मैट्रिक्स की रैंक जानें: इसे कैसे लागू करें। मैट्रिक्स के रैंक को सौंपा गया

त्वचा मैट्रिक्स में, दो रैंकों को जोड़ा जा सकता है: पंक्ति रैंक (पंक्तियों की प्रणाली का रैंक) और स्टोवपसेवी रैंक (पंक्तियों की प्रणाली का रैंक)।

प्रमेय

मैट्रिक्स की क्रमिक रैंक कॉलम रैंक के बराबर है।

मैट्रिक्स रैंक

नियुक्ति

मैट्रिक्स रैंक$A$ संख्याओं की पंक्तियों की प्रणाली का रैंक है।

$\ऑपरेटरनाम (रंग) ए $

मैट्रिक्स के रैंक का सही महत्व निम्नलिखित है: मैट्रिक्स की रैंक एक चरणबद्ध रूप में मैट्रिक्स की कमी के बाद गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या के बराबर है।

मैट्रिक्स की पंक्तियों (स्टोवप्ट्सी) पर प्राथमिक परिवर्तन रैंक को नहीं बदलते हैं।

चरण-अक्सर मैट्रिक्स की रैंक गैर-शून्य पंक्तियों की सबसे लगातार संख्या है।

बट

प्रबंधक।मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात कीजिए $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) &(10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \ \ (10) और (18) और (40) और (17) \\ (1) और (7) और (17) और (3)\end(सरणी)\दाएं) $

समाधान।पंक्तियों में प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता के बाद, मैट्रिक्स $A$ को एक चरणबद्ध दृश्य में लाया जाता है। तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति के लिए, हम दो अन्य लेंगे:

$$ ए \ सिम \ लेफ्ट (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) (0) और (4) और (10) और (1) \\ (4) और (8) और (18) और (7) \\ (2) और (2) और (4) और (3) \\ (1) और (7) और (17) और (3)\end(सरणी)\दाएं) $$

दूसरी पंक्ति का दृश्य चौथाई पंक्ति दिखाई देता है, जिसे 4 से गुणा किया जाता है; तीसरी - दो तिमाहियों में:

$$ ए \ सिम \ लेफ्ट (\ शुरू (सरणी) (आरआरआरआर) (0) और (4) और (10) और (1) \\ (0) और (-20) और (-50) और (-5 ) \\ (0) और (-12) और (-30) और (-3) \\ (1) और (7) और (17) और (3)\end(सरणी)\दाएं) $$

अगली पंक्ति में डोडामो पाँच पहले, तीसरे से - तीन तिहाई:

$$ ए \ सिम \ लेफ्ट (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) (0) और (4) और (10) और (1) \\ (0) और (0) और (0) और (0) \\ (0) और (0) और (0) और (0) \\ (1) और (7) और (17) और (3)\end(सरणी)\दाएं) $$

Minyayemo पहली और अन्य पंक्तियाँ:

$$ ए \ सिम \ लेफ्ट (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) (0) और (0) और (0) और (0) \\ (0) और (4) और (10) और (1) \\ (0) और (0) और (0) और (0) \\ (1) और (7) और (17) और (3)\end(सरणी)\दाएं) $$

$$ ए \ सिम \ लेफ्ट (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) (1) और (7) और (17) और (3) \\ (0) और (4) और (10) और (1) \\ (0) और (0) और (0) और (0) \\ (0) और (0) और (0) और (0)\end(सरणी)\दाएं) \Rightarrow \operatorname(rang) A=2 $$

विदपोविद।$ \ ऑपरेटरनाम (रंग) ए = 2 $

माइनर ऑब्लमेशन विधि

मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करने की एक अन्य विधि इस प्रमेय पर आधारित है। ओब्ल्यमुवन्न्या माइनोरिव की विधि. इस पद्धति का सार महत्वपूर्ण नाबालिगों पर आधारित है, जो निचले क्रम से शुरू होकर उच्चतम तक गिरते हैं। यदि $n$-वें क्रम का अवयस्क शून्य के बराबर नहीं है, लेकिन $n+1$-वें क्रम के सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक $n$ के बराबर है .

बट

प्रबंधक।मैट्रिक्स की रैंक खोजें $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) और (0) \\ (-1) और (-2) और (6) और (6)\end(सरणी)\दाएं) $

समाधान।न्यूनतम आदेश के अवयस्क पहले क्रम के अवयस्क हैं, जो मैट्रिक्स $A$ के तत्वों के पूरक हैं। आइए एक नज़र डालते हैं, उदाहरण के लिए, मामूली $M_(1)=1\neq0$। पहली पंक्ति और पहली पंक्ति में फैल रहा है। एक और पंक्ति की मदद के लिए Oblyamovuєmo yogo और एक और stovptsya, otrimuemo माइनर $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $; एक भिन्न क्रम का एक अवयस्क माना जाता है, जिसके लिए अवयस्क $M_1$ को उस तीसरे स्तंभ की दूसरी पंक्ति की सहायता से फंसाया जाता है, फिर लघु $M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , इसलिए मैट्रिक्स की रैंक पर है कम से कम दो। आइए तीसरे क्रम के नाबालिग को देखें, जैसे oblyamouyut नाबालिग $ M_(2)^(2) $ । ऐसे दो अवयस्क हैं: तीसरी पंक्ति का दूसरे स्तंभ के साथ संयोजन या चौथे स्तंभ के साथ। क्यूई मिनोरी की गणना करें।

बी-याका मैट्रिक्स एगण एम × एनआप देख सकते हैं कि कैसे सुकुपनेस्ट एमवेक्टर_इन ए रो_एबो एनवेक्टर_वी स्टॉपट्स_वी।

पदमैट्रिक्स एगण एम × एनस्तंभों में या पंक्तियों में सदिशों में रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों की अधिकतम संख्या कहलाती है।

मैट्रिक्स की रैंक क्या है एडोरिव्न्युє आर, तब लिखा है:

मैट्रिक्स रैंकिंग

चलो भी एक्रम में पर्याप्त मैट्रिक्स एम× एन. मैट्रिक्स की रैंक जानने के लिए एगॉस को बंद करने के लिए उसके रास्ते में zastosuєmo।

यह महत्वपूर्ण है कि समावेशन के किसी भी चरण में प्रवाहकीय तत्व शून्य के बराबर दिखाई देता है, तो यह पंक्ति के बाद उसी पंक्ति में माइनसक्यूल होता है, जिसमें प्रवाहकीय तत्व शून्य के रूप में दिखाई देता है। यदि ऐसा प्रतीत होता है कि ऐसी कोई पंक्ति नहीं है, तो हम एक आक्रामक कदम पर आगे बढ़ते हैं।

गॉस फॉरवर्ड मूव को बंद करने के बाद, मैट्रिक्स को हटा दिया जाता है, जिसके तत्व सिर के नीचे के विकर्ण के बराबर होते हैं। बेशक, शून्य पंक्ति वाले वैक्टर दिखाई दे सकते हैं।

एक पंक्ति में गैर-शून्य वैक्टर की संख्या और मैट्रिक्स की रैंक होगी ए.

आइए सरल बट्स को देखें।

उदाहरण 1।

पहली पंक्ति को 4 से गुणा करना और दूसरी पंक्ति में जोड़ना, पहली पंक्ति को 2 से गुणा करना और तीसरी पंक्ति में जोड़ना, हो सकता है:

दूसरी पंक्ति को -1 से और डोडामो को तीसरी पंक्ति से गुणा करें:

हमने दो गैर-शून्य पंक्तियों को घटाया है, इसलिए, मैट्रिक्स की रैंक 2 है।

बट 2.

हम आक्रामक मैट्रिक्स की रैंक जानते हैं:

पहली पंक्ति को -2 से और डोडामो को दूसरी पंक्ति से गुणा करें। इसी तरह, पहले कॉलम की तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों को शून्य पर रीसेट किया गया था:

दूसरी पंक्ति की तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों को शून्य करना, दूसरी पंक्तियों को संख्या -1 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ना।

आइए एक आयताकार मैट्रिक्स को देखें। आप मेरे मैट्रिक्स में क्या देखते हैं करौकेव ता क Stovptsіv, फिर जो तत्व देखे गए पंक्तियों और stovptsiv के peretina पर खड़े होते हैं, k-th क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स स्थापित करते हैं। इस मैट्रिक्स के संकेतक को कहा जाता है मामूली के-वें क्रममैट्रिक्स ए। यह स्पष्ट है कि मैट्रिक्स ए vіd 1 के मामूली क्रम में कम से कम h संख्या m और n तक हो सकता है। USіh vіdmіnnih vіd शून्य के बीच में मैट्रिक्स और naydetsya, स्वीकार करें, एक नाबालिग, जिसका क्रम सबसे बड़ा होगा। दिए गए मैट्रिक्स के अवयस्कों के शून्य के रूप में सबसे बड़े क्रम को कहा जाता है पदमैट्रिक्स मैट्रिक्स A की रैंक कैसे अधिक है आर, तो tse का अर्थ है कि मैट्रिक्स A vіdminniy vіd शून्य से मामूली क्रम में आर, एले हर मामूली आदेश, प्रमुख निचला आर, शून्य तक। मैट्रिक्स की रैंक को r(A) द्वारा दर्शाया जाता है। यह स्पष्ट है कि

अतिरिक्त नाबालिगों के लिए मैट्रिक्स के रैंक की गणना

मैट्रिक्स का रैंक या तो oblyamivka नाबालिगों की विधि द्वारा, या प्राथमिक परिवर्तनों की विधि द्वारा पाया जा सकता है। पहले तरीके से मैट्रिक्स के रैंक की गणना करते समय, अगला कदम निचले क्रम के नाबालिगों से उच्च क्रम के नाबालिगों की ओर बढ़ना है। चूँकि मैट्रिक्स A के k-वें क्रम का माइनर D, जो शून्य के बराबर है, पहले ही पाया जा चुका है, तो गणना (k + 1)-वें कोटि के माइनर से अधिक है, जो कि माइनर D को oblamovuyut करता है। , फिर। योग याक माइनर का बदला लेने के लिए स्को। यदि सभी बदबू शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक बराबर है क.

उदाहरण 1।मैट्रिक्स की रैंक पाएं

.

समाधान।हम पहले क्रम के नाबालिगों से मरम्मत करते हैं, टोबो। मैट्रिक्स ए। वाइबर्मो के तत्वों से, उदाहरण के लिए, मामूली (तत्व) एम 1 \u003d 1, पहली पंक्ति और पहले कॉलम पर सिलाई। दूसरी पंक्ति और तीसरे कॉलम की मदद के लिए Oblyamuyuchi, हम मामूली M 2 = vіdminny vіd शून्य लेंगे। आइए अब तीसरे क्रम के अवयस्कों की ओर बढ़ते हैं, जो कि एम 2 का पालन करते हैं। दो से कम (आप एक और चरण या तिमाहियों को जोड़ सकते हैं)। हम उनकी गणना करते हैं: = 0. इस क्रम में तीसरे क्रम के सभी खनिक, जो ओब्लीमोवुयुट हैं, शून्य के बराबर दिखाई दिए। मैट्रिक्स ए की रैंक दूसरी है।

प्रारंभिक परिवर्तनों की सहायता के लिए मैट्रिक्स के रैंक की गणना करना

प्राथमिकमैट्रिक्स के ऐसे परिवर्तन कहलाते हैं:

1) दो बी-एनी रो (या स्टोवप्ट्सिव) का क्रमपरिवर्तन,

2) एक पंक्ति (या एक स्टोवप्ट्स्या) का गुणन शून्य संख्या पर,

3) अगली पंक्ति (या स्टोवप्त्स्य) की एक पंक्ति (या स्टोवप्त्स्य) को जोड़कर, डीक संख्या से गुणा किया जाता है।

दो आव्यूह कहलाते हैं बराबरमानो उनमें से एक प्राथमिक परिवर्तनों की अंतिम बहुलता की मदद के लिए निकला हो।

समतुल्य मैट्रिसेस , vzagalі प्रतीत होता है, समान, वे रैंक समान हैं। मैट्रिक्स ए और समकक्ष के रूप में, वे इस प्रकार लिखे गए हैं: ए~बी.

कैनन काएक मैट्रिक्स को एक मैट्रिक्स कहा जाता है, जिसमें, सिर के विकर्ण के सिल पर, एक जितना होना चाहिए (उनकी संख्या शून्य के बराबर हो सकती है), और अन्य सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, उदाहरण के लिए ,

.

पंक्तियों और स्तंभों के प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता के लिए, मैट्रिक्स को विहित तक लाया जा सकता है। विहित मैट्रिक्स की रैंक її सिर के विकर्ण पर लोगों की संख्या से अधिक है।

बट 2मैट्रिक्स की रैंक पाएं

जो को विहित रूप में लाते हैं।

समाधान।दूसरी पंक्ति से, हम पहली पंक्ति देख सकते हैं और पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

.

अब, दूसरी और तीसरी पंक्ति से, हम पहली पंक्ति को 2 और 5 से गुणा करते हुए देख सकते हैं:

;

तीसरी पंक्ति से आप पहले वाले को देख सकते हैं; मैट्रिक्स ले लो

चूंकि यह मैट्रिक्स ए के बराबर है, प्राथमिक परिवर्तनों के अंतिम गुणक की मदद के लिए इसके टुकड़े लिए जाते हैं। जाहिर है, मैट्रिक्स की रैंक 2 के बराबर है, और साथ ही, i r(A)=2। मैट्रिक्स को आसानी से विहित में कम किया जा सकता है। हम देखते हैं कि पहली पंक्ति, दूसरी पंक्ति की संख्याओं से गुणा, क्रमिक लोगों से, पहली पंक्ति के सभी तत्व, पहली पंक्ति का क्रिम, पशु रूप से शून्य है, इसके अलावा, अन्य पंक्तियों के तत्व नहीं बदलते हैं। आइए देखें, दूसरे पक्ष को, सामान्य संख्याओं से गुणा करके, पिछले वाले से, हम दूसरी पंक्ति के सभी तत्वों को शून्य पर ला सकते हैं, दूसरे को छोड़कर, और हम विहित मैट्रिक्स लेते हैं:

.

नियुक्ति। मैट्रिक्स रैंकरैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या कहलाती है, जिन्हें सदिश के रूप में देखा जाता है।

एक मैट्रिक्स के रैंक के बारे में प्रमेय 1। मैट्रिक्स रैंकमैट्रिक्स माइनर जीरो के अधिकतम क्रम को कहा जाता है।

उच्च श्रेणी के छात्रों के लिए पाठ में नाबालिग की समझ को पहले ही सुलझा लिया गया था, और साथ ही, योग को छीन लिया गया था। मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या लें, इसके अलावा, "कौशल" की संख्या मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या से कम हो सकती है, और "कौशल" की पंक्तियों और स्तंभों के लिए हो सकता है एक जैसी संख्या। फिर, क्रॉसबार पर, पंक्तियों की पंक्तियाँ और स्तंभों की पंक्तियाँ एक छोटे क्रम का मैट्रिक्स दिखाई देती हैं, हमारा एक बाहरी मैट्रिक्स है। मैट्रिक्स का संकेतक मैं k-वें क्रम का एक नाबालिग होगा, ताकि पंक्तियों और स्तंभों की संख्या k के माध्यम से महत्वपूर्ण रूप से निर्धारित हो।

नियुक्ति।नाबालिग ( आर+1) वें क्रम का, जिसके मध्य में ओब्रेट माइनर है आरवें आदेश, इस नाबालिग के लिए oblyamovuyuchim कहा जाता है।

अक्सर दो तरीके होते हैं मैट्रिक्स की रैंक देखें. त्से नाबालिगों की सीमा का रास्ताі प्राथमिक परिवर्तन की विधि(गॉस विधि)।

oblyamіvnyh नाबालिगों की विधि के साथ, प्रमेय विजयी है।

एक मैट्रिक्स के रैंक के बारे में प्रमेय 2।आप मैट्रिक्स के तत्वों में नाबालिग कैसे जोड़ सकते हैं आरवां क्रम, शून्य के बराबर नहीं है, तो मैट्रिक्स की रैंक अधिक है आर.

प्राथमिक परिवर्तनों की विधि से, ऐसी शक्ति प्राप्त होती है:

प्राथमिक परिवर्तनों के पथ की तरह, एक ट्रेपेज़ियम जैसा मैट्रिक्स हटा दिया गया था, जो बाहरी के बराबर था, फिर मैट्रिक्स रैंक nіy krіm पंक्तियों में पंक्तियों की संख्या, जो शून्य से अधिक से अधिक जोड़ी जाती हैं।

नाबालिगों को फ्रेम करने के लिए मैट्रिक्स के रैंक को जानना

ओब्ल्यामोवुयुची नाबालिग को इससे पहले की तारीख के अनुसार उच्च क्रम का नाबालिग कहा जाता है, ताकि उच्च क्रम के इस नाबालिग का बदला अपने ही नाबालिग से लिया जा सके।

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स दिया गया

वज़्मेमो माइनर

निम्नलिखित नाबालिगों को जोड़ें:

मैट्रिक्स के रैंक को खोजने के लिए एल्गोरिदमआक्रामक।

1. इसे लघु क्रम में शून्य के बराबर नहीं होने के लिए जाना जाता है। यदि एक भिन्न क्रम के सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक एक के बराबर है ( आर =1 ).

2. यदि हम शून्य के बराबर नहीं, भिन्न क्रम का एक अवयस्क चाहते हैं, तो हम तीसरे क्रम के खनिज अवयस्क जोड़ते हैं। यदि सभी तीसरे क्रम के छोटे पद शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है ( आर =2 ).

3. यदि आप चाहते हैं कि तीसरे क्रम के नाबालिग नाबालिगों में से एक शून्य के बराबर न हो, तो हम नाबालिगों को जोड़ते हैं, जो oblyamovuyut। यदि चौथे क्रम के सभी oblyam_vn_ अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक तीन है ( आर =2 ).

4. इस तरह से आगे बढ़ें जब तक आप मैट्रिक्स के विस्तार की अनुमति देते हैं।

उदाहरण 1।मैट्रिक्स की रैंक पाएं

.

समाधान। एक अलग क्रम के नाबालिग .

योग। फ्रिंजिंग अवयस्क होंगे चोटिरी :

,

,

इस प्रकार, तीसरे क्रम के नाबालिगों का निर्धारण शून्य के बराबर होता है, और इस मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर होती है ( आर =2 ).

बट 2.मैट्रिक्स की रैंक पाएं

समाधान। इस मैट्रिक्स की रैंक 1 से अधिक है, इसलिए एक अलग क्रम के सभी नाबालिगों के रूप में, मैट्रिक्स की संख्या शून्य की तरह अधिक है जो मैट्रिक्स के तत्वों में से है, शून्य के बराबर नहीं है।

उदाहरण 3.मैट्रिक्स की रैंक पाएं

समाधान। आव्यूह संख्या के भिन्न क्रम का एक अवयस्क, आव्यूह संख्या के तीसरे क्रम के सभी अवयस्क शून्य के बराबर। ओत्ज़े, क्यूई मैट्रिक्स की रैंक दो के समान है।

उदाहरण 4.मैट्रिक्स की रैंक पाएं

समाधान। क्यूई मैट्रिक्स की रैंक अधिक उन्नत 3 है, क्योंकि मैट्रिक्स के तीसरे क्रम का एकल नाबालिग अधिक उन्नत 3 है।

प्रारंभिक परिवर्तनों (गॉस विधि) का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक ढूँढना

पहले से ही बट 1 पर यह देखा जा सकता है कि असाइन किए गए मैट्रिक्स रैंक को गिनती के बजाय नाबालिगों को फ्रेम करने के लिए तैयार किया गया है बड़ी संख्याव्यज़्नाचनिकोव। हालांकि, एक तरीका है जो आपको न्यूनतम राशि चार्ज करने की अनुमति देता है। मैट्रिक्स के सबसे प्रारंभिक परिवर्तनों पर नींव की इस पद्धति को गॉस विधि भी कहा जाता है।

पीआईडी प्राथमिक परिवर्तनमैट्रिक्स में निम्नलिखित ऑपरेशन शामिल हैं:

1) किसी भी पंक्ति या किसी मैट्रिक्स स्टैक को शून्य की तरह दिखने वाली संख्या से गुणा करना;

2) एक पंक्ति के तत्वों को जोड़ना, या अगली पंक्ति के समान तत्वों के मैट्रिक्स को उसी संख्या से गुणा करना;

3) मैट्रिक्स में संख्याओं की दो पंक्तियों का परिवर्तन;

4) "शून्य" पंक्तियों का दृश्य, जैसे कि ऐसी पंक्तियों के सभी तत्व शून्य के बराबर हों;

5) सभी आनुपातिक पंक्तियों को हटाना, एक क्रिमसन।

प्रमेय।प्रारंभिक परिवर्तन के साथ, मैट्रिक्स का रैंक बदल जाता है। दूसरे शब्दों में, मैट्रिक्स के रूप में प्राथमिक परिवर्तनों की तरह एमैट्रिक्स में ले जाया गया बी, फिर।