ऐसी संख्याओं को परिमेय और अपरिमेय अनुप्रयोग कहा जाता है। अपरिमेय संख्याएं, नियुक्तियां, आवेदन

गणितीय लोगों की अमूर्तता को देखते हुए, यह समझने का समय है कि मैं vіdstoronіstyu के बिछाने को समझता हूं, scho अनजाने में विचार को दोष देता है: "क्या सब कुछ महत्वपूर्ण है?"। एले, सबसे पहले, सभी प्रमेय, अंकगणितीय संचालन, कार्य, आदि। - अब और नहीं, निचला बाज़ान्या आवश्यक जरूरतों को पूरा करता है। विशेष रूप से स्पष्ट रूप से, विभिन्न गुणकों की उपस्थिति के बट के साथ झंकार करना संभव है।

सब कुछ प्राकृतिक संख्याओं से शुरू हुआ। मैं चाहता हूं, यह संभावना नहीं है कि एक बार में यह जानना संभव है, लेकिन हर चीज के लिए बेहतर है, विज्ञान की रानी के पैर ओवन से सितारे बढ़ते हैं। यहाँ, खाल की संख्या का विश्लेषण करते हुए, पत्थर एक ही जनजाति के हैं, नामहीन "रहुंका के लिए संख्या" के लोग। त्सोगो youmu फंस गया। कुछ बिंदु तक, ठीक है।

उन्होंने हमें तनु और वेद्नेमती की खाल और पत्थर दिए। तो विनाइल को अंकगणितीय कार्यों में, और एक ही समय में तर्कसंगत लोगों की आवश्यकता होती है, इसलिए आप इसे अन्य लोगों की तरह नाम दे सकते हैं जैसे m / n, de, उदाहरण के लिए, m - खाल की संख्या, n - एक-आदिवासियों की संख्या।

यह बेहतर होता यदि गणितीय उपकरण पहले से ही समग्र रूप से उपयोग किए जाते, जो जीवन को शांत करने के लिए पर्याप्त होते। फिर भी, यह बिना किसी रोक-टोक के दिखा कि उतार-चढ़ाव थे, अगर परिणाम पूरी संख्या के समान नहीं है, लेकिन बुरा नहीं है! मैं, वास्तव में, अंक और बैनर की मदद से दो का वर्गमूल नहीं लटकाया जा सकता। अन्यथा, उदाहरण के लिए, आइए संख्या पाई का उपयोग करें, प्राचीन ग्रीक आर्किमिडीज को पहचानें, इसलिए यह अपने आप में तर्कसंगत नहीं है। समय के साथ, इस तरह की आवाजें समृद्ध हो गईं, जिससे कि फिट नहीं होने वाली संख्याओं के सभी "तर्कसंगत" एकजुट हो गए और उन्हें अपरिमेय कहा गया।

शक्ति

पहले देखा गया गुणक गणित की मूलभूत समझ के एक समूह से संबंधित हैं। Tse का अर्थ है कि आप साधारण गणितीय वस्तुओं के माध्यम से उनका पता नहीं लगा सकते। अले त्से आप अतिरिक्त श्रेणियों के लिए काम कर सकते हैं (ग्रीक से। "विस्लोव्लुवन्न्या") या पोस्टुलेट्स। कभी-कभी, इन भीड़ों की शक्ति को पहचानना बेहतर होता।

o अपरिमेय संख्याएं अवैयक्तिक परिमेय संख्याओं में डेडेकाइंड के संशोधनों को दर्शाती हैं, जिसके लिए निचले वाले में कोई सबसे बड़ा नहीं है, और ऊपरी वाले की कोई छोटी संख्या नहीं है।

o त्वचा ट्रान्सेंडेंट संख्या अपरिमेय है।

o त्वचा अपरिमेय संख्या या तो बीजीय या अनुवांशिक होती है।

o अवैयक्तिक अपरिमेय संख्याएँ मनमाने ढंग से संख्या रेखा पर होती हैं: दो संख्याओं के बीच एक अपरिमेय संख्या होती है।

o अपरिमेय संख्याओं की अवैयक्तिकता अवैयक्तिक है, बेरा की एक अन्य श्रेणी की अवैयक्तिकता।

o अवैयक्तिक मूल्यों का आदेश दिया जाता है, इसलिए दो भिन्न परिमेय संख्याओं a और b की त्वचा के लिए यह दिखाया जा सकता है कि वे दूसरे से कम हैं।
o त्वचा के बीच दो भिन्न परिमेय संख्याएँ, हम अभी भी एक परिमेय संख्या और अवैयक्तिक परिमेय संख्याएँ भी लेते हैं।

o अंकगणित dії (तह, vіdnіmannya, गुणा और rozpodіl) इस पर कि क्या दो परिमेय संख्याएँ हैं, यह हमेशा संभव है और परिणाम को एक परिमेय संख्या दें। Vinyatkom podіl से शून्य, जो अपरिपक्व है।

o त्वचा परिमेय संख्या को दशमलव अंश (एक अंतिम या गैर-सीमित आवधिक) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अवैयक्तिक अपरिमेय संख्याएँ महान लैटिन अक्षर द्वारा सूचित की जाती हैं मैं (\displaystyle \mathbb (I))बोल्ड समोच्च पर भरने के बिना। इस तरह से: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q)), फिर अवैयक्तिक अपरिमेय संख्याएँ є वाक् और परिमेय संख्याओं की बहुलता का अंतर।

अपरिमेय संख्याओं के आधार के बारे में, अधिक सटीक रूप से, असंख्य संख्याएँ, एक ही विलक्षणता में असंख्य, पहले से ही पुराने गणितज्ञों को पता था: यह ज्ञात था, उदाहरण के लिए, वर्ग के उस पक्ष के विकर्ण की असंख्यता, जो की अपरिमेयता के बराबर है रेखावृत्त।

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  तर्कसंगत

  तर्कहीनता का प्रमाण लागू करें

  कोरिन जेड 2

  चलो स्वीकार नहीं करते: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))तर्कसंगत, इसलिए यह एक भिन्न प्रतीत होता है एम एन (\displaystyle (\frac (एम)(एन))), डे एम (\ डिस्प्लेस्टाइल एम)- पूर्ण संख्या, और n (\displaystyle n)एक प्राकृतिक संख्या है।

  स्क्वायर पर ज़ेवेडोमो पेरेबाचुवानु समभाव:

  2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  इतिहास

  प्राचीन काल

  अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को भारतीय गणितज्ञों द्वारा 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में अपनाया गया था, यदि मानव (बीएल। 750 ईसा पूर्व - बीएल। 690 ईसा पूर्व) संख्याएं जैसे 2 और 61 स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं की जा सकती हैं [ ] .

  अपरिमेय संख्याओं की नींव का पहला प्रमाण मेटापोंटस के हिप्पासस (ब्ल। 500 ईसा पूर्व), पाइथागोरस को दिया जाता है। पाइथागोरस के घंटों के लिए, यह महत्वपूर्ण था कि केवल एक ही दिन था, यह छोटा और असहनीय था, क्योंकि किसी भी प्रकार के vіdrіzok में प्रवेश करने के लिए पूरी संख्या [ ] .

  उनके बारे में कोई सटीक डेटा नहीं है, हिप्पसस ने इस तरह की संख्या की तर्कहीनता की पुष्टि की थी। Zgіdno z किंवदंती, vіn znayshov yogo vvchayuchi dozhini पक्ष पेंटाग्राम के साथ। इसलिए जाने देना ही बुद्धिमानी है, गोल्डपेरेटिन की कीमत क्या थी [ ] .

  यूनानी गणितज्ञों ने गैर-पारस्परिक मात्राओं के मूल्य का नाम दिया अलोगोस(nevimovnim), किंवदंतियों के साथ प्रोटे zgіdno ने हिप्पा का बोझ नहीं देखा। एक किंवदंती है कि हिप्पस zdіysniv vіdkrittya, perebuvaya एक समुद्री यात्रा में, और अन्य पाइथागोरस द्वारा "सर्वज्ञता के तत्व के निर्माण के लिए" लिया गया था, जो इस सिद्धांत की निंदा करता है कि सर्वज्ञता के सभी दिन हो सकते हैं उन नंबरों की संख्या में कमी। ” हिप्पस की खोज ने पाइथागोरस गणित के लिए एक गंभीर समस्या पेश की, सभी सिद्धांतों के आधार पर रखी गई धारणाओं को नष्ट कर दिया, कि संख्याएं और ज्यामितीय वस्तुएं एकजुट और अविभाज्य हैं।

  पुराने एकल dozhina से, गणितज्ञ पहले से ही जानते थे: उदाहरण के लिए, वे वर्ग के उस पक्ष के विकर्ण की असंगति के बारे में जानते थे, जो संख्या की अपरिमेयता के बराबर है।

  तर्कसंगत

  तर्कहीनता का प्रमाण लागू करें

  कोरिन जेड 2

  स्वीकार्य रूप से अस्वीकार्य: तर्कसंगत, इसलिए यह एक गैर-लघु अंश की तरह दिखता है, डी i - संख्याओं की संख्या। स्क्वायर पर ज़ेवेडोमो पेरेबाचुवानु समभाव:

  .

  Zvіdsi स्क्वील, scho पेयर, otzhe, पेयर i। डी सिल पर आओ। टोडी

  पिता, जोड़ी, पिता, जोड़ी मैं। हमने ले लिया, लड़कों और लड़कियों की तरह, कैसे अंश की कमी को सुपरचिट किया जाए। ओत्ज़े, प्रस्थान गलत था, i एक अपरिमेय संख्या है।

  2 लघुगणक 3

  स्वीकार्य रूप से अस्वीकार्य: तर्कसंगत, इसलिए यह एक अंश प्रतीत होता है, डी मैं - पूर्ण संख्या। शेयरों को सकारात्मक माना जा सकता है। टोडी

  एले युग्मित है, लेकिन अयुग्मित है। हम पोंछ लेते हैं।

  इ

  इतिहास

  अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को भारतीय गणितज्ञों द्वारा 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में अपनाया गया था, यदि मानव (बीएल। 750 ईसा पूर्व - बीएल। 690 ईसा पूर्व) संख्याएं जैसे 2 और 61 स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं की जा सकती हैं।

  अपरिमेय संख्याओं की नींव का पहला प्रमाण मेटापोंटस (बीएल। 500 ईसा पूर्व) के हिपासस को जिम्मेदार ठहराया जाता है, पाइथागोरस, जो इस सबूत को जानते थे, पक्षों को पेंटाग्राम के साथ बदलते थे। पाइथागोरस के घंटों के दौरान, यह महत्वपूर्ण था कि केवल एक ही दिन हो, यह छोटा और असहनीय था, एक पूरी संख्या के रूप में be-yaky vіdrіzok में प्रवेश करने के लिए। प्रोटे हिप्पस ने आधार बनाया, कि जीवन की एक भी इकाई नहीं है, शानदारता लाने के लिए इस्नुवन्न्या के बारे में चूक के टुकड़े। विन ने दिखाया है कि स्ट्रेट-फेमोरल स्ट्रेट-कट ट्रिकॉट का कर्ण सिंगल वाइन्डर्स की संख्या का बदला लेता है, पूरी संख्या एक साथ नर और नॉन-स्टीम दोनों हो सकती है। सबूत इस तरह दिखता है:

  • हाइपोटेंशन की लंबाई को स्ट्रेट-फेमोरल स्ट्रेट-कट ट्रिकॉट के पैर की लंबाई तक विस्तारित करना अधिक स्पष्ट हो सकता है ए:बी, डे एі बीकम से कम संभव चुनें।
  • पाइथागोरस प्रमेय के लिए: ए= 2 बी².
  • तो याकी एयार, एजोड़ा जा सकता है (एक अयुग्मित संख्या का oskіlki वर्ग buv द्वि अयुग्मित है)।
  • ओस्किल्कि ए:बीछोटा नही, बीअयुग्मित हो सकता है।
  • तो याकी एलड़का, महत्वपूर्ण ए = 2आप.
  • टोडी ए= 4 आप= 2 बी².
  • बी= 2 आप, बाद में बीयार, तोडी मैं बीजोड़े में।
  • प्रोटे बुलो लाया, थानेदार बीअयुग्मित। सफाई।

  यूनानी गणितज्ञों ने गैर-पारस्परिक मात्राओं के मूल्य का नाम दिया अलोगोस(nevimovnim), किंवदंतियों के साथ प्रोटे zgіdno ने हिप्पा का बोझ नहीं देखा। एक किंवदंती है कि हिप्पस zdіysniv vіdkrittya, perebuvaya एक समुद्री यात्रा में, और अन्य पाइथागोरस द्वारा "सर्वज्ञता के तत्व के निर्माण के लिए" लिया गया था, जो इस सिद्धांत की निंदा करता है कि सर्वज्ञता के सभी दिन हो सकते हैं उन नंबरों की संख्या में कमी। ” हिप्पस की खोज ने पाइथागोरस गणित के लिए एक गंभीर समस्या पेश की, सभी सिद्धांतों के आधार पर रखी गई धारणाओं को नष्ट कर दिया, कि संख्याएं और ज्यामितीय वस्तुएं एकजुट और अविभाज्य हैं।

  विभाग भी

  टिप्पणियाँ

  संख्या प्रणाली
  रखुनकोव गुणा	प्राकृतिक संख्याएं ()

  परिमेय संख्याओं को अलौकिक भिन्न से देखा जा सकता है। गिनती और पूर्ण संख्याएं (उदाहरण के लिए, 12, -6, 0), और अंतिम दशमलव (उदाहरण के लिए, 0.5; -3.8921) और अंतहीन आवधिक दशमलव (उदाहरण के लिए, 0.11 (23); -3, (87))।

  प्रोटीन गैर-आवर्ती गैर-आवधिक दसियों अंशदृष्टि में सबसे महत्वपूर्ण अंशों को प्रकट करना असंभव है। फिर बदबू तर्कहीन संख्या(इतना तर्कहीन)। ऐसी संख्या का उदाहरण संख्या है, जो लगभग 3.14 है। हालाँकि, यह बिल्कुल समान क्यों है, इसकी गणना करना असंभव है, क्योंकि संख्या 4 के बाद छोटी संख्याओं की एक अंतहीन श्रृंखला होती है, जिसमें आप दोहराए जाने वाले आवर्त नहीं देख सकते हैं। यदि ऐसा है, यदि संख्या π को सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, तो यह विशिष्ट हो सकता है ज्यामितीय अर्थ. संख्या व्यास की लंबाई के लिए किसी भी हिस्सेदारी के लिए समय की लंबाई का मान है। इस प्रकार, अपरिमेय संख्याएँ निश्चित रूप से प्रकृति में पाई जाती हैं, साथ ही परिमेय संख्याएँ भी।

  अपरिमेय संख्याओं का एक अन्य उदाहरण का वर्गमूल हो सकता है सकारात्मक संख्या. कुछ संख्याओं से मूल का परिवर्तन एक परिमेय मान देता है, दूसरों से - अपरिमेय। उदाहरण के लिए, 4 = 2, इसलिए 4 का मूल एक परिमेय संख्या है। और अक्ष √2, 5, √7 और बहुत से अन्य परिणाम अपरिमेय संख्याएँ देते हैं, ताकि उन्हें कोमी के बाद एक ही चिन्ह तक गोल करके एक-दूसरे के अधिक निकट खींचा जा सके। किन परिस्थितियों में, यह गैर-आवधिक दिखाई देगा। इसलिए यह ठीक-ठीक और ठीक-ठीक कहना संभव नहीं है कि इन संख्याओं के मूल का मूल्य क्यों है।

  तो 5 वह संख्या है जो संख्या 2 और 3 के बीच स्थित है, इसलिए 4 = 2, और √9 = 3. √5 के करीब, √9 से √5 तक कम करें। सच है, 5 2.23 या √5 2.24।

  अपरिमेय संख्याएँ अन्य गणनाओं में भी दिखाई देती हैं (और न केवल एक ज़ब्त जड़ के मामले में), बल्कि वे ऋणात्मक हैं।

  अपरिमेय संख्याओं के अनुपात के अनुसार, हम कह सकते हैं कि हमने एक दर्जन की मृत्यु के लिए कोई द्वि-एकल पुष्पांजलि नहीं ली, ऐसी संख्या द्वारा व्यक्त की गई, हम मर नहीं सकते।

  अंकगणितीय संक्रियाओं में, अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं के क्रम में भाग ले सकती हैं। जब tsimu कम नियमितता। उदाहरण के लिए, यदि एक अंकगणितीय संक्रिया में कोई परिमेय संख्या से कम भाग लेता है, तो परिणाम के रूप में एक परिमेय संख्या हमेशा निकलती है। यदि संचालन एक अपरिमेय का भाग्य लेते हैं, तो स्पष्ट रूप से यह कहना असंभव है कि कौन सा एक परिमेय या अपरिमेय संख्या है।

  उदाहरण के लिए, यदि आप दो अपरिमेय संख्याओं √2 * 2 को गुणा करते हैं, तो 2 एक परिमेय संख्या है। दूसरी ओर, √2 * √3 = √6 एक परिमेय संख्या है।

  यदि एक अंकगणितीय संक्रिया में मैं परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का भाग लेता हूँ, तो हम एक अपरिमेय परिणाम देखेंगे। उदाहरण के लिए, 1 + 3.14... = 4.14...; 17 - 4.

  √17 - 4 एक अपरिमेय संख्या क्यों है? मान लें कि हम एक परिमेय संख्या x देखते हैं। तब 17 = x + 4. एले x + 4 एक परिमेय संख्या है, इसलिए हमने अनुमति दी कि x परिमेय संख्या है। संख्या 4 भी परिमेय है, इसलिए x + 4 परिमेय है। हालांकि, एक परिमेय संख्या अपरिमेय 17 के बराबर नहीं हो सकती। इसका कारण यह है कि √17 - 4 एक परिमेय परिणाम देता है ऐसा नहीं है। अंकगणितीय संक्रिया का परिणाम अपरिमेय होगा।

  हालाँकि, इस नियम से दोष हैं। यदि हम अपरिमेय संख्या 0 को गुणा करते हैं, तो हमें परिमेय संख्या 0 दिखाई देती है।

  एक अपरिमेय संख्या का पदनाम

  ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है, क्योंकि दसवीं प्रविष्टि में, वे अटूट गैर-आवधिक दशमलव अंश हैं।

  
  
  

  इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्याएँ, प्राकृतिक संख्याओं का otrimani otrimanna वर्गमूल, अपरिमेय और प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग नहीं। लेकिन सभी अपरिमेय संख्याओं को वर्गमूल के माध्यम से नहीं लिया जाता है, भले ही उन्हें उपखंड की विधि से हटा दिया गया हो, संख्या "pi" भी अपरिमेय है, और आप शायद ही इसे दूर ले जा सकते हैं, वर्ग लेने की कोशिश कर रहे हैं एक प्राकृतिक संख्या की जड़।

  अपरिमेय संख्याओं की शक्ति

  दूसरी ओर, अटूट दशमलव अंशों के रूप में लिखी गई संख्याओं की संख्या, अपरिमेय संख्याओं से अधिक, गैर-आवधिक असंगत दशमलव अंशों में लिखी जाती है।
  परिणाम में दो गैर-ऋणात्मक अपरिमेय संख्याओं का योग, शायद, एक परिमेय संख्या है।
  अपरिमेय संख्याएँ अवैयक्तिक परिमेय संख्याओं के लिए डेडेकाइंड के संशोधन को दर्शाती हैं, निम्न वर्ग के लिए उनके पास नहीं है बड़ी संख्या, और ऊपर वाले के पास कुछ कम नहीं है।
  क्या एक भाषण के रूप में पारलौकिक संख्या अपरिमेय है।
  सभी अपरिमेय संख्याएँ या तो बीजीय या अनुवांशिक होती हैं।
  सीधी रेखा पर बहुत सारी अपरिमेय संख्याएँ बेतरतीब ढंग से फैली हुई हैं, और उनके बीच, चाहे वह दो संख्याएँ हों, एक अपरिमेय संख्या होती है।
  बेनामी अपरिमेय संख्याएं सीमित नहीं हैं, विभेदित नहीं हैं और दूसरी श्रेणी की अवैयक्तिक हैं।
  vikonannya के लिए, यह परिमेय संख्याओं के साथ एक अंकगणितीय ऑपरेशन हो, यदि मैं 0 से उप-विभाजित करता हूं, तो परिणाम एक परिमेय संख्या होगी।
  एक अपरिमेय संख्या के साथ एक परिमेय संख्या जोड़ने पर, परिणाम में एक अपरिमेय संख्या होगी।
  अपरिमेय संख्याओं को जोड़ते समय, परिणाम एक परिमेय संख्या ले सकते हैं।
  अवैयक्तिक अपरिमेय संख्याएँ उपयुक्त नहीं हैं।
  

  संख्याएं जो अपरिमेय नहीं हैं

  कभी-कभी भोजन के उत्तर ढूंढना आसान होता है, जो एक अपरिमेय संख्या है, विशेष रूप से उतार-चढ़ाव में, यदि संख्या एक दशमलव अंश की तरह दिख सकती है, या यदि यह एक संख्यात्मक virase की तरह दिखती है, तो एक लघुगणक की जड़।

  हम यह नहीं जान पाएंगे कि, यदि संख्याएँ अपरिमेय संख्याओं के अनुरूप नहीं हैं। अपरिमेय संख्याओं के पदनाम से निम्नानुसार, हम पहले से ही जानते हैं कि परिमेय संख्याएँ अपरिमेय नहीं हो सकती हैं।

  अपरिमेय संख्याएँ नहीं हैं:

  सबसे पहले, हमारे पास प्राकृत संख्याएं हैं;
  दूसरे तरीके से, संख्याओं की संख्या;
  तीसरा, प्राथमिक अंश;
  चौथा, विभिन्न संख्याएँ;
  For-p'yate, tse unscrambled आवधिक दसियों भिन्न।
  

  संपूर्ण अतिसंरक्षित, अपरिमेय संख्या की क्रीम परिमेय संख्याओं का संयोजन नहीं हो सकती, क्योंकि यह अंकगणितीय संक्रियाओं के चिह्नों से संयुग्मित होती है, जैसे +, -, :, ताकि दो परिमेय संख्याओं के प्रत्येक उप-बैग के साथ यह एक परिमेय संख्या।

  और अब हम आश्चर्य करते हैं कि कितनी अपरिमेय संख्याएँ हैं:

  
  
  

  और आप फैन क्लब के कारणों के बारे में क्या जानते हैं, इस गूढ़ गणितीय घटना के चैनलर्स इस रहस्य को सुलझाने की कोशिश कर रहे पाई के बारे में नए vidomosti कानाफूसी करते हैं। इस क्लब का सदस्य स्टील हो सकता है, चाहे वह एक व्यक्ति हो, जैसा कि आप कोमी के नंबरों की संख्या को याद रखना जानते हैं;

  आप जानते हैं कि यूनेस्को के संरक्षण में Nіmechchini में Castadel Monte महल है, जिसके अनुपात को बढ़ाया जा सकता है। राजा फ्रेडरिक द्वितीय ने इस संख्या में त्सिली पैलेस को पवित्रा किया।

  ऐसा प्रतीत होता है कि बेबीलोन की मीनार के जीवन काल में जीत के द्वारा पाई की संख्या का उच्चारण किया गया था। अले, यह बहुत अफ़सोस की बात है कि इसने परियोजना को ध्वस्त कर दिया, क्योंकि उस समय यह पाई के सटीक मूल्य की गणना करने के लिए पर्याप्त नहीं था।

  स्पिवाचका केट बुश ने "पाई" नामक अपनी नई डिस्क के लिए एक गीत रिकॉर्ड किया, जिसमें प्रसिद्ध संख्यात्मक श्रृंखला 3, 141 के नंबर 3 से एक सौ बीस चोटिरी की आवाज आई।