Ādas matricā var saistīt divas pakāpes: rindas rangs (rindu sistēmas rangs) un stāvpcevy rangs (rindu sistēmas rangs).
Teorēma
Matricas kārtas rangs ir vienāds ar kolonnas rangu.
Matricas rangs
Pieraksts
Matricas rangs$A$ ir skaitļu rindu sistēmas rangs.
$\operatora nosaukums(zvans) A$
Matricas ranga patiesā nozīme ir šāda: matricas rangs ir vienāds ar nulles rindu skaitu pēc matricas samazināšanas līdz pakāpeniskajai formai.
Elementāras transformācijas pa matricas rindām (stovptsy) nemaina rangu.
Pakāpju biežuma matricas rangs ir visizplatītākais rindu skaits, kas nav nulle.
Muca
Pārvaldnieks. Atrodiet matricas rangu $ A=\left(\begin(masīvs)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(masīvs)\labais) $
Risinājums. Pēc elementāru pārveidojumu palīdzības pa її rindām matrica $A$ tiek pacelta līdz pakāpju skatam. Trešās rindas pirmajai rindai mēs ņemsim divas citas:
$$ A \sim \left(\begin(masīvs)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(masīvs)\labais) $$
Citas rindas skats ir redzama ceturtdaļas rinda, kas reizināta ar 4; trešajā - divi ceturkšņi:
$$ A \sim \left(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(masīvs)\labais) $$
Uz nākamo rindu dodamo vispirms piecas, uz trešo - trīs trešdaļas:
$$ A \sim \left(\begin(masīvs)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(masīvs)\labais) $$
Minyayemo pirmā un pārējās rindas:
$$ A \sim \left(\begin(masīvs)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(masīvs)\labais) $$
$$ A \sim \left(\begin(masīvs)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\beigas(masīvs)\labais) \Labā bultiņa \operatora nosaukums(rangs) A=2 $$
Vidpovid.$ \operatora nosaukums(zvans) A = 2 $
Neliela apsūdzības metode
Vēl viena matricas ranga noteikšanas metode ir balstīta uz šo teorēmu. metode oblyamuvannya minoriv. Šīs metodes būtība ir balstīta uz ievērojamiem nepilngadīgajiem, sākot no zemākajiem un sabrūkot līdz augstākajiem. Ja $n$-tās kārtas mazais nav vienāds ar nulli, bet visi $n+1$-tās kārtas mazie ir vienādi ar nulli, tad matricas rangs ir vienāds ar $n$ .
Muca
Pārvaldnieks. Atrodiet matricas rangu $ A=\left(\begin(masīvs)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(masīvs)\labais) $
Risinājums. Minimālās kārtas nepilngadīgie ir pirmās kārtas nepilngadīgie, kas papildina matricas $A$ elementus. Apskatīsim, piemēram, minor $M_(1)=1\neq0$. izkliedēšana pirmajā rindā un pirmajā rindā. Oblyamovuєmo yogo par palīdzību vēl vienu rindu un citu stovptsya, otrimuemo minor $ M_(2)^(1)=\left| \begin(masīvs)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(masīvs)\right|=0 $ ; tiek aplūkots viens citas kārtas minors, kuram aiz citas šīs trešās kolonnas rindas palīdzības tiek ierāmēts minors $M_1$, tad mazais $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(masīvs)\right|=5 \neq 0 $, tāpēc matricas rangs ir vismaz divas. Apskatīsim trešās kārtas minoru, piemēram, oblyamouyut minor $ M_(2)^(2) $ . Ir divi šādi nepilngadīgie: trešās rindas kombinācija ar citu kolonnu vai ar ceturto kolonnu. Aprēķināt cji minori.
Be-yaka matrica A pasūtījums m × n var redzēt kā sukupnіst m vektors_rindā_abo n vector_v stopts_v.
rangs matricas A pasūtījums m × n tiek izsaukts maksimālais lineāri neatkarīgo vektoru skaits kolonnās vai vektoru rindās.
Kāds ir matricas rangs A dorivnyuє r, Tad ir rakstīts:
Matricas reitings
Aiziet A pietiekama matrica kārtībā m× n. Zināt matricas rangu A zastosuєmo viņai veids, kā izslēgt Gauss.
Zīmīgi, ka jebkurā iekļaušanas stadijā vadošais elements šķiet vienāds ar nulli, tad tas ir niecīgs tajā pašā rindā pēc rindas, kurā vadošais elements parādās kā nulle. Ja šķiet, ka šādas rindas nav, mēs pārejam uz aizskarošu soli.
Pēc Gausa kustības uz priekšu izslēgšanas tiek noņemta matrica, kuras elementi zem galvas diagonāles ir vienādi ar nulli. Protams, var parādīties nulles rindu vektori.
Nenulles vektoru skaits rindā un būs matricas rangs A.
Apskatīsim vienkāršus dibenus.
piemērs 1.
Reizinot pirmo rindu ar 4 un pievienojot citai rindai, reizinot pirmo rindu ar 2 un pievienojot trešajai rindai, iespējams:
Reiziniet otru rindu ar -1 un dodamo uz trešo rindu:
Mēs atņēmām divas rindas, kas nav nulles i, tāpēc matricas rangs ir 2.
dibens 2.
Mēs zinām uzbrukuma matricas rangu:
Reiziniet pirmo rindu ar -2 un dodamo uz citu rindu. Līdzīgi pirmās kolonnas trešās un ceturtās rindas elementi tika atiestatīti uz nulli:
Citas rindas trešās un ceturtās rindas elementu nullēšana, otrās rindas pievienošana citai rindai, kas reizināta ar skaitli -1.
Apskatīsim taisnstūra matricu. Ko tu redzi manā matricā k rowkіv ta k stovptsіv, tad elementi, kas stāv uz redzēto rindu peretīnas un stovptsiv, izveido k-tās kārtas kvadrātveida matricu. Šīs matricas apzīmētājs tiek saukts neliela k-tā kārtība matricas A. Ir skaidrs, ka matrica A var būt mazajā secībā no vіd 1 līdz mazākajiem h skaitļiem m un n. Vidū uSіh vіdmіnnih vіd nulles іnіrоіv matrica Un naydetsya, akceptējiet, vienu nepilngadīgo, kura secība būs vislielākā. Tiek izsaukta lielākā no dotās matricas nepilngadīgo kārtas nulles formā rangs matricas. Kā matricas A rangs ir vairāk r, tad tse nozīmē, ka matricā A є vіdminniy vіd nulle līdz mazajai secībai r, ale katrs mazākais pasūtījums, galvenais zemāks r, līdz nullei. Matricas rangs tiek norādīts ar r(A). Ir skaidrs, ka
Matricas ranga aprēķināšana papildu nepilngadīgajiem
Matricas rangu var atrast vai nu ar oblyamivka nepilngadīgo metodi, vai ar elementāru pārveidojumu metodi. Aprēķinot matricas rangu pirmajā veidā, nākamais solis ir pāriet no zemākās kārtas nepilngadīgajiem uz augstākās kārtas nepilngadīgajiem. Tā kā matricas A k-tās kārtas mazais D, kas ir vienāds ar nulli, jau ir atrasts, tad aprēķins ir lielāks nekā (k + 1)-kārtas minorais, kas apzīmē mazo D , tad. scho, lai atriebtos joga jaks minors. Ja visas smakas ir vienādas ar nulli, tad matricas rangs ir vienāds ar k.
piemērs 1.Atrodiet matricas rangu
.
Risinājums.Remontējam no nepilngadīgajiem 1. kārtas, tobto. no matricas A. Vibermo elementiem, piemēram, mazais (elements) M 1 \u003d 1, sašūšana pirmajā rindā un pirmajā kolonnā. Oblyamuyuchi par palīdzību vēl vienu rindu un trešo kolonnu, mēs ņemsim nepilngadīgo M 2 = vіdminny vіd nulle. Tagad pāriesim pie 3. kārtas nepilngadīgajiem, kuri oblyamovu M 2. Mazāk par diviem (varat pievienot vēl vienu soli vai ceturtdaļas). Mēs tos aprēķinām: 
=
0. Šajā secībā visi trešās kārtas kalnrači, kas ir oblyamovuyut, parādījās vienādi ar nulli. Matricas A rangs ir otrais.
Matricas ranga aprēķins elementāru pārveidojumu palīdzību
Elementāritiek sauktas šādas matricas transformācijas:
1) divu “be-jebkuru” rindu permutācija (vai stāvptsiv),
2) rindas (vai stabptsya) reizināšana uz vіdmіnne vіd nulles skaitļa,
3) saskaitot vienu rindu (vai stovptsya) no nākamās rindas (vai stovptsya), reizinot ar deka skaitli.
Abas matricas sauc ekvivalents it kā viens no viņiem izgāja palīgā elementāru pārvērtību galīgajai daudzveidībai.
Ekvivalentas matricas є, vzagalі šķietami, vienādas, šīs kārtas ir vienādas. Kā matricas A un līdzvērtīgas tās raksta šādi: A~b.
Kanonisksmatricu sauc par matricu, kurā uz galvas diagonāles vālītes jābūt tik daudz kā vienai (to skaits var būt vienāds ar nulli), un visi pārējie elementi ir vienādi, piemēram, ar nulli. ,
.
Elementāru rindu un kolonnu pārveidojumu palīdzību matricu var audzināt līdz kanoniskajai. Kanoniskās matricas rangs ir lielāks nekā to skaits uz її galvas diagonāles.
dibens 2Atrodiet matricas rangu
kas piešķir її kanoniskajam izskatam.
Risinājums. No otras rindas mēs varam redzēt pirmo un pārkārtot rindas:
.
Tagad no otras un trešās rindas mēs varam redzēt pirmo, reizinot to ar 2 un 5:
;
no trešās rindas var redzēt pirmo; ņem matricu
tā kā tā ir ekvivalenta matricai A, tad no tās tiek ņemti fragmenti elementāro pārveidojumu gala reizinātāja palīdzībai. Acīmredzot matricas rangs ir vienāds ar 2, un arī i r(A)=2. Matricu var viegli reducēt uz kanonisku. Mēs redzam pirmo rindu, reizinājumus ar otrās rindas numuriem, no secīgajiem, visi pirmās rindas elementi, pirmās rindas krimtums, ir lopiski uz nulli, turklāt pārējo rindu elementi nemainās. Apskatīsim, redzot otru pusi, reizināšanu ar parastajiem skaitļiem, no iepriekšējiem, mēs varam novest līdz nullei visus otras rindas elementus, izņemot otru, un mēs ņemam kanonisko matricu:
.
Pieraksts. Matricas rangs tiek izsaukts maksimālais lineāri neatkarīgo rindu skaits, kuras tiek aplūkotas kā vektori.
1. teorēma par matricas rangu. Matricas rangs tiek izsaukta matricas minorās nulles maksimālā secība.
Nepilngadīgo izpratne jau tika sakārtota nodarbībā augsta ranga skolēniem, un tajā pašā laikā joga tika atņemta. Ņemiet matricā rindu un kolonnu skaitu, turklāt "prasmju" skaits var būt mazāks par matricas rindu un kolonnu skaitu, bet "prasmju" rindām un kolonnām var būt tas pats numurs. Tad uz šķērsstieņiem rindu rindas un kolonnu rindas parādās mazākas kārtas matrica, mūsu ir ārējā matrica. Matricas i apzīmētājs būs k-tās kārtas minors, tāpēc rindu un kolonnu skaits tiek noteikts būtiski caur k.
Pieraksts. Neliels ( r+1) kārtas, kuras vidū atrodas obrat minor r th rīkojumu, sauc oblyamovuyuchim par šo nepilngadīgo.
Visbiežāk ir divi veidi apskatīt matricas rangu. Tse veids, kā robežojas ar nepilngadīgajiemі elementāru pārveidojumu metode(Gausa metode).
Ar metodi oblyamіvnyh nepilngadīgajiem, teorēma ir uzvaroša.
2. teorēma par matricas rangu. Kā matricas elementiem var pievienot minoru r kārtu, kas nav vienāda ar nulli, tad matricas rangs ir lielāks r.
Ar elementāro pārveidojumu metodi iegūst šādu jaudu:
Tāpat kā elementāru transformāciju ceļš, tika noņemta trapecveida matrica, kas ir ekvivalenta ārējai, tad matricas rangsє rindu skaits nіy krіm rindās, kuras arvien vairāk tiek summētas no nullēm.
Matricas ranga zināšana tādā veidā, lai ierāmētu nepilngadīgos
Obljamovuyuchy nepilngadīgais tiek saukts par augstākas pakāpes nepilngadīgo saskaņā ar datumu pirms šī datuma, lai šī augstākās pakāpes nepilngadīgā būtu jāatriebj savam nepilngadīgajam.
Piemēram, ņemot vērā matricu
Vіzmemo minor
pievienot šādus nepilngadīgos:
Algoritms matricas ranga noteikšanai aizskaroši.
1. Ir zināms, ka tas nav vienāds ar nulli nelielā secībā. Ja visi dažādas kārtas nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, tad matricas rangs ir vienāds ar vienu ( r =1 ).
2. Ja mēs vēlamies vienu citas kārtas minoru, kas nav vienāds ar nulli, tad pievienojam trešās kārtas minerālus. Ja visi trešās kārtas mazie vārdi ir vienādi ar nulli, tad matricas rangs ir vienāds ar diviem ( r =2 ).
3. Ja vēlaties vienu no oblyamovlivyh nepilngadīgajiem trešās kārtas nav vienāds ar nulli, tad mēs pievienojam nepilngadīgajiem, kas oblyamovuyut. Ja visi ceturtās kārtas oblyam_vn_ nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, tad matricas rangs ir trīs ( r =2 ).
4. Tādā veidā rīkojieties tik ilgi, kamēr atļaujat matricas izplešanos.
piemērs 1. Atrodiet matricas rangu
.
Risinājums. Citas kārtas nepilngadīgais 
.
Oblyamovuemo joga. Nepilngadīgie būs chotiri:
,
,
Tādā veidā trešās kārtas nepilngadīgo kadrējums ir vienāds ar nulli, un šīs matricas rangs ir vienāds ar diviem ( r =2 ).
dibens 2. Atrodiet matricas rangu
Risinājums. Šīs matricas rangs ir lielāks par 1, tāpēc, tā kā visi atšķirīgās kārtas nepilngadīgie, matricas skaitļi ir vairāk kā nulle, kas ir starp matricas elementiem, є nav vienāds ar nulli.
3. piemērs. Atrodiet matricas rangu
Risinājums. Citas matricas skaitļa kārtas minors, visi matricas skaitļa trešās kārtas minori ir vienādi ar nulli. Otzhe, qiєї matricas rangs ir tāds pats kā divi.
4. piemērs. Atrodiet matricas rangu
Risinājums. Qiєї matricas pakāpe ir augstāka par 3, jo matricas trešās kārtas viena minora ir augstāka par 3.
Matricas ranga atrašana, izmantojot elementārās transformācijas (Gausa metode)
Jau uz 1. dibena var redzēt, ka piešķirtā matricas pakāpe ir ierāmēta tā, lai skaitītu nevis nepilngadīgos. lielisks skaitlis vyznačņikovs. Tomēr ir veids, kas ļauj iekasēt summu līdz minimumam. Šo pamatu metodi uz viselementārākajām matricu transformācijām sauc arī par Gausa metodi.
Pid elementāras pārvērtības matricas ietver šādas darbības:
1) jebkuras rindas vai jebkuras matricas kaudzes reizināšana ar skaitli, kas izskatās kā nulle;
2) rindas elementu saskaitīšana vai nākamās rindas to pašu elementu matrica, kas reizināta ar to pašu skaitli;
3) divu skaitļu rindu maiņa matricā;
4) "nulles" rindu vizualizācija, lai visi šo rindu elementi būtu vienādi ar nulli;
5) visu proporcionālo rindu noņemšana, viena sārtināta.
Teorēma. Ar elementāru transformāciju matricas rangs mainās. Citiem vārdiem sakot, tāpat kā ar elementārām transformācijām matricas formā A pārcēlās uz matricu B, tad.
Entuziasms...
