§5. Matricos rangas ir skaičiavimo metodas

Skaičius r vadinamas matricos A rangu taip:
1) matricoje A є minor iki r vіdminny vіd nulio;
2) viskas smulkiai tvarkinga (r + 1) ir daugiau, tarsi smirdėtų іsnuyut, kol išnyks.
Kitu atveju matricos rangas yra aukščiausias nepilnamečio laipsnis, dominuojantis nulio tipas.
Parašai: rangA, r A arba r.
Paskyrimo Z reiškia, kad r yra tikslas data. Nulinės matricos rangas yra lygus nuliui.

Aptarnavimo užduotis. Internetinis susitikimų skaičiuoklė žinioms matricos rangas. Renkantis sprendimą, jis paimamas iš Word ir Excel formatų. div. sprendimo pavyzdys.

Instrukcija. Pasirinkite matricos dydį, paspauskite Dali.

Paskyrimas. Tegu pateikiama r rango matrica. Ar yra matricos mažoji nulio forma ir eilės r, vadinama pagrindu, o pirmojo sandėlio tų stulpelių eilutės yra pagrindinės tų stulpelių eilutės.
Priklausomai nuo pasirinkimo, matrica A gali būti pagrindinių nepilnamečių motina.

Vienos matricos E rangas yra lygus n (eilučių skaičiui).

1 pavyzdys. Duotos dvi matricos, ta їхні minori , . Kuris iš jų gali būti laikomas pagrindu?
Sprendimas. Mažoji M 1 =0, todėl vin negali būti bazinė jokiai matricai. Mažasis M 2 \u003d-9≠0 ir gali būti 2, o tai reiškia, kad tai gali būti laikoma pagrindine proto matrica A arba / і B, kokios yra rangos, lygios 2. Jei detB=0 (kaip viršūnė su dviem proporcingais stulpeliais), tai rangB=2 ir M 2 gali būti laikomi pagrindine matricos B minora. Matricos A rangas yra didesnis 3, taigi detA=-27≠0 ir, tada tsієї matricos pagrindinės minorinės eilės tvarka yra atsakinga už 3 pridėjimą, todėl M 2 nėra A matricos pagrindas. Svarbu, kad matrica A turi vieną pagrindinį minorą, kuris yra toks pat kaip matricos A ženklas.

Teorema (apie pagrindinį minorą). Ar yra matricos eilutė (stovpchik) є linijinis її pagrindinių eilučių derinys (stovptsіv).
Rezultatai iš teoremos.

1. Būkite panašūs (r+1) r_tiesinio pūdymo matricos krūvos (eilutės).
2. Jei matricos rangas yra mažesnis už її eilučių skaičių (stovptsіv), tai її eilučių (stovptsі) yra tiesiškai nedirbamos. Jei rangA lygi її eilučių skaičiui (stovptsіv), tai eilutės (stovptsі) yra tiesiškai nepriklausomos.
3. Matricos A ženklas lygus nuliui ir tada, jei її eilučių (stowptsі) yra tiesiškai nedirbamos.
4. Jei prie matricos eilutes (stovptsya), (stovpets) pridėsiu dar vieną eilutę, padauginsiu iš to, ar skaičius lygus nuliui, tai matricos rangas nepasikeis.
5. Jei matrica turi kryžminę eilutę (stovpets), jei tai tiesinis kitų eilučių derinys (stovptsiv), tai matricos rangas nepasikeis.
6. Matricos rangas yra lygus didžiausiam її tiesiškai nepriklausomų eilučių (stowptsіv) skaičiui.
7. Didžiausias tiesiškai nepriklausomų eilučių skaičius priklauso nuo didžiausio tiesiškai nepriklausomų eilučių skaičiaus.

2 pavyzdys. Raskite matricos rangą .
Sprendimas. Vykhodyachi s priskirtas matricos rangui, aukščiausios eilės shukatimemo minor, vіdminny vіd nulis. Perkurkime matricą į paprastesnę išvaizdą. Kai pirmoji matricos eilutė padauginama iš (-2) і dodamo iš kitos, tada її padauginama iš (-1) і dodamo iš trečiosios.

Matricos rangas yra svarbi skaitinė charakteristika. Būdingiausia užduotis, kuri priklauso nuo matricos rango svarbos, yra algebros tiesinių lygčių sistemos sumavimo pakartotinis patikrinimas. Leiskite tsіy statti mi damo suprasti matricos rangą ir pažvelgti į jogos reikšmės metodą. Siekiant trumpiausio medžiagos įsisavinimo, reikia išanalizuoti kelių pritaikymų pasiskirstymą.

Navigacija šone.

Paskyrimas į matricos rangą ir būtinas papildomas supratimas.

Pirmasis žemesnis balsas priskiriamas matricos rangui, kitas gerai suprantamas nepilnamečio supratimu, o nepilnamečių reikšmė matricoje gali būti dėl viršininko skaičiavimo. Taip pat rekomenduojama, jei reikia, atspėti statistikos teoriją, metodus ir matricos vado žinias, viršininko galią.

Paimkite matricą A eilės tvarka. Tegu k yra natūralusis skaičius, kuris nekeičia mažiausiai iš skaičių m ir n, taigi .

Paskyrimas.

Mažoji k-oji tvarka matricos A vadinamos kvadratinės matricos eilės ženklu, saugomos matricos A elementuose, nes yra pasirinktų k eilučių ir stulpelių gale k, o A matricos elementų išplėtimas atimamas.

Kitaip tariant, jei į matricą A pridedame (p-k) eilučių ir (n-k) stulpelių, o iš paliktų elementų pridedame matricą, išsaugodami matricos A elementų išplėtimą, tada dešimtainis pašalinta matrica yra mažesnė už matricos A eilę k.

Pažvelkime į priskirtą matricos minorą ant užpakalio.

Pažiūrėkime į matricą .

Užrašykime pirmosios matricos eilės nepilnamečių skaičių. Pavyzdžiui, jei pasirenkame trečią ir kitą matricos A eilutę, tada mūsų pasirinkimui suteikiamas pirmos eilės minoras . Kitaip tariant, norint pašalinti šį nepilnametį, buvo pridėta pirmoji ir antroji eilutės, taip pat pirmas, trečias ir ketvirtas stulpeliai iš A matricos, o iš elemento, kuris buvo išbrauktas, jie padėjo ženklą. Kaip pasirinkti pirmąją ir trečiąją matricos A eilutes, atimame minorą .

Iliustruosime nepilnamečių pirmos eilės žvilgsnio pašalinimo procedūrą
і .

Šioje eilėje matricos pirmosios eilės minoriniai yra matricos elementai.

Parodykime šprotus kita tvarka. Mes pasirenkame dvi eilutes ir du stulpelius. Pavyzdžiui, paimkite pirmą ir kitas eilutes bei trečią ir ketvirtą eilutes. Tokiam pasirinkimui yra nepilnametis kitokia tvarka . Taip pat cei minor galima užlenkti ant trečios A eilės, pirmos ir kitų stulpelių matricų.

Іnshim minor skirtingos eilės matricos A є.

Leiskite iliustruoti šiuos nepilnamečius kita tvarka
і .

Panašiai matricos trečiosios eilės minorines A. Oskilka galite rasti ir visų trijų eilučių matricoje, tada pasirenkame їх ux. Jei pasirinksite tris pirmas eilutes prieš šias eilutes, tada imkite trečiosios eilės minorą

Vіn gali kurstyti likusią matricos A dalį.

Іnshim minor trečios eilės є

eikite į trečią matricos A stulpelį.

Mažųjų ašis, kuri parodo šių trečios eilės nepilnamečių motyvaciją
і .

Mažosios eilės matricai A nebėra trečiosios, skeveldros.

Skіlki іsnuіє іnіє іnоіrіv k-oji matricos tvarka Ir tvarka ?

K eilės nepilnamečių skaičius gali būti grąžintas jak, de і - Dienų skaičius nuo p iki k ir nuo n iki k yra aiškus.

Kaip padaryti, kad visi nepilnamečiai matricos A eilės p eilės n?

Mums reikia anoniminių skaičių matricos eilutėse ir anoniminių skaičių stulpeliuose. Viską įrašome atimant p elementus iš k(smarvė atitiks pasirinktas matricos A eilutes k tvarka). Prieš odos dieną skaičiai eilutėje paeiliui pridedami prie stulpelių skaičių visų n elementų. Qi rinkiniai pagal dienų skaičius A matricos eilutėse ir stulpelių skaičiais padės į eilę k įtraukti visus nepilnamečius.

Paimkime pavyzdį.

užpakalis.

Raskite ūsus skirtingos matricos eilės nepilnamečiams.

Sprendimas.

Jei išvesties matricos tvarka yra 3 x 3, tada bus visa mažoji kita tvarka .

Visas dienas nuo 3 iki 2 surašome eilėmis A matricoje: 1, 2; 1, 3 ir 2, 3. Visos dienos nuo 3 iki 2 skaičių stulpeliuose є 1, 2; 1, 3 ir 2, 3.

Paimkite pirmąją ir antrąją matricos A eilutes. Vibruojant į šias eilutes, pirmas ir kiti stulpeliai, pirmas ir trečias stulpeliai, kiti ir trečias stulpeliai paimami mažu

Pirmoje ir trečioje eilutėse su panašiu stulpelių pasirinkimu galima

Kitai ir trečiai eilutei buvo palikta pridėti pirmą ir kitą, pirmą ir trečią, kitą ir trečią eilutes:

Vėliau buvo rasti visi devyni skirtingos matricos eilės nepilnamečiai.

Dabar galite pereiti prie priskirto matricos rango.

Paskyrimas.

Matricos rangas- Aukščiausia matricos minorinė eilė, vіdminnogo vіd nulis.

Matricos A rangas priskiriamas rangu (A). Taip pat galite nurodyti Rg(A) arba Rang(A).

Iš matricos rango ir matricos minoro priskyrimo galima generuoti visnovoką taip, kad nulinės matricos rangas būtų lygus nuliui, o nulinės matricos rangas būtų lygus nuliui. ne mažiau kaip vienas.

Žinant paskyrimų matricos rangą.

Taip pat pirmasis matricos rango nustatymo metodas є brutalios jėgos metodas. Šis būdas pagrįstas priskirtu matricos rangu.

Leiskite mums žinoti matricos A rangą.

Trumpai apibūdinkite algoritmas rozv'yazannya tsgogo zavdannya nepilnamečių surašymo būdu.

Jei norite, kad vienas matricos elementas atrodytų kaip nulis, tada matricos rangas yra bent vienas (skeveldros yra pirmos eilės mažos, nelygios nuliui).

Pereikime prie nepilnamečių kita tvarka. Jei visi skirtingos eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, tada matricos rangas yra lygus vienetui. Jei norime vieno kitokios eilės nepilnamečio, kuris nėra nulis, pereiname prie trečios eilės nepilnamečių surašymo, o matricos rangas yra ne mažesnis kaip du.

Panašiai, jei visi trečiosios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, tada matricos rangas yra lygus dviem. Jei norime vieno trečios eilės nepilnamečio, jei žiūrime į nulį, tada matricos rangas yra ne mažesnis kaip trys ir pereiname prie ketvirtos eilės nepilnamečių surašymo.

Svarbu tai, kad matricos rangas negali viršyti mažiausio skaičiaus p і n .

užpakalis.

Raskite matricos rangą .

Sprendimas.

Oskilki matrica yra ne nulis, її reitingas yra ne mažesnis kaip vienas.

Kitos eilės nepilnametis vіdminniy vіd nulis, otzhe, matricos rangas yra ne mažesnis kaip du. Pereiname prie trečios eilės nepilnamečių surašymo. Usyogo їх dalykų.

Usі trečios eilės nepilnamečiai lygūs nuliui. Todėl matricos rangas yra dvigubas.

Pasiūlymas:

Reitingas(A) = 2.

Matricos rango suradimas obliatyviniu nepilnamečių metodu.

Nustatykite kitus matricos rango nustatymo metodus, kurie leis gauti rezultatą atliekant mažiau skaičiavimo darbų.

Vienas iš šių būdų yra metodas oblyamіvnyh minorіv.

Išsiaiškinkime suprasti oblyamіvnogo nepilnametis.

Atrodo, kad mažoji M ok (k + 1)-oji matricos eilė A oblyamovy mažoji M matricos A eilės k, kaip matrica, panaši į mažąją M ok, "keršija" matricai, panašiai į nepilnametis M.

Priešingu atveju, atrodo, matrica, vydpovidna vіdpovіdna oblyamovuvannuyu minor M , išeiti iš matricos, mokyklų mainai vіdpovіdaє vіdpovidає oblyamіvnuyu minor M ok , vykresluvannyam vienos eilutės ir vieno stulpelio elementai.

Pavyzdžiui, pažiūrėkime į matricą ir paimti kitos eilės nepilnametį. Užrašykime visus nepilnamečius, kurie oblyamovuyut:

Oblyamіvnyh minorіv metodas yra apribotas puolimo teorema (galime sukelti formulę be įrodymų).

Teorema.

Jei visi nepilnamečiai, kurie prideda mažąjį prie k-osios matricos A eilės p eilės n, yra užbaigiami nuliu, tai visi matricos A eilės (k + 1) nepilnamečiai užbaigiami nuliu.

Taigi, norint nustatyti matricos rangą, nebūtina rūšiuoti visų nepilnamečių, kuriuos reikia oblyamovuyt. Nepilnamečių skaičius, kuris prideda nepilnametį prie eilės A matricos k-osios eilės, yra žinomas pagal formulę . Svarbu tai, kas yra tie nepilnamečiai, kurie prideda minorą prie matricos A k-osios eilės, ne daugiau nei matricos A žemesniosios (k + 1) eilės. Tam geresnė metodo alternatyva. nepilnamečių oblyamivnyh yra geriau nei paprastas visų nepilnamečių sąrašas.

Pereikime prie matricos rango reikšmės galutinių nepilnamečių metodu. Trumpai apibūdinkite algoritmas kuris metodas.

Jei matrica A yra ne nulis, tada kaip pirmos eilės minorą imame, ar yra koks nors matricos A elementas, lygus nuliui. Pažvelkime į Yogo Minori, ką oblyamovuyut. Jei smarvė yra lygi nuliui, tada matricos rangas yra lygus vienetui. Jei norime vieno ne nulio oblyamіvny nepilnamečio (ta pati tvarka yra lygi dviems), tada pereiname prie vieno oblyamіvnyh nepilnamečio svarstymo. Jei dvokas lygus nuliui, tada Rank(A) = 2 . Jei norite naudoti vieną sveiką nepilnametį nulio pavidalu (trys yra trys), galite pažvelgti į nepilnametį, kuris yra oblyamovuyut. Ir iki šiol. Rezultatas turi Rank(A) = k , taigi viskas įrėmina matricos A (k + 1) eilės minorą į nulį arba Rank(A) = min(p, n) , kad būtų ne nulis minorinis, kad mažoji tvarka (min( p, n) - 1).

Pažvelkime į nepilnamečių įrėminimo metodą, kad būtų galima nustatyti matricos rangą iš užpakalio.

užpakalis.

Raskite matricos rangą pagal oblyamіvnyh minorіv.

Sprendimas.

Jei matricos A elementas a 1 1 laikomas nuliu, tai imame jį kaip pirmos eilės minorinį. Pochnemo poshuk kadravimo minor, vіdminnogo vіd nulis:

Žinios apie kitos eilės nepilnametį, vіdminniy vіd nulis. Panagrinėkime jogą, besiribojantį su nepilnamečiais (їх dalykai):

Naudoti mažuosius, dėl kurių kitos eilės minoras yra lygus nuliui, tada matricos A rangas yra lygus dviem.

Pasiūlymas:

Reitingas(A) = 2.

užpakalis.

Raskite matricos rangą už pagalbą oblyamіvnyh minorіv.

Sprendimas.

Kaip pirmos eilės nulinės minorinės dalies pavyzdį imame matricos A elementą a 1 1 = 1 . Kitokios eilės nepilnametis, kaip jogas obljamovas nelygu nuliui. Cei minor baigia trečios eilės nepilnametis
. Kadangi vin nėra lygus nuliui, o naujajam nelygus oblyamіvny minor, tada matricos A rangas yra lygus trims.

Pasiūlymas:

Reitingas(A) = 3 .

Znahodzhennya rangas su papildomomis elementariomis matricos transformacijomis (Gauso metodu).

Pažvelkime į dar vieną būdą matricos rangui nustatyti.

Kita matricos transformacija vadinama elementariu:

• matricos eilučių (arba stovptsіv) permutacija;
• visų bet kurios matricos eilutės (stovptsya) elementų padauginimas iš tam tikro skaičiaus k nulio pavidalu;
• prie bet kurios eilutės elementų (stovptsya) pridedant tuos pačius kitos matricos eilės (stovptsya) elementus, padaugintus iš tam tikro skaičiaus k .

Matrica vadinama ekvivalentine matrica A, tarsi atimtas iš A paskutinio elementariųjų transformacijų skaičiaus pagalbai. Matricų lygiavertiškumas žymimas simboliu „~“, todėl rašoma A~B.

Papildomų elementariųjų matricos transformacijų matricos rango reikšmė yra pagrįsta griežtesnėmis: kadangi matrica paimama iš matricos A papildomam galutiniam elementariųjų transformacijų skaičiui, tada Rank(A) = Reitingas (B) .

Šio tvirtumo teisingumas matyti iš matricos valdovo autoriteto:

• Pertvarkydamas matricos eilutes (arba tarpelius), arbitras pakeičia ženklą. Jei vin lygus nuliui, tai pertvarkant eilutes (stowptsiv), vin tampa lygus nuliui.
• Padauginus visus bet kurios matricos eilutės (stowptsya) elementus iš pakankamo skaičiaus k nulio pavidalu, paimtos matricos žymeklis yra lygus išvesties matricos žymeniui, padaugintam iš k. Jei pradinės matricos osciliatorius yra arčiau nulio, tada padauginus visus elementus bet kurioje eilutėje arba iš skaičiaus k, pašalintos matricos generatorius taip pat lygus nuliui.
• Pridėjus antrosios matricos eilės elementus (stovptsya) ir antrosios matricos eilės elementus (stowptsya), padauginus iš deak, skaičius k nekeičia žymens skaičiaus.

Elementariųjų transformacijų metodo esmė polygaє duotoje matricoje, kurios rangą turime žinoti, į trapeciją (atvirame šlaite į viršutinę trikutnają) elementariųjų transformacijų pagalba.

Kodėl broli? Tokio tipo matricų rangą lengva sužinoti. Vіn dorivnyuє kіlkostі rowkіv, scho vengeance b vienas nenulinis elementas. Kadangi elementariųjų transformacijų valandos matricos rangas nesikeičia, tada reikšmė bus išvesties matricos rangas.

Sukurkime matricų iliustracijas, kurių viena gali atsirasti po transformacijos. Jūsų žvilgsnis guli matricos tvarka.

Šios iliustracijos yra šablonai, kurie bus naudojami matricai A perdaryti.

Apibūdinti algoritmo metodas.

Turime žinoti nulinės matricos A rangą pagal eilę (p gali būti didesnis nei n).

Tėvas,. Visus pirmosios matricos A eilutės elementus padauginame iš . Tam paimame lygiavertę matricą, reikšmingai її A (1):

Prieš paimtos matricos A (1) kitos eilutės elementus pridedame kitus pirmosios eilutės elementus, padaugintus iš . Prieš trečios eilutės elementus pridėkite tuos pačius pirmosios eilutės elementus, padaugintus iš . І iki šiol iki p-osios eilės. Mes paimame lygiavertę matricą, reikšmingai її A (2):

Jei visi pašalintos matricos elementai, esantys p-y eilutėse su kita, yra lygūs nuliui, tada matricos rangas yra didesnis nei vienas, o kitos matricos rangas yra didesnis nei vienas.

Jei norime, kad vienas elementas, kuris skiriasi nuo nulio, būtų kito p-osios eilėse, galime tęsti pertvarkymą. Be to, diemo yra visiškai panašus, bet tik iš matricos A dalies, priskirtos mažyliui (2)

Taigi matricos A (2) eilutes ir (ar) stulpelius pertvarkome taip, kad „naujas“ elementas taptų ne nulis.

Paskyrimas. Matricos rangas vadinamas maksimalus tiesiškai nepriklausomų eilučių skaičius, kurios yra žiūrimos kaip vektoriai.

1 teorema apie matricos rangą. Matricos rangas vadinama didžiausia matricos mažojo nulio tvarka.

Nepilnamečio supratimas jau buvo sutvarkytas pamokoje aukšto rango mokiniams, o tuo pačiu buvo atimta ir joga. Paimkite į matricą eilučių ir stulpelių skaičius, be to, "įgūdžių" skaičius gali būti mažesnis nei matricos eilučių ir stulpelių skaičius, o "įgūdžių" eilučių ir stulpelių skaičius gali būti tas pats numeris. Tada ant skersinių eilučių eilutės ir stulpelių eilutės atsiranda mažesnės eilės matrica, mūsų yra išorinė matrica. Matricos i žymeklis bus k-osios eilės minorinis, todėl eilučių ir stulpelių skaičius nustatomas reikšmingai per k.

Paskyrimas. Nedidelis ( r+1) eilės, kurios viduryje guli obrat minor rįsakymas, yra vadinamas oblyamovuyuchim šiam nepilnamečiui.

Dažniausiai yra du būdai peržiūrėti matricos rangą. Tse ribojasi su nepilnamečiaisі elementariųjų transformacijų metodas(Gaus metodas).

Naudojant oblyamіvnyh nepilnamečių metodą, teorema yra pergalinga.

2 teorema apie matricos rangą. Kaip prie matricos elementų pridėti minorą r eilės tvarka, nelygi nuliui, tada matricos rangas yra didesnis r.

Taikant elementariųjų transformacijų metodą, gaunama tokia galia:

Kaip ir elementariųjų transformacijų kelias, buvo pašalinta į trapeciją panaši matrica, lygiavertė išorinei, tada matricos rangasє eilučių skaičius nіy krіm eilutėse, kurios vis dažniau sumuojamos nuo nulių.

Matricos rango žinojimas taip, kad įrėmintų nepilnamečius

Oblyamovuyuchy nepilnametis vadinamas aukštesnio laipsnio nepilnamečiu pagal ankstesnę datą, todėl šis aukštesnio laipsnio nepilnametis turi atkeršyti už nepilnametį įvykyje.

Pavyzdžiui, atsižvelgiant į matricą

Vіzmemo minor

pridėti šiuos nepilnamečius:

Algoritmas ieškant matricos rango agresyvus.

1. Žinoma, kad jis nėra lygus nuliui mažąja tvarka. Jei visi skirtingos eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, tada matricos rangas yra lygus vienetui ( r =1 ).

2. Jeigu norime vieno kitokios eilės minorinio, nelygo nuliui, tai pridedame trečios eilės mineralinius minorus. Jei visi trečiosios eilės mažieji nariai yra lygūs nuliui, tada matricos rangas yra lygus dviem ( r =2 ).

3. Jei norite, kad vienas iš oblyamovlivyh nepilnamečių trečiosios eilės nėra lygus nuliui, tada pridedame nepilnamečius, kurie oblyamovuyut. Jei visi ketvirtos eilės nepilnamečiai oblyam_vn_ yra lygūs nuliui, tada matricos rangas yra trys ( r =2 ).

4. Tęskite taip tol, kol leisite matricai plėstis.

1 pavyzdys. Raskite matricos rangą

.

Sprendimas. Kitos eilės nepilnametis .

Oblyamovuemo joga. Nepilnamečiai bus chotiri:

,

,

Tokiu būdu trečiosios eilės nepilnamečių kadravimas yra lygus nuliui, o šios matricos rangas yra lygus dviem ( r =2 ).

užpakalis 2. Raskite matricos rangą

Sprendimas. Šios matricos rangas yra didesnis nei 1, taigi, kaip ir visi skirtingos eilės minorai, matricos skaičiai yra labiau panašūs į nulį, kuris yra tarp matricos elementų, є nėra lygus nuliui.

3 pavyzdys. Raskite matricos rangą

Sprendimas. Skirtingos matricos skaičiaus eilės minoras, visi matricos skaičiaus trečios eilės minorai lygūs nuliui. Otzhe, qiєї matricos rangas yra toks pat kaip du.

4 pavyzdys. Raskite matricos rangą

Sprendimas. qiєї matricos rangas yra labiau pažengęs 3, nes trečiosios matricos eilės vienas minoras yra aukštesnis 3.

Matricos rango nustatymas naudojant elementariąsias transformacijas (Gaus metodas)

Jau ant 1 užpakalio matyti, kad priskirtas matricos rangas įrėmintas taip, kad būtų įrėminti nepilnamečiai, o ne skaičiuoti puikus skaičius vyznachnikov. Tačiau yra būdas, leidžiantis apmokestinti sumą iki minimumo. Šis pagrindų ant elementariausių matricų transformacijų metodas dar vadinamas Gauso metodu.

Pagal elementariąsias matricos transformacijas suprantamos šios operacijos:

1) bet kurios eilutės ar bet kurios matricos krūvos padauginimas iš skaičiaus, kuris atrodo kaip nulis;

2) pridėjimas prie eilutės elementų arba kitos eilutės tų pačių elementų matricos, padaugintos iš to paties skaičiaus;

3) dviejų skaičių eilučių pakeitimas matricoje;

4) „nulinių“ eilučių vizualizavimas, kad visi tokių eilučių elementai būtų lygūs nuliui;

5) visų proporcingų eilučių pašalinimas, viena raudona.

Teorema. Atlikus elementarią transformaciją, pasikeičia matricos rangas. Kitaip tariant, kaip su elementariomis transformacijomis matricos pavidalu A perkelta į matricą B, tada.

Be-yaka matrica Aįsakymas m×n matai kaip sukupnіst m vektorius_eilėje_abo n vektorius_v stopts_v.

rangas matricos Aįsakymas m×n vadinamas maksimalus tiesiškai nepriklausomų vektorių skaičius stulpeliuose arba vektorių eilutėse.

Koks yra matricos rangas A dorivnyuє r, Tada parašyta:

Matricos reitingas

Nagi A pakankamai matricos tvarka m× n. Žinoti matricos rangą A zastosuєmo į savo būdą išjungti Gausą.

Svarbu tai, kad bet kuriame išjungimo etape laidus elementas atrodo lygus nuliui, tada jis yra mažas toje pačioje eilutėje po eilutės, kurioje laidus elementas yra lygus nuliui. Jei atrodo, kad tokios eilės nėra, pereiname prie įžeidžiančio žingsnio.

Išjungus Gauso judėjimą į priekį, nuimama matrica, kurios elementai po galvos įstriža yra lygūs nuliui. Žinoma, gali atsirasti nulinių eilučių vektorių.

Nulinių vektorių skaičius iš eilės ir bus matricos rangas A.

Pažvelkime į paprastus užpakalius.

1 pavyzdys.

Pirmą eilutę padauginus iš 4 ir pridėjus prie kitos, pirmąją eilutę padauginus iš 2 ir pridėjus prie trečios eilės, galbūt:

Kitą eilutę padauginkite iš -1 ir į trečią eilutę pridėkite:

Mes atėmėme dvi ne nulines eilutes i, taigi matricos rangas yra 2.

užpakalis 2.

Mes žinome puolančios matricos rangą:

Padauginkite pirmąją eilutę iš -2 ir dodamo į kitą eilutę. Panašiai pirmojo stulpelio trečios ir ketvirtos eilučių elementai buvo atstatyti į nulį:

Kitos eilutės trečios ir ketvirtos eilučių elementų nulinimas, antras eilutes įtraukiant į kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus -1.

Pažvelkime į matricą A. Pažvelkime į pasaulį.

A =
Kitoje stovptsiv eilėje matome (
).

26 susitikimas:Nepilnametis Matricos A k-oji eilė vadinama kvadratinės matricos reiškėju, kuri išeina iš jos vizijos.

eilutes ir stovptsiv.

27 susitikimas:rangas matricos vadinamos didžiausiomis iš eilių, nulio, її minorų, r(A) pavidalu.

28 susitikimas: Mažoji, kurios eilės tvarka vadinama pagrindinė nepilnametė.

Patvirtinimas:

1. Reitingas išreiškiamas sveikuoju skaičiumi.
)

2.r=0,
kai A yra nulis.

Elementarioji matricų transformacija.

Prieš elementarios transformacijos matricos atrodo taip:

1) padauginus visus bet kurios matricos eilutės (stovptsya) elementus iš to paties skaičiaus.

2) prie bet kurios matricos eilutės (stowptsya) elementų pridedami tie patys kitos eilutės elementai (stowptsya), padauginti iš to paties skaičiaus;

3) matricos eilučių (stovptsіv) permutacija;

4) vіdkidannya nulinė eilutė (stovptsya);

5) matricos eilučių pakeitimas dvigubais stulpeliais.

29 susitikimas: Matricos, kurios atsiranda viena iš kitų, elementariųjų transformacijų atveju vadinamos ekvivalentinėmis matricomis, žymimos „~“

Pagrindinė lygiaverčių matricų galia: Ekvivalentinių matricų rangai yra lygūs.

18 pavyzdys: Išvardinti (A),

Sprendimas: Pirmoji eilutė padauginama iš (-4) (-2)

(-7), tada pridėsime jį į kitą, trečią ir ketvirtą eilutes.

~

prisiminti kitas ir ketvirtines eilutes
kitą eilutę padauginkite iš (-2) ir dodamo iki ketvirtos eilės; saugome dar vieną ir trečią eilę.

trečios ir ketvirtos eilių sandėliavimas.

~
vіdkinemo nulinė eilutė

~
r(A)=3
išvesties matricos rangas

sveiki trys.

30 susitikimas: Pavadinkime matricą A žingsnio dažniu, nes visi galvos elementai yra įstrižai 0, o elementai po galvos įstriža yra lygūs nuliui.

pasiūlymas:

1) žingsnio dažnio matricos rangas yra lygus її eilučių skaičiui;

2) ar matricą galima redukuoti į laiptuotą formą papildomoms elementarioms transformacijoms.

19 pavyzdys: Bet kurioms  matricos reikšmėms
maє rangas, scho dorivnyuє odinі?

Sprendimas: Rangas yra lygesnis vienetui, o tai reiškia, kad skirtingos eilės rangas yra lygesnis nuliui, tai yra.

§6. Sistemos linijinės rivnyan zagalnogo vyglyadu.

proto sistema
---(9) vadinamas šmeižikiško proto sistema.

31 susitikimas: Dvi sistemos vadinamos vienodai stipriomis (ekvivalentiškomis), nes pirmosios sistemos odos tirpalas yra kitas ir tas pats.

Sistema (1) turi matricą A =
vadiname pagrindine sistemos matrica, ir =
išplėstinė sistemos matrica

Teorema. Kronecker koplyčia

Kad sistema (9) būtų užbaigta, būtina ir pakanka, kad pagrindinės sistemos matricos rangas pasiektų išplėstinės matricos rangą, taigi r(A)=r( )

1 teorema. Kadangi sistemos matricos rangas yra lygus nežinomųjų skaičiui, sistema turi tik vieną sprendinį.

2 teorema. Jei sistemos matricos rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių, tai sistema gali būti beasmenis sprendimas.

Linijinių linijų sistemos rozv'yazannya dovіlnoї taisyklė:

1) žinoti sistemos pagrindinių ir išplėstinių matricų eiles. Jakšo
, tada sistema nėra darni.

2) Jakšo
=r, tada sistema yra dviguba. Žinokite kokią nors pagrindinę smulkiąją tvarką. Pagrindas vadinamas nepilnamečiu, kurio pagrindu buvo nurodytas matricos rangas.

Nežinomi, kurių koeficientai yra įtraukti į pagrindinį minorą, vadinami galva (baziniu) ir be levorucho, kitaip jie nėra vadinami laisvaisiais ir perkelia dešiniąją lygybės dalį.

3) Per valias sužinoti galvos nežinomųjų reikšmę. Otrimano zagalne sistemos sprendimas.

20 pavyzdys: Sekti sistemą ir žinoti daugiau ar mažiau vienintelį sprendimą

Sprendimas: 1) T. Kronecker-Capelli mes žinome išplėstinės ir pagrindinės sistemos matricos gretas:

~
~

~
~
pagrindinės matricos rangas

2) žinomas išplėstinės matricos rangas
~
~
~

3) Visnovok:
=2, tada sistema yra koherentinė.

ale

sistema nematoma ir gali būti beasmenis sprendimas.

4) Pagrindinis nežinomas і , Bo smirdi gulėti su pagrindine nepilnamete, ir – Vilniaus nėra namuose.

Nagi \u003d s, de s – ar tai būtų skaičius.

5) Likusios matricos palaikymo sistema

6) Pasiūlymas:

7) Peržiūrėjimas: ar jis lygus vihіdnoї sistemai, de є vsі nevіdomі, pіdstavlyаєmo znaydenі reikšmė.