājums un diferenciālis arī ir nepielūdzami mazi pie , kas samazinās līdz nullei:

Oskilki diferencētā funkcija ir nepārtraukta,

Tāpēc apmainītās funkcijas pievienošana bezgalīgi mazajai pie DX, kas ir vienāda ar nulli, funkcija ir bezgalīgi maza.

Turklāt šīs divas funkcijas ir bezgalīgi mazas, ja tās ir līdzvērtīgas:

Ekvivalence un dod iespēju maziem zbіlshennya arguments ir tuvu

Kāda var būt formula? Lai dziedāšanas punkti būtu vienādi, vienkārši saskaitiet i vērtības. Todi citā punktā, tālumā, var redzēt:

Šeit mēs aizpildām atsauksmes par rezultāta precizitāti. Šī situācija samazina šīs formulas vērtību aptuvenajam aprēķinam, taču svarīgāk ir tas, ka tā ir sagrauta un tiek plaši izmantota praksē.

Apskatīsim piemēru. Taisnā griezuma trikustam ir kājas a = 5 m un b = 12 m.

Uzzināsim hipotensijas ilgumu:

.

Ja kāju a maina par 0,2 m, hipotenūza tiek palielināta (11.5. att., a)

Tagad izveidosim formulu (11.16) aptuvenajai y vērtībai saistībā ar kājas a maiņu, aplūkojot formas funkciju:

(B = Const);

Abās vipadkās ņēmām aptuveno šukanas vērtības vērtību. Ale, pirmajā gadījumā kļūda tiek vainota tuvu aprēķinu rezultātā, bet otrā gluži vienkārši - Saistībā ar tuvajām formulām (to var sasniegt arī kļūda, kas radusies tuvu aprēķinu rezultātā) . Zīmīgi, ka, mainot kāju a par 0,2 m, hipotenūza mainījās par aptuveni 0,08 m, un, atņemot aptuvenās vērtības, mainot kāju a, tas bija mazāks par 0,001 m.

Apskatīsim citu situāciju: šajā trikotāžā nomainījām hipotenūzu par 0,2 m, atstājot kāju b bez izmaiņām (11.5. att., b). Ir svarīgi, kā kāja A mainās šajā virzienā:

25. Papildinājums pēcpārbaudes funkcijām un grafikam

Ja kādu laiku funkcijas grafiks ir nepārtraukta līnija, citiem vārdiem sakot, tāda līnija, kuru var novilkt bez olīvas papīra arkā, tad šādu funkciju šai telpai sauc par nepārtrauktu. . Іsnuyut arī funkcijas, yakі nepārtraukti є. Kā piemēru varam aplūkot funkcijas grafiku, kas atrodas intervālos un [h; b] bez pārtraukuma, ale pie punkta
x \u003d s rozrivnoy un uz to kopumā vіdrіzka ne bez pārtraukuma. Visas funkcijas, kuras veicam mēs skolas kurss matemātiķi, - ce bez pārtraukuma funkcijas uz ādas apakšklāja, uz kuras tiek piešķirta smaka.

Zīmīgi, ka funkcija var tikt zaudēta uz kādu starpposmu, tad uz šo starpposmu tā būs nepārtraukta.

Zvorotnes stingrība ir nepareiza. Funkcija, kas ir nepārtraukta atstarpei, noteiktos spraugas punktos var nebūt līdzīga funkcijai. Piemēram, funkcija
y = | žurnāls 2 x | bez pārtraukuma intervālam x > 0, bet punktā x = 1 nav atšķirības, šķembas šajā punktā nav iespējamas.

Apskatīsim diagrammas, lai saņemtu palīdzību ar palīdzību.

Inducējiet funkcijas f (x) \u003d x3 - 2x2 + x grafiku.

1) Šī funkcija ir piešķirta visiem x € R.

2) Ļaujiet mums zināt aplūkojamās funkcijas monotonitātes intervālus un ekstrēmuma punktus aiz otras līdzīgas funkcijas. Pokhіdna dorivnyuє f "(x) \u003d 3x 2 - 4x + 1. Mēs zinām stacionāros punktus:
3x 2 - 4x + 1 = 0, zvaigznes x 1 = 1/3, x 2 = 1.

Lai piešķirtu līdzīgu zīmi, mēs sadalām kvadrātveida trinomus 3x 2 - 4x + 1 reizinātājos:
f "(x) \u003d 3 (x - 1/3) (x - 1). Arī intervālos x< 1/3 и х >1 līdzība ir pozitīva; arī funkcija pieaug intervālos.

Pohіdna negatīvs pie 1/3< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Punkts x 1 \u003d 1/3 ir punkts līdz maksimumam, labās puses lauskas punkta virzienā mainās, un kreisās puses palielinās. Šajā brīdī funkcijas vērtība ir vienāda ar f (1/3) = (1/3) 3 - 2 (1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

Minimālais punkts ir punkts x 2 = 1, kreisās puses lauskas punkta virzienā mainās, un labās puses palielinās; її tsіy punkta vērtība ir vismaz laba f(1) = 0.

3) Uzvedot grafiku, sāciet atrast grafikas līnijas punktus ar koordinātu asīm. Oskіlki f(0) = 0, tad grafiks iet cauri koordinātu vālītei. Virishuyuchi vienāds ar f(0) = 0, mēs zinām grafikas līknes punktus no visas abscisas:

x 3 - 2x 2 + x \u003d 0, x (x 2 - 2x + 1) \u003d 0, x (x - 1) 2 \u003d 0, zvaigznes x \u003d 0, x \u003d 1.

4) Precīzai apakšgrafikai mēs zinām funkcijas vērtību vēl divos punktos: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Pēcpārbaudes Wicorous rezultāti (1. - 4. punkti), mums būs funkcijas y \u003d x 3 - 2x 2 + x grafiks.

Lai veicinātu funkcijas grafiku, izsauciet atpakaļ uz šīs funkcijas jaudu, lai izmantotu līdzīgu shēmu, kas ir līdzīga 1. galīgā uzdevuma shēmai.

Šajā rangā, sasniedzot funkcijas pilnvaras, ir jāzina:

1) piešķirtā platība її;

2) iet prom;

3) stacionāri punkti;

4) periodiska augšana un trūdēšana;

5) ekstrēma punkti un funkcijas vērtība šajos punktos.

Pēcpārbaudes rezultāti tiek manuāli ierakstīti tabulās. Tad, vikoristovuyuchi tabula, buduyut grafika funkcijas. Precīzākai grafikai ir jāzina jogo līnijas punkti ar koordinātu asīm i - ja nepieciešams - vairāk grafikas punktu.

Ja mēs pieturamies pie pāra vai nesapārotas funkcijas, tad, lai veicinātu grafiku, pietiek ar pietiekamu jaudu un inducēt grafiku x > 0, un tad iedomāties to simetriski pret y asi (koordinātu vālīti). Piemēram, analizējot funkciju f (x) \u003d x + 4 / x, mēs nonākam pie secinājuma, ka dotā funkcija nav savienota pārī: f (-x) \u003d -x + 4 / (-x) \u003d - ( x + 4 / x) \u003d -f(x). Pabeidzot visus plāna punktus, mums būs funkcijas grafiks x > 0 un funkcijas grafiks x< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >0 līdz koordinātu vālītei.

Veiksmes labad funkciju grafiku sastādīšanas uzdevums lielākoties tiek veikts mutiski.

Zīmīgi arī tas, ka dažu uzdevumu izpildes gadījumā mēs varam iestrēgt ar nepieciešamo sekošanas funkciju nevis visā tikšanās zonā, bet tikai uz noteiktu laiku, piemēram, tas ir nepieciešams lai ierosinātu grafiku, piemēram, funkciju 4 - x і x f(x) \u003d 2 [-one; 2].

26.Antiderivatīvā funkcija. Nenozīmīgais integrālis un dominēšanas joga

Pirmā iecelšana.

Primitīvā funkcija f(x) intervālam (a; b) ir tāda funkcija F(x), kas iegūst vienādību jebkuram x no noteiktā intervāla.

Ja ņemam vērā to, ka konstante C ir vienāda ar nulli, tad vienlīdzība ir taisnīga . Tādā veidā funkcija f (x) var būt bezpersoniska primārā F (x) + C diezgan nemainīgai vērtībai, turklāt q primārās vērtības ir viena un tā pati diezgan nemainīgai vērtībai.

Nenoteikta integrāļa mērķis.

Visas bezpersoniskās primārās funkcijas f(x) sauc par šīs funkcijas nenozīmīgo integrāli un tiek piešķirtas .

Virazu sauc par integrand virāzi, un f(x) sauc par piintegrālo funkciju. Integrālā virāze ir diferenciāla funkcija f(x).

Diya znakhodzhennya nevodomoї funktії aiz dotā її diferenciāļa tiek saukta par nenozīmīgu іntegruvannym, tāpēc іntegruvannya є rezultāts nav viena funkcija F(x), bet bezpersonisks її pirmizmērs F(x)+C.

Ir iespējams noformulēt un pārnest neparakstīta integrāļa spēku (pirmā spēku) līdz līdzīgam.

1.
Līdzīgi kā uzlabotas pidintegrālās funkcijas integrācijas rezultāts.

2.
Funkcijas diferenciāļa integrāļa nevērtības ir vienādas ar pašas funkcijas summu un pietiekamu konstanti.

3. , de k - Diezgan nemainīgs.
p align="justify"> Koeficientu var vainot nedefinētā integrāļa zīmē.

4.
Summu integrāļa / funkciju atšķirību nenozīmības ir dārgākas funkciju integrāļu nenozīmību summas / atšķirības.

Skaidrojuma nolūkos tiek ieviesta nenoteiktā integrāļa pirmā un pārējo pakāpju starpposma ekvivalence.

Trešās un ceturtās pakāpes apstiprināšanai pārliecinieties, vai vienādību pareizās daļas ir pareizas:

Skaitļi ir līdzīgi pidintegral funkcijām, kas ir pirmās kvalitātes pierādījums. Pārējās pārejās tas neuzvarēs.

Šādā secībā integrācijas uzdevums ir diferenciācijas pagrieziena uzdevums, turklāt starp tiem pastāv cieša saikne:

· Pirmās iestādes atļauj veikt atkārtotu integrācijas pārbaudi. Lai mainītu pagātnes integrācijas pareizību, pietiek ar precīzu rezultātu aprēķināšanu. Diferenciācijas rezultātā funkcija parādās kā līdzvērtīga integrand funkcija, svarīgi, lai integrācija tiktu veikta pareizi;

· Nedefinēta integrāļa otra pakāpe ļauj uzzināt primāro aiz dotās funkcijas diferenciāļa. Kam autoritātes tiek dibinātas bez jebkāda nenozīmīgu integrāļu vidus aprēķina.

Apskatīsim piemēru.

Atrodiet primāro funkciju, kuras vērtība ir vissvarīgākā pie x = 1.

No diferenciālā aprēķina mēs to zinām (Lūdzu, apskatiet līdzīgu pamatfunkciju tabulu). tādā veidā, . Par citu spēku . Tobto vispirms var būt bezpersonisks. Ja x = 1, tiek ņemta vērtība. Prātam vērtība var būt vairāk viena, tad C \u003d 1.

Ja līdzīgu pamatelementāru funkciju tabulu var pārrakstīt par diferenciāļiem, tad no tās pēc cita nedefinētā integrāļa pakāpēm var saskaitīt primitīvu tabulu.

Līdzīga informācija.

BARKĀLU DIFERENCIĀCIJA

Dažādu funkciju diferencēšana ir vienkārša, it kā tās būtu prologaritms uz priekšu. Kam tāda metode vajadzīga. Kas jums jāzina y no vienādiem y=f(x), tad varat:

pieteikties.

SHOW-STIP FUNKCIJA UN DIFERENCIĀCIJA

Show-State funkciju sauc par prāta funkciju y = u v, de u=u(x), v=v(x).

Logaritmiskā diferenciācija zastosovuєtsya par znahodzhennia pokhіdnoї vіd show-step funkcijas.

pieteikties.

VIROBNIH TABULA

Apvienotas vienā tabulā visas galvenās formulas, kas noteica diferenciāciju, kas tika ieviestas iepriekš. Visur mēs domāsim u=u(x), v=v(x), Z = konst. Līdzīgām elementārfunkcijām mēs izmantojam teorēmu par līdzīgu saliekamo funkciju.

pieteikties.

DIFERENCIĀLĀS FUNKCIJAS JĒDZIENS. ZV'YAZOK MIZH DIFFERENCIĀLS UN VIROBNICHY

Nāc funkcija y=f(x) diferencēts par vіdrіzku [ a; b]. Pokhіdna tsієї funktsії u dziedāšanas punkts X 0 Î [ a; b] apzīmēja greizsirdību

.

Tēvs, vidus labad

Visus iegūtās ekvivalences nosacījumus reizinot ar Δ x, mēs ņemam:

Δ y = f"(x 0)·Δ x+ a Δ x.

Otzhe, bezgalīgi mazs pieaugums Δ y diferencēta funkcija y=f(x) var uzrādīt, redzot divu dodankivu summu, kurai vispirms є (ar f"(X 0) ≠ 0) galvas daļa, lineārais attālums Δ x, un, no otras puses, bezgalīgi maza augstākās kārtas vērtība, zemāka Δ x. Galvenā funkcijas daļa ir palielināta, tobto. f"(X 0)·Δ x sauc par funkcijas diferenciāli punktā X 0 es apzīmēju cauri dy.

Šajā rangā kā funkcija y=f(x) vai es varu iet f"(x) punktā x, tad tvіr pokhіdnoї f"(x), lai palielinātu Δ x sauc argumentu funkciju diferenciālis ES domāju:

Mēs zinām diferenciālo funkciju y = x. Kādā virzienā y" = (x)" = 1 i, vēlāk, dy=dx=Δ x. Tādā veidā diferenciālis dx neatkarīga mana x zbіgaєtsya z її zbіlshennyam Δ x. Tāpēc formulu (1) varam uzrakstīt šādi:

dy = f "(x)dx

Ale z ogo spіvvіdnoshnja vyplivaє, scho. Ak, es iešu f "(x) ir iespējams iestatīt funkcijas diferenciāli uz neatkarīgās izmaiņas diferenciāli.

Iepriekš mēs parādījām, ka, pateicoties funkcijas diferenciācijai punktā, diferenciāļa pamats punktā ir acīmredzams.

Godīgi, ka zvorotne stingrība.

Tikai kādai jēgai x funkcijas pieaugums Δ y = f(x+Δ x) – f(x) jūs varat iesniegt failu, redzot Δ y = A·Δ x+ α, de α - bezgala maza vērtība, kā patīk prātam, tobto. kaste funkcijai y=f(x)іsnuє diferenciālis dy=A dx dziedāšanas punktā x, tad šī funkcija var tikt zaudēta punktā xі f "(x)=BET.

Deisno, iespējams, un uz to, ka ar Δ x→0, pēc tam .

Tādā veidā starp funkciju diferenciāciju un atšķirības iemesliem rodas vēl ciešāka saikne, apvainojumi ir vienlīdz spēcīgi.

pieteikties. Zināt funkciju atšķirības:

ĢEOMETRISKĀ DIFERENCIĀLĀ ZMIS

Apskatīsim funkciju y=f(x) un līkne. Paņemiet pilnu punktu uz līknes M(x; y), zīmējams uz līkni tsij punktā i ievērojami caur kut, kas dotiski apmierina ass pozitīvo virzienu Vērsis. Damo neatkarīga maiņa x pieaugums Δ x, tad funkcija ņem pieaugumu Δ y = NM viens . vērtības x+Δ xі y+Δ y uz līknes y = f(x) punktu

M 1 (x+Δ x; y+Δ y).

Z Δ MNT zināms NT=MN tgα. Jo tgα = f "(x), a MN = Δ x, tad NT = f "(x)·Δ x. Alus par iecelto diferenciāli dy=f "(x)·Δ x uz to dy = NT.

Tādējādi funkcijas f(x) diferenciālis, kas dod dotās vērtības x un Δx, līknes y=f(x) ordinātu pieaugumu qiy punktā x.

TEORĒMA PAR DIFERENCIĀLO INVARIANTI

Iepriekš mēs bačili, nu ko uє neatkarīgais mainīgais, tad diferenciālā funkcija y=f "(u) var apskatīt dy = f "(u)du.

Tiks parādīts, ka šī forma ir ņemta no šīs attieksmes, ja u nevis neatkarīgas izmaiņas, bet gan funkcija, tas ir. Mēs zinām terminu locīšanas funkcijas diferenciālam. Aiziet y=f(u), u=g(x) vai y = f(g(x)). Pēc tam ievērojiet locīšanas funkciju diferenciācijas noteikumu:

.

Tēvs, ieceltajam

aliņš g"(x)dx= du uz to dy=f"(u)du.

Mi atnesa aizskarošu teorēmu.

Teorēma. Saliekamās funkcijas diferenciālis y=f(u), par kuru u=g(x), varbūt tas pats skats dy=f"(u)du yaki vin mav bi, yakbi starpposma arguments u bv neatkarīga maiņa.

Pretējā gadījumā, atkarībā no diferenciāļa formas, pirmkārt, tas ir neatkarīgā mainīgā funkcijas arguments un otra argumenta funkcija. Diferenciāļa jaudu sauc diferenciāļa nemainīgā forma.

dibens.. Zināt dy.

Vahovuyuchi jaudas nemainība pret diferenciāli, mēs zinām

.

DIFERENCIJAS STATUSĒŠANA PIRMS HIV PIEEJAS

Piešķiriet mums funkcijas nozīmi y 0 =f(x 0 ) tas її labi y 0 " = f "(x0) punktā x0. Parādīsim, kā uzzināt funkcijas vērtību reālā slēgšanas punktā x.

Kā mēs jau esam izskaidrojuši palielināto Δ funkciju y jūs varat maksāt, redzot sumi Δ y=dy+α·Δ x, tad. zbіlshennya funktії vіdіznyаєєєtsі vіd differіnіієі іn vērtības neskіchenno mazs. Lai to, nehtuyuchi ar nelielu Δ x vēl viens dodanks tuvākajās apdzīvotās vietās, dažkārt tie ir kodīgi ar tuvu ekvivalenci Δ y≈dy vai Δ y» f"(x0)·Δ x.

Tā kā šim nolūkam Δ y = f(x) – f(x0), tad f(x) – f(x0)≈f"(x0)·Δ x.

pieteikties.

VIROBNIČI AUGSTI PASŪTĪJUMI

Nāc funkcija y=f(x) diferencēts uz deyakom vіdrіzku [ a; b]. Nozīme f"(x), vzagali šķietami, guli iekšā x, tad. labi f"(x) ir arī pārmaiņu funkcija x. Ļaujiet šai funkcijai darboties. Diferenciācija її, sauksim to par draugu, piemēram, funkciju f(x).

Pokhіdna kā pirmo pokhіdnoї sauc līdzīgs citam pasūtījumam vai vēl viens pokhіdny vіd tsієї funkcijas y=f(x) un apzīmēt y"abo" f""(x). Oce, y"" = (y")".

Piemēram, patīk plkst = X 5, tad y"= 5x 4 un y""= 20x 4 .

Tāpat arī savā rindā, citā secībā, vari arī atšķirt. Pokhіdna kā citu pokhіdnoї sauc līdzīga trešā kārtība vai trešais to apzīmē ar y"""vai f"""( x).

Vžagali, līdzīgi kā n-tajā kārtībā funkcijas veids f(x) sauc par pokhіdna (persha) vid pokhіdnoї ( n- 1) kārta, to apzīmē ar simbolu y(n) vai nu f(n) ( x): y(n) = ( y(n-1))".

Otzhe, perebuvannya pokhіdnoї augstākās kārtas іd ієї funktії secīgi zināt її її khіdnі zemākas kārtas.

Norādītais diferenciālis

Apskatīsim funkciju \(y = f\left(x \right),\) kā nepārtrauktu intervālā \(\left[(a,b) \right].\) Pieņemsim, ka reālajā punktā \( (x_0) \ in \left[ (a,b) \right]\) neatkarīgas pieauguma izmaiņas \(\Delta x.\) Funkcijas \(\Delta y,\) pieaugums, kas izteikts ar formulu \[\Delta y = \Delta f\left(((x_0)) \right) = f\left(((x_0) + \Delta x) \right) - f\left(((x_0)) \ right) .\] Jebkuram diferenciālā funkcija, pieaugumu \(\Delta y\) var uzskatīt par divu saskaitījumu summu: \[\Delta y = A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right) ,\] de pirmais termiņš (tā sauktais galvas daļa pieaugums) lineāri atrodas pieaugumā \(\Delta x,\), un otrs termins var būt augstāka lietu secība \(\Delta x.\) Viraz \(A\Delta x\) sauc funkciju diferenciālis i ir apzīmēts ar \(dy\) vai \(df\left(((x_0)) \right).\)

Apskatīsim ideju par funkcijas (Delta y) paplašināšanu divās daļās uz vienkāršas dibena. Ļaujiet uzdevumiem kvadrātā ar malu \((x_0) = 1 \,\text(m)\,\) (mazie \(1\)). Šis laukums acīmredzami ir lielāks \[(S_0) = x_0^2 = 1 \,\text(m)^2.\] Lai palielinātu kvadrāta malu par \(\Delta x = 1\,\text(cm) ,\ ), tad precīzāk lielākā kvadrāta laukuma vērtība kļūst par \ tobto. palielināta platība \(\Delta S\) vairāk \[ (\Delta S = S - (S_0) = 1,0201 - 1 = 0,0201\,\teksts(m)^2 ) = (201\,\teksts( cm)^2 .) \] Tagad \(\Delta S\) pieaugums izskatās šādi: \[\require(cancel) (\Delta S = S - (S_0) = (\left(((x_0) + \Delta x) ) \right)^2) - x_0^2 ) = (\atcelt(x_0^2) + 2(x_0)\Delta x + (\left((\Delta x) \right)^2) - \ atcelt(x_0) ^2) ) = (2(x_0)\Delta x + (\left((\Delta x) \right)^2) ) = (A\Delta x + \omikrons\left((\Delta x) \right) ) = (dy + o\left((\Delta x) \right).) \] Turpmāk funkcijas \(\Delta S\) palielinājums tiek pievienots no galvas daļas (funkcijas diferenciāļa), kas ir proporcionāls \(\Delta x\) un vairākiem \ i augstākas pakāpes mazākuma vārdiem, savā rindā vienāds ar \[\omikronu\left((\Delta x) \right) = (\left((\Delta) x) \labais)^2) = (0,01^2) = 0,0001\,\teksts(m)^2 = 1\,\teksts(cm)^2.\] = 201\,\teksts(cm)^2 .\)

Ar cieņu, šajā pieteikumā koeficients \(A\) ir svarīgāks par nejaušas funkcijas \(S\) vērtību punktā \((x_0):\) \ teorēma :

Koeficients \(A\) funkcijas galvas daļas palielinājuma punktā \((x_0)\) palielina apakšējās \(f"\left(((x_0)) \right)\) vērtību pie tsіy punktā, šis pieaugums \( \Delta y \) tiek izteikts ar formulu \[ (\Delta y = A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right) ) = (f"\left(() (x_0)) \right)\Delta x + \ omicron\left((\Delta x) \right).) \] Vienādojuma kaitīgo daļu atdalīšana uz \(\Delta x \ne 0,\) varbūt \[ (\frac((\Delta y)))( (\ Delta x)) = A + \frac((\omicron\left((\Delta x) \right)))((\Delta x)) ) = ( f"\left(((x_0)) \right ) + \frac((\omicron\left((\Delta x) \right)))((\Delta x)).) \] (x_0):\) \[ (y"\left(((x_0)) \right) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x) ) ) = (A = f"\left(((x_0)) \right).) \] Šeit mēs melojām, ka nelielai vērtībai \(\omikrons\left((\Delta x) \right)\) augstākas pakāpes mazums, zems \( \Delta x,\) starpnieks \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\omicron\left((\Delta x) \right))) ( (Delta x)) = 0.\] neatkarīgu pārmaiņu diferenciālis \(dx\) uzlabot izaugsmi \(\Delta x:\) \ tad no spіvvіdnoshennia \ ragavas, ko \ tobto. Pokhіdnu funkcijasії iespējamas kā divu diferenciāļu iestatīšana.

Funkcijas diferenciāļa ģeometriskā izjūta

Mazais \(2\) shematiski parāda lielākās funkcijas \(\Delta y\) sadalījumu galvas daļā \(A\Delta x\) (funkcionālais diferenciālis) un augstākās pakāpes mazuma terminu \(\ omikrons\left((\Delta x )\right)\).

Dotičnaja \(MN\), kas veikta ar greizu funkciju \(y = f\left(x \right)\) punktā \(M\), kā šķiet, tas izskatās slikti \(\alpha\), kaut kāda labāka tangensa: \[\tan \alpha = f"\left(((x_0)) \right).\] Kad arguments tiek mainīts uz \(\Delta x\), pieaugums \(A) \Delta x.\) , izveidota dotic, t.i., diferenciāla funkcija. ).

Diferenciāļa spēks

Ļaujiet \(u\) un \(v\) − mainīt funkcijas \(x\). Diferenciālim var būt tāda pati jauda:

1. Pastāvīgo koeficientu var vainot diferenciāļa zīmē:

   \(d\left((Cu) \right) = Cdu\), kur \(C\) ir konstants skaitlis.

2. Diferenciālās summas (mazumtirdzniecības) funkcijas:

   \(d\left((u \pm v) \right) = du \pm dv.\)

3. Diferenciālā konstante vērtība līdz nullei:

   \(d\left(C\right) = 0.\)

4. Neatkarīgo izmaiņu diferenciālis \(x\), lai palielinātu:

   \(dx = \Delta x.\)

5. Diferenciālā lineārā funkcija augšanai:

   \(d\left((ax + b) \right) = \Delta \left((ax + b) \right) = a\Delta x.\)

6. Diferenciālis, kas veido divas funkcijas:

   \(d\left((uv) \right) = du \cdot v + u \cdot dv.\)

7. Divu privāto funkciju atšķirība:

   \(d\left((\large\frac(u)(v)\normalsize) \right) = \large\frac((du \cdot v - u \cdot dv))(((v^2))) \normāls izmērs.\)

8. Diferenciālā funkcija ir vairāk līdzīga argumenta atvasinājumam:

   \(dy = df\left(x \right) = f"\left(x \right)dx.\)

Kā redzat, diferenciālā funkcija \(dy\) tiek pārveidota kā līdzīgs reizinātājs \(dx\). Piemēram, \[(d\left(((x^n)) \right) = n(x^(n - 1))dx,)\;\; (d\left((\ln x) \right) = \frac((dx))(x),)\;\; (d\left((\sin x) \right) = \cos x dx) \] un tā tālāk.

Nemainīga diferenciāļa forma

Apskatīsim divu funkciju \(y = f\left(u \right)\) un \(u = g\left(x \right),\) sastāvu. salokiet funkciju \(y = f\left((g\left(x \right)) \right).\), kur apakšējais indekss norāda izmaiņas, kurām jāveic diferencēšana.

"Ārējās" funkcijas diferenciālis \(y = f\left(u \right)\) var tikt ierakstīts vizuālā \ Funkcijas "iekšējais" diferenciālis \(u = g\left(x \right)\ ) var parādīt līdzīgā veidā: \ \ (du \) priekšējā formulā, tad ņemam \ Oskіlki \ ((y "_x) \u003d (y" _u) \ cdot (u "_x), \) tad virāzes formas funkcijas diferenciālai, piemēram, "vienkāršas" funkcijas gadījumā. diferenciāļa nemainīgā forma .