Numra pozitivë irracionalë. Cili është një numër irracional

Nga dozhina e vjetër e vetme, matematikanët e dinin tashmë: ata shihnin, për shembull, mospërputhjen e diagonales së asaj anë të katrorit, e cila është e barabartë me irracionalitetin e numrit.

E arsyeshme -:

Aplikoni prova të irracionalitetit

Korin z 2

Në mënyrë të papranueshme: racionale, kështu që duket se duket si një fraksion jo i shkurtër, de i - numri i numrave. Zvedomo perebachuvanu qetësi në shesh:

Zvіdsi klithmë, scho çiftëzohet, otzhe, çiftëzohet i. Hajde de cile. Todi

Babai, çifti, babai, çifti i. Ne hoqëm, si djem e vajza, se si të superchitojmë shkurtësinë e thyesës. Otzhe, ishte gabim të lëshoheshe, dhe - numër irracional.

2 logaritmi 3

E papranueshme në mënyrë të lejueshme: racionale, kështu që duket të jetë një thyesë, de i - numri i plotë. Tharkat mund të konsiderohen pozitive. Todi

Ale është çift, por pa çift. Ne marrim një fshirje.

e

Historia

Koncepti i numrave irracionalë u përvetësua në mënyrë implicite nga matematikanët indianë në shekullin e VII para Krishtit, nëse Manava (bl. 750 pes - bl. 690 p.e.s.) numra të tillë si 2 dhe 61 nuk mund të shprehen qartë.

Prova e parë e themelimit të numrave irracionalë i atribuohet Hipasusit të Metapontit (bl. 500 p.e.s.), pitagorianëve, të cilët e dinin këtë provë, duke tundur anët e dozhinit me pentagramë. Gjatë orëve të Pitagorianëve, ishte e rëndësishme që kishte vetëm një ditë të vetme, ishte e vogël dhe e padurueshme, si një numër i plotë për të hyrë në vіdrіzok be-yaky. Prote Hippas duke u bazuar, se nuk ka asnjë njësi të vetme të jetës, copat e lëshimit rreth її іsnuvannya për të sjellë në madhështi. Vіn duke treguar se hipotenuza e trikutnikut me prerje të drejtë me femur të barabartë mund të kompensojë numrin e brinjëve të vetme, numri i plotë mund të jetë i çiftëzuar dhe i paçiftuar në të njëjtën kohë. Prova duket si kjo:

• Zgjerimi i gjatësisë së hipotensionit deri në gjatësinë e këmbës së një trikoti me prerje të drejtë femorale mund të jetë më i theksuar. a:b, de aі b zgjidhni më pak të mundshme.
• Për teoremën e Pitagorës: a² = 2 b².
• pra jak a² djalë, a mund të çiftohet (katrori oskіlki i një numri të paçiftuar buv bi është i paçiftuar).
• Oskilki a:b jo shkurt, b mund të jetë i paçiftuar.
• pra jak a djalë, domethënës a = 2y.
• Todi a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², më vonë b² djalë, todi i b në çifte.
• Prote Bulo solli, sho b i paçiftuar. Pastrimi.

Matematikanët grekë emërtuan vlerën e sasive jo reciproke alogos(nevimovnim), prote zgіdno me legjenda nuk e pa barrën e Hippas. Ekziston një legjendë që Hippas zdіysniv vіdkrittya, perebuvayuchi në një udhëtim në det, dhe u kap nga pitagorianë të tjerë "për krijimin e elementit të gjithëdijshmërisë, i cili do të hedhë poshtë doktrinën, se të gjithë uraniumet e gjithëdijshmërisë mund të sillen. deri në ciklin e njëqind numrave.” Zbulimi i Hippas-it shtroi një problem serioz për matematikën e Pitagorës, duke shkatërruar supozimet që qëndronin në bazën e të gjitha teorive, se numrat dhe objektet gjeometrike janë të bashkuar dhe të pandashëm.

Div. gjithashtu

Shënime

Materiali tsієї statti є pochatkovu іnformієyu pro numrat irracionalë. Në anën e pasme të dorës sime, caktimi i numrave irracionalë dhe trëndafilave është joga e kuptueshme. Më pas, le të vendosim numra irracionalë. Nareshti, le të shohim dejakun, të shkojmë te za'yasuvannya, nëse numri i dhënë është një numër irracional.

Navigimi në anën.

Caktimi dhe zbatimi i numrave irracionalë

Gjatë përdredhjes së thyesave të dhjetësheve, shiheshin thyesat e pafundme jo periodike të dhjetësheve. Fraksione të tilla mbyllin syrin në të dhjetën e numrit të dozhinave në vіdrіzkіv, jopërmbledhëse me një vіdrіzk të vetëm. Gjithashtu theksuam se thyesat jo periodike të dhjetësheve jo të reduktuara nuk mund të përkthehen në thyesa primare (ne pyesim veten për përkthimin e thyesave primare nga dhjetëshja dhe mbrapa), pasi numrat nuk janë numra racionalë, ata përfaqësojnë renditje të tilla si numra irracionalë.

Kështu u ngjitëm përcaktimi i numrave irracionalë.

Emërimi.

Numrat, si në rekordin e dhjetë, janë thyesa dhjetore jo periodike të pashtershme, quhen numrat irracionalë.

Tingëllimi i takimit ju lejon të drejtoni zbatojnë numrat irracionalë. Për shembull, dribi dhjetor i pashtershëm jo periodik 4.10110011100011110000… (numri i njësheve dhe zeros rritet me një) është një numër irracional. Le të japim një shembull të një numri irracional: −22.353335333335…

Slid zaznachit, scho numrat іrracional dosit rіdko zustrіchayutsya vglyadі neskіnchennyh thyesat dhjetore jo periodike. Tingëllon erë e keqe në pamje, etj., si dhe në shikimin e shkronjave të futura posaçërisht. Shembujt më të zakonshëm të numrave irracionalë në një rekord të tillë janë rrënja katrore aritmetike e dy, numri “pi” π=3,141592…, numri e=2,718281… ai numër ari.

Numrat irracionalë mund të llogariten edhe përmes numrave racionalë, si numrat racionalë dhe irracionalë.

Emërimi.

Numrat irracionalë- numrat tse dіysnі, yakі є racional.

Cili është numri irracional?

Nëse numri është vendosur mbi thyesën dhjetore, dhe deyakogo, rrënjë, logaritmi hollë.

Pa dyshim, kur ushqimi ofrohet, është edhe më mirë të dihet, pasi shifrat nuk janë joracionale. Nga përcaktimi i numrave irracional rrjedhin se numrat irracionalë janë numra racionalë. Në këtë renditje, numrat irracional NUK є:

• kіntsі dhe neskіnchennі fraksione periodike dhjetëshe.

Ai gjithashtu nuk është një numër irracional, pavarësisht nëse është një përbërje numrash racionalë, të lidhur me shenjat e veprimeve aritmetike (+, −, ·, :). Tse tim, scho sum, retail, tvir dhe privatisht dy numra racional є numër racional. Për shembull, vlerat e virusit janë numra racionalë. Është menjëherë e respektueshme që nëse në raste të tilla ka një numër irracional midis numrave racionalë, atëherë vlera e tërësisë do të jetë një numër irracional. Për shembull, në Virase, numri është irracional, dhe numrat janë racionalë, dhe po ashtu edhe numri irracional. Yakby ishte një numër racional, pastaj racionaliteti i numrit u këput nga ai, por nuk ishte racional.

Si rregull, nëse jepet një numër, për të eliminuar një spërkatje të numrave irracionalë, shenjave rrënjësore, logaritmeve, funksioneve trigonometrike, numrave π, e, atëherë është e nevojshme të vërtetohet irracionaliteti ose racionaliteti i një numri të caktuar në një rast specifik të lëkurës. . Megjithatë, është i ulët tashmë duke marrë parasysh rezultatet, të cilat mund të përshpejtohen. Le të rendisim ato kryesore.

Është treguar se rrënja e hapit k nga një numër i plotë është një numër racional, nëse numri është rrënja e hapit k të një numri të plotë më të ulët, në raste të tjera një rrënjë e tillë jepet nga një numër irracional. . Për shembull, numrat i janë irracionalë, ai që nuk ka një numër të plotë, katrori i të cilit është më i shtrenjtë 7 dhe nuk ka një numër të plotë, numri i të cilëve është pesë hapa jep numrin 15. Dhe numrat і є іracionalë, oskіlki і.

Nëse dëshironi të përdorni logaritme, atëherë sillni ato në irracionalitet dhe përdorni metodën e paralelizmit. Për shembull, mund të themi se log 2 3 është një numër irracional.

Supozoni se log 2 3 është një numër racional, por chi nuk është irracional, kështu që mund të shihet si një thyesë m/n. dhe ju lejon të regjistroni fillimin e luhatjeve të barazive: . Xhelozia e mbetur është e pamundur, për atë në pjesën e majtë të yogos numër i paçiftuar, dhe pjesa e duhur - djali. Pra, e bëmë përsëri, më vonë, pranimi ynë doli të ishte i gabuar dhe u zbulua se log 2 3 është një numër irracional.

Me respekt, scho lna në rast të një numri pozitiv dhe vіdmіnnom vіd unitetit racional є irracional. Për shembull, i - numra irracionalë.

Është treguar gjithashtu se numri e a është irracional në rastin e një mendje racionale të zeros, dhe se numri π z është irracional në rastin e një kodi zero. Për shembull, numrat janë irracionalë.

Numrat irracionalë janë gjithashtu funksione trigonometrike sin, cos, tg dhe ctg për çdo vlerë zero racionale dhe arbitrare të argumentit. Për shembull, sin1 , tg(−4) , cos5,7 janë numra irracionalë.

Іsnuyut dhe іnshі sollën rezultate, në yakі mi do të përzihemi me tashmë të ringjallur. Është gjithashtu e nevojshme të thuhet se për vërtetimin e rezultateve të shprehura, më shumë rezultate janë teoria zastosovuetsya numrat algjebrikëі numrat transcendental.

Nasamkіnets është domethënëse, se nuk është një punë varto e zhvillimeve më të fundit me qëllim të irracionalitetit të numrave të dhënë. Për shembull, duket qartë se një numër irracional në një shkallë irracionale është një numër irracional. Vazhdoni kështu. Si konfirmim i faktit të shprehur, le të lëvizim hapat. Ne shohim se është një numër irracional, dhe është përmendur gjithashtu se është një numër irracional, një numër racional ale. Është gjithashtu e mundur të sillen shembuj të numrave irracionalë, shuma, shitje me pakicë, tvir dhe privatisht numra të tillë racionalë. Për më tepër, racionaliteti dhe irracionaliteti i numrave π+e , π−e , π·e , π π , π e dhe pasuri të tjera nuk janë nxjerrë në dritë.

Lista e letërsisë.

• Matematika. Klasa 6: Navch. për zagalnosvіt. grup/[N. Ya. Vilenkin dhe në.]. - Lloji i 22-të., Vipr. – M.: Mnemozina, 2008. – 288 f.: il. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algjebra: navç. për 8 qeliza. zahalnosvit. set/[Yu. N. Makariçev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; për të kuqe. S. A. Telyakovsky. - Lloji i 16-të. - M.: Prosvitnitstvo, 2008. - 271 f. : il. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (libër ndihme për studentët në shkollën teknike): Navch. ndihmës - M.; Visch. shkolla, 1984.-351 f., il.

Dhe erë e keqe e rrënjës së saj është marrë nga fjala latine "ratio", që do të thotë "arsye". Vykhodyachi nga përkthimi fjalë për fjalë:

• Numri racional - tse "numër i arsyeshëm".
• Një numër irracional, me sa duket, "numër irracional".

Kuptimi i thellë i numrit racional

Numri racional është numri që mund të shkruhet në këtë mënyrë:

1. Zvicheynogo fraksion pozitiv.
2. Pjesa negative zvichaynogo.
3. Numri duket si zero (0).

Me fjalë të tjera, deri në një numër racional pіdіyde kështu vyznachennya:

• Nëse një numër natyror є është racional në thelbin e tij, atëherë nëse një numër natyror mund të përfaqësohet duke u dukur si një thyesë.
• Nëse është një numër i plotë, duke përfshirë numrin zero, copëzat, nëse është një numër i plotë, mund të shkruhet si një thyesë mbinumërore pozitive, si një thyesë mbinumërore negative dhe si një zero.
• Pavarësisht nëse është një drіb i shkëlqyeshëm dhe nuk mund të ketë një vlerë pozitive, por negative, ajo gjithashtu mund të shkojë pa pengesa në një numër racional.
• Pra, para takimit, mund të shtoni dhe ndryshoni numrin, dribin e dhjetë të fundit ose dribin periodik të pashtershëm.

Aplikoni një numër racional

Le të hedhim një vështrim në numrat racionalë:

• Numrat natyrorë - "4", "202", "200".
• Shifrat e numrave - "-36", "0", "42".
• Ndjesë thyesa.

Nga lista e aplikacioneve më të aplikuara, është e qartë se numrat racional mund të jenë pozitiv dhe negativ. Natyrisht, numri 0 (zero), pasi ka vijën e tij si numër racional, në të njëjtën kohë nuk përfshihet në kategorinë e një numri pozitiv të një numri negativ.

Zvіdsi, unë do të doja të hamendësoja një program magjik ndriçimi me ndihmën e një përcaktimi fyes: "Numrat racional" quhen ata numra, të cilët mund të shkruhen si një thyesë x / y, de x (numëruesi) është një numër i plotë, dhe y (shenjë) është një numër natyror.

Kuptimi më i mirë i kuptimit të numrit irracional

Ajka e “numrave racional” është e njohur tek ne dhe titulli “numrat irracionalë”. Le të përpiqemi shkurtimisht t'u japim një takim këtyre numrave.

Matematikanë më të lashtë, pasi kishin llogaritur diagonalen e një katrori nga anët e tij, dinin për bazën e një numri irracional.
Takimi i Vykhodyachi për numrat racionalë, ju mund të nxisni një gjuhë logjike dhe data për caktimin e një numri irracional.
Otzhe, në të vërtetë, këta janë numrat aktualë, të cilët janë numra racional, elementar dhe irracional.
Thyesat dhjetore që përfaqësojnë numra irracionalë nuk janë periodikë dhe të pashtershëm.

Zbatoni një numër irracional

Le të hedhim një vështrim në një shembull të vogël të një numri irracional. Siç e kemi kuptuar tashmë, dhjetëra të panumërta thyesa jo periodike quhen iracionale, për shembull:

• Numri "-5.020020002 ... (shihet qartë se të dyja ndahen në një sekuencë prej një, dy, tre, etj. zero)
• Numri "7.040044000444 ... (këtu është e qartë se numri i katërsheve dhe numri i zerove do të rritet me një në mënyrë lancet).
• Të gjithë e dinë numrin Pi (31415 ...). Pra, kështu - është gjithashtu irracionale.

Vzagali të gjithë numrat aktualë janë racionalë dhe irracionalë. Duke folur me fjalë të thjeshta, një numër irracional nuk mund të shihet në një thyesë mbinumërore x / y.

Zagalny vysnovok atë p_vnyannya të shkurtër midis numrave

Ne shikuam numrin e lëkurës okremo, humbëm dallimin midis një numri racional dhe atij irracional:

1. Numri irracional mprehet kur fitohet rrënja katrore, kur kunja pjesëtohet me diametrin etj.
2. Një numër racional është një thyesë e madhe.

Le të vendosim statutin tonë të kіlkom me emërtime:

• Një veprim aritmetik, i zgjeruar mbi një numër racional, i kuq i nënpjestuar me 0 (zero), në rezultatin përfundimtar ai gjithashtu reduktohet në një numër racional.
• Rezultati përfundimtar, kur kryeni një veprim aritmetik mbi një numër irracional, mund të sillet si në një vlerë racionale ashtu edhe në një vlerë irracionale.
• Nëse marrim pjesë në veprimin aritmetik dhe ata dhe numrat e tjerë (qoftë nëse i kemi nënpjestuar apo shumëzuar me zero), atëherë rezultatin do ta shohim si një numër irracional.

Numrat e paarsyeshëm irracional kumbojnë të nënkuptohen nga shkronja e madhe latine I (\displaystyle \mathbb (I) ) në konturin e theksuar pa mbushje. Në këtë mënyrë: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), pastaj numrat jopersonalë irracionalë є ndryshimi i shumëfishimit të të folurit dhe numrave racionalë.

Rreth bazës së numrave irracionalë, më saktë, numrave të panumërt, të panumërt në një singularitet të vetëm, matematikanët tashmë të vjetër e dinin: dihej, për shembull, panumërueshmëria e diagonales së asaj anë të katrorit, e cila është e barabartë me irracionalitetin e Numri.

YouTube enciklopedik

• 1 / 5

  E arsyeshme -:

  Aplikoni prova të irracionalitetit

  Korin z 2

  Të mos pranojmë: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionale, kështu që duket të jetë një fraksion m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), de m (\displaystyle m)- numri i plotë dhe n (\displaystyle n)është një numër natyror.

  Zvedomo perebachuvanu qetësi në shesh:

  2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Djathtas 2=(\frac (m^(2 ) ))(n^(2)))\Shigjeta djathtas m^(2)=2n^(2)).

  Historia

  antikiteti

  Koncepti i numrave irracionalë u përvetësua në mënyrë implicite nga matematikanët indianë në shekullin e VII para Krishtit, nëse Manava (bl. 750 pes - bl. 690 p.e.s.) numra të tillë si 2 dhe 61 nuk mund të shprehen qartë [ ] .

  Prova e parë e themelimit të numrave irracionalë i atribuohet Hipasusit të Metapontusit (bl. 500 pes), Pitagorës. Për orët e pitagorianëve, ishte e rëndësishme që kishte vetëm një ditë të vetme, ishte e vogël dhe e padurueshme, pasi numri i plotë i herëve për të hyrë në çdo lloj vіdrіzok [ ] .

  Nuk ka të dhëna të sakta për to, irracionaliteti i një numri të tillë u konfirmua nga Hippasus. Zgіdno z legjendë, vіn znayshov yogo vvchayuchi dozhini anët me pentagramë. Prandaj, është e mençur të heqësh dorë, sa ishte kostoja e arit peretin [ ] .

  Matematikanët grekë emërtuan vlerën e sasive jo reciproke alogos(nevimovnim), prote zgіdno me legjenda nuk e pa barrën e Hippas. Ekziston një legjendë që Hippas zdіysniv vіdkrittya, perebuvayuchi në një udhëtim në det, dhe u kap nga pitagorianë të tjerë "për krijimin e elementit të gjithëdijshmërisë, i cili do të hedhë poshtë doktrinën, se të gjithë uraniumet e gjithëdijshmërisë mund të sillen. deri në ciklin e njëqind numrave.” Zbulimi i Hippas-it shtroi një problem serioz për matematikën e Pitagorës, duke shkatërruar supozimet që qëndronin në bazën e të gjitha teorive, se numrat dhe objektet gjeometrike janë të bashkuar dhe të pandashëm.

  Shumë nga të gjithë numrat natyrorë shënohen me shkronjën N. Numrat natyrorë, numra të cilët janë të ngjashëm me numrin e objekteve: 1,2,3,4, ... Në disa raste, numri 0 u shtohet edhe numrave natyrorë. .

  Shumë nga të gjithë numrat e plotë shënohen me shkronjën Z. Numrat e plotë të numrit janë të gjithë numra natyrorë, zero dhe numra negativë:

  1,-2,-3, -4, …

  Tani vijmë te papersonaliteti i të gjithë numrave të plotë thyesat e thjeshta: 2/3, 18/17, -4/5 e kështu me radhë. Pastaj heqim shumë numra racionalë.

  Anonimiteti i numrave racionalë

  Papersonaliteti i të gjithë numrave racionalë shënohet me shkronjën Q. Shumësia e të gjithë numrave racionalë (Q) është jopersonale, e cila përbëhet nga numra të formës m/n, -m/n dhe numri 0. kapaciteti n,m ju mund të veproni si një numër natyror. Është domethënëse, që të gjithë numrat racionalë mund të përfaqësohen në formën e një thyese dhjetore PERIODIKE PERIODIKE në fund të vijës ose jo të anuar. Verno dhe zvorotne, scho nëse është një kіntsevy apo një periodik i pashtershëm dhjetësh drіb mund të shkruhen në një numër në dukje racional.

  Dhe jak buti me forcë me numrin 2.0100100010 ...? Vono є neskіchenno thyesë dhjetore JOPERIODIKE. Unë nuk do të shtrihem për numrat racionalë.

  AT kursi shkollor Algjebrat janë numra më pak verbalë (ose më fiktive). Mungesa e të gjithë numrave realë shënohet me shkronjën R. Rich R përbëhet nga të gjithë numrat racionalë dhe të gjithë numrat iracionalë.

  Kuptimi i numrave irracionalë

  Numrat irracionalë - jo të panumërta dhjetëra thyesa jo periodike. Numrat irracionalë nuk kanë kuptim të veçantë.

  Për shembull, të gjithë numrat e marrë nga rrënja katrore e numrave natyrorë, si katrorët e numrave natyrorë, do të jenë irracionalë. (√2, √3, √5, √6, vetëm).

  Por nuk është mirë të mendosh se numrat irracionalë janë më shumë si variacione të rrënjës katrore. Për shembull, numri "pi" është gjithashtu irracional, por ai nuk u hoq. Dhe nëse nuk provoni, nuk do të jeni në gjendje të hiqni jogën, rrënjën katrore të çdo numri natyror.