Dodatnie liczby niewymierne. Co to jest liczba niewymierna?

Już starożytni matematycy wiedzieli to od jednego dnia: byli świadomi na przykład niemoralności przekątnej boku kwadratu, co jest równoznaczne z niewymiernością liczby.

Irracjonalne:

Zastosuj dowody irracjonalności

Korin z 2

Dopuszczalne i niedopuszczalne jest: wymierne, tak że występuje w postaci ułamka zwykłego, gdzie i jest liczbą całkowitą. Znana zazdrość kwadratu:

Gwiazdy wibrują parami, a następnie parami. Chodźmy do piekła. Todi

Ozhe, parono, ozhe, paro i. Zdecydowaliśmy, podobnie jak chłopaki, że bardzo ważne jest, aby porozmawiać o powolności strzału. Cóż, weekend był zły i... Liczba niewymierna.

Podwójny logarytm 3

Jest to dopuszczalne i niedopuszczalne: wymierne, tak że pojawia się jako ułamek, a liczby całkowite są liczbami. Fragmenty można ocenić pozytywnie. Todi

Ale jest sparowane, ale niesparowane. Można czyścić.

mi

Historia

Koncepcje liczb Irraunalnych Buli z niewyraźną rangą, gdybym został wyrzucony z matematykami z Veneis przy stole VII przed Nashi Eri, gdyby Manava (Bl. 750 s. BC 690 s. BC) Z'yasuvav, Square Korinnya Groughtchy Natural Naturals Liczb takich jak 2 i 61 nie można wyrazić wprost.

Pierwszy dowód na założenie liczb niewymiernych przypisuje się Hippasosowi z Metapontusa (około 500 r. p.n.e.), pitagorejczykom, którzy znali ten dowód m.in. prawie dwieście lat temu z pentagramów. Przez długi czas pitagorejczycy wierzyli, że istnieje tylko jedna jednostka dowżyna, jest ona mała i niewystarczająca, ponieważ w każdym kawałku uwzględniana jest cała liczba. Prote Hippas zagruntowany, w którym nie ma ani jednej jednostki dowzhin, resztki gulaszu wokół niego zostają doprowadzone do superwieczności. Pokazał, że przeciwprostokątna mięśnia trójdzielnego mięśnia udowego zawiera całą liczbę pojedynczych nacięć, które mogą być zarówno sparowane, jak i niesparowane. Dowód wygląda następująco:

• Związek między przeciwprostokątnym a nogą mięśnia trójdzielnego mięśnia udowego można wyrazić jako A:B, de Aі B rekrutowano najmniej zdolnych.
• Za twierdzeniem Pitagorasa: A² = 2 B².
• Więc jaka A- facet, A Może być niesparowany (fragmenty kwadratu niesparowanej liczby będą niesparowane).
• Oskołki A:B powolny, B Może być niesparowany.
• Więc jaka A chłopie, to ważne A = 2y.
• Todi A² = 4 y² = 2 B².
• B² = 2 y², zatem B- facet też B W parach.
• Zwrócono nam na to uwagę B nierówny Protirichchya.

Greccy matematycy nazywali stosunek wielkości niezmiennych alogos(niezwyciężony), obrońcy legend nie okazywali Hippasowi należytego szacunku. Istnieje legenda, że ​​Hippas został odkryty podczas podróży morskiej i został wyrzucony za burtę przez innych pitagorejczyków „za stworzenie elementu świata, który podtrzyma doktrynę, że wszystkie esencje są na świecie”. liczby i setki setek.” Odkrycie Hippasa stworzyło poważny problem dla matematyki pitagorejskiej, obalając założenie leżące u podstaw całej teorii, że liczby i obiekty geometryczne są jednym i nierozłącznym.

Dział Również

Notatki

W tym artykule znajdują się podstawowe informacje nt Liczby niewymierne. Odtąd będziemy znać znaczenie liczb niewymiernych i będzie jasne. Następnie pokażemy Ci zastosowania liczb niewymiernych. Dowiedz się, spójrzmy, jak podejść do pytania, czy dana liczba jest niewymierna, czy nie.

Nawigacja na stronie.

Wartości i zastosowania liczb niewymiernych

Po dodaniu dziesiątek frakcji wyraźnie widać niezliczone nieokresowe dziesiątki frakcji. Takie frakcje pojawiają się w dziesiątym świecie Dovzhina Vidrezkiego, nieumarłego z jednym mianowicie. Zauważyliśmy również, że wielu nieokresowych ułamków dziesiątek nie można przekształcić w ułamki pierwsze (patrz konwersja ułamków pierwszych w dziesiątkach i odwrotnie), jednak liczby nie są liczbami wymiernymi, są one przedstawiane jako tzw. Wymierne liczby nie.

Więc poszliśmy do wartość liczb niewymiernych.

Wiznachennya.

Liczby zapisane w zapisie dziesiątek jako niezliczone, nieokresowe ułamki dziesiątek nazywane są liczby niewymierne.

Znaczenie dźwięczne pozwala na nawigację zastosowania liczb niewymiernych. Na przykład nieskończony, nieokresowy ułamek dziesiąty 4,10110011100011110000... (liczba jedynek i zer wkrótce wzrośnie o jeden) jest liczbą niewymierną. Spójrzmy na przykład liczby niewymiernej: −22,353335333335... (liczba trójek oddzielających wagi wynosi prawie dwa).

Należy zauważyć, że liczby niewymierne rzadko zbiegają się w postaci niezliczonych nieokresowych ułamków dziesiątek. Ponieważ wydają się ostrzejsze w wyglądzie itp., A także w wyglądzie specjalnie wprowadzonych liter. Najczęstszymi zastosowaniami liczb niewymiernych w tym zapisie są arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z dwóch, liczba „pi” π=3,141592…, liczba e=2,718281… i liczba złota.

Liczby niewymierne można również obliczyć za pomocą liczb operacyjnych, które służą do łączenia liczb wymiernych i niewymiernych.

Wiznachennya.

Liczby niewymierne– są to liczby funkcyjne, które są wymierne.

Jaka liczba jest niewymierna?

Jeśli liczba jest podana powyżej ułamka dziesiątego, dziesiątego, pierwiastka, logarytmu itp., często trudno jest dokończyć jedzenie, co jest irracjonalne.

Oczywiście po potwierdzeniu zasilania należy wiedzieć, że liczby nie są irracjonalne. Znaczenie liczb niewymiernych pokazuje, że liczby niewymierne są liczbami wymiernymi. W ten sposób liczby niewymierne NIE są:

• skończone i nieskończone okresowe dziesiątki ułamków.

Liczba niewymierna nie jest także złożeniem liczb wymiernych połączonych znakami operacji arytmetycznych (+, −, ·, :). Mamy na myśli, że suma, różnica, solidność i prywatność dwóch liczb wymiernych jest liczbą wymierną. Na przykład wartościami wyrażeń są liczby wymierne. Należy również zauważyć, że jeśli w takich wyrażeniach środek liczb wymiernych zawiera jedną liczbę niewymierną, to wartość każdego wyrażenia będzie liczbą niewymierną. Na przykład wyrażona liczba jest liczbą niewymierną, a odpowiedź na liczby wymierne jest również liczbą niewymierną. Gdyby była to liczba wymierna, to z niej wynikałaby racjonalność tej liczby, która jednak nie jest wymierna.

Jeśli podana jest liczba, istnieje wiele liczb niewymiernych, pierwiastków, logarytmów, funkcji trygonometrycznych, liczb π, e itp., to należy w każdym konkretnym przypadku wykazać niewymierność lub racjonalność danej liczby. Oczywiste jest jednak, że wyniki, które można osiągnąć szybko, są również bardzo niskie. Wymieńmy najważniejsze.

Udowodniono, że stopień pierwiastkowy k liczby całkowitej jest liczbą wymierną, chyba że liczba pod pierwiastkiem jest k-tym stopniem innej liczby całkowitej; w pozostałych przypadkach taki pierwiastek określa liczbę niewymierną. Na przykład liczby i są niewymierne, ponieważ nie tworzą liczby całkowitej, której kwadrat jest równy 7, ani nie tworzą liczby całkowitej, która po dodaniu do piątego miejsca daje liczbę 15. A liczby i są niewymierne, w wyniku i.

Ponieważ nie ma logarytmów, możliwe jest osiągnięcie ich irracjonalności metodą bohatera. Na przykład udowodnijmy, że log 2 3 jest liczbą niewymierną.

Dopuszczalne jest, że log 2 3 jest liczbą wymierną i że nie jest ona irracjonalna, wówczas można ją uznać za ułamek równoważny m/n. i pozwalają na zapisanie kolejnego ciągu zazdrości: . Trwanie w zazdrości jest niemożliwe, ponieważ po lewej stronie niezrównany numer, a prawa część to facet. Tak postępowaliśmy, ale nasze założenie okazało się błędne i doszliśmy do wniosku, że log 2 3 jest liczbą niewymierną.

Kochani, lna, niezależnie od dodatniej i znaczącej formy jedynki, jest liczbą wymierną i niewymierną. Na przykład i są liczbami niewymiernymi.

Udowodniono również, że liczba e a dla dowolnej wartości wymiernej od zera jest niewymierna oraz że liczba π z dla dowolnej wartości całkowitej z jest niewymierna. Na przykład liczby są niewymierne.

Liczby niewymierne są także funkcjami trygonometrycznymi sin, cos, tg i ctg dla dowolnego argumentu wymiernego i o wartości zerowej. Na przykład sin1, tg(−4), cos5,7 są liczbami niewymiernymi.

Dowiedz się i inne wyniki zostały osiągnięte, co oznacza, że ​​​​jesteśmy już nadreasekuratorami. Należy również powiedzieć, że na dowód przedstawionych wyników istnieje teoria, że liczby algebraiczneі liczby transcendentalne.

Wreszcie ważne jest, aby nie można było pracować nad pochopnymi zmianami ze względu na irracjonalność podanych liczb. Na przykład wydaje się oczywiste, że liczba niewymierna na etapie niewymiernym jest liczbą niewymierną. Proszę, żeby tak zostało. Na potwierdzenie stwierdzonego faktu zróbmy krok. Jest oczywiste, że jest to liczba niewymierna, a także udowodniono, że jest to liczba niewymierna, a nie wymierna. Można także używać liczb niewymiernych, sum, różnic i innych liczb wymiernych. Ponadto nie wyjaśniono racjonalności i irracjonalności liczb π+e, π−e, π·e, π π, π e i wielu innych.

Lista literatury.

• Matematyka. klasa 6: naw. do podświetlenia. zainstalowany/[N. Ya Vilenkin i in.]. - Widok 22, Vipr. – M.: Mnemozina, 2008. – 288 s.: il. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: navch. dla 8 klasy. zagalnosvit. zainstalowany/[Yu. N. Makariczew, N. G. Mindyuk, K. I. Nieszkow, S. B. Suworowa]; za wyd. SA Telyakovsky. - typ 16. - M .: Prosvitnitstvo, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla studentów kierunków technicznych): Navch. Pos_bnik.- M.; Vischa. szkoła, 1984.-351 s., il.

A korzeń smrodu pochodził od łacińskiego słowa „ratio”, co oznacza „powód”. Z dosłownego tłumaczenia:

• Liczba wymierna nie jest „liczbą rozsądną”.
• Liczba niewymierna jest najwyraźniej „liczbą nierozsądną”.

Zagalne pojęcie liczby wymiernej

Liczba wymierna to liczba, którą można zapisać w postaci:

1. Frakcja dodatnia Zvichaynogo.
2. Ujemna frakcja dźwięku.
3. Liczba wygląda na zero (0).

Innymi słowy, następujące wartości osiągną liczbę wymierną:

• Każda liczba naturalna jest z natury racjonalna, ponieważ nawet liczbę naturalną można przedstawić w postaci ułamka.
• Niezależnie od tego, czy istnieje liczba całkowita, łącznie z liczbą zero, pozostałą liczbę można zapisać jako ułamek dodatni, ułamek ujemny lub jako liczbę zero.
• Niezależnie od wartości ekstremalnej nie ma znaczenia, czy dodatnia, czy ujemna jest istotna, więc zawsze możesz dojść do wartości liczby wymiernej.
• Możesz więc dodać liczbę mieszaną, końcowy ułamek dziesiąty lub nieskończony ułamek okresowy do wartości końcowej.

Zastosowanie liczby wymiernej

Przyjrzyjmy się zastosowaniom liczb wymiernych:

• Liczby naturalne - „4”, „202”, „200”.
• Liczby całkowite to „-36”, „0”, „42”.
• Przepraszam ułamki.

Z listy zastosowań jest to zupełnie oczywiste Liczby wymierne mogą być dodatnie lub ujemne. Oczywiście liczby 0 (zero), która jest jednocześnie liczbą wymierną, nie można sklasyfikować jako liczby dodatniej ani ujemnej.

Gwiazdy, chciałbym opowiedzieć wam o programie działającym w tle za pomocą obraźliwego znaczenia: „Liczby wymierne” to te liczby, które można zapisać jako ułamek x/y, gdzie x (licznik) jest liczbą całkowitą, a y y ( znaczący) jest liczbą naturalną.

Ukryte znaczenie liczby niewymiernej

Oprócz „liczb wymiernych” znana jest nam nazwa „liczby niewymierne”. Spróbujmy pokrótce datować przypisane numery.

Nawet starożytni matematycy, próbując obliczyć przekątną kwadratu na podstawie jego boków, odkryli pochodzenie liczby niewymiernej.
Na podstawie znaczenia liczb wymiernych można określić liczbę logiczną i datę znaczenia liczby niewymiernej.
Jednak w rzeczywistości te liczby operacyjne są zarówno liczbami wymiernymi, elementarnymi, jak i niewymiernymi.
Dziesiątki ułamków wyrażających liczby niewymierne, nieokresowe ani ciągłe.

Zastosowanie liczby niewymiernej

Dla przejrzystości spójrzmy na mały przykład liczby niewymiernej. Jak już zdaliśmy sobie sprawę, niezliczone dziesiątki ułamków nieokresowych nazywane są irracjonalnymi, na przykład:

• Liczba „-5.020020002... (wyraźnie widać, że oba dzielenie to ciąg jednego, dwóch, trzech itd. zer)
• Liczba „7.040044000444... (tutaj jasne jest, że liczba czwórek i liczba zer natychmiast wzrasta o jeden).
• Każdy zna liczbę Pi (31415...). Tak, tak – to też jest irracjonalne.

Wszystkie liczby rzeczywiste są uważane za wymierne i niewymierne. Rozmawiający ludzie w prostych słowach, liczby niewymiernej nie można wykryć, patrząc na równoważny ułamek x/y.

Tajne podsumowanie i krótkie porównanie liczb

Przyjrzeliśmy się liczbie skóry obok siebie, zatracono rozróżnienie między liczbą wymierną a liczbą niewymierną:

1. Liczbę niewymierną dostosowuje się, biorąc pierwiastek kwadratowy, dzieląc stawkę przez średnicę itp.
2. Liczba wymierna to ułamek pierwszy.

Uporządkujmy nasz artykuł według następujących znaczeń:

• Operacja arytmetyczna wykonywana na liczbie wymiernej, podzielona przez 0 (zero) i ostatecznie dająca liczbę wymierną.
• Ostateczny wynik tej operacji arytmetycznej na liczbie niewymiernej może prowadzić zarówno do wartości wymiernej, jak i niewymiernej.
• Jeśli operacja arytmetyczna obejmuje udział tych i innych liczb (oprócz dzielenia lub mnożenia przez zero), wówczas wynikiem będzie liczba niewymierna.

Bezosobowość liczb niewymiernych jest oznaczona wielką literą łacińską ja (\ displaystyle \ mathbb (ja)) w konturze pełnotłustym, bez nadzienia. W tej kolejności: ja = R ∖ Q (\ Displaystyle \ mathbb (I) = \ mathbb (R) \ backslash \ mathbb (Q)), to bez liczb niewymiernych istnieje różnica w krotności mowy i liczb wymiernych.

Matematycy wiedzieli już o pochodzeniu liczb niewymiernych, a dokładniej o podziałach nieistotnych z podziału pojedynczego dnia: zdawali sobie sprawę np. z ogromu przekątnej i boku kwadratu, co równa się racjonalności liczb.

Encyklopedyczny YouTube

• 1 / 5

  Irracjonalne:

  Zastosuj dowody irracjonalności

  Korin z 2

  Niedopuszczalne jest: 2 (\ Displaystyle (\ sqrt (2))) racjonalne, tak że wydaje się, że jest to ułamek m n (\ Displaystyle (\ Frac (m) (n))), de m (\ displaystyle m)- liczba całkowita i n (\ displaystyle n)- Liczba naturalna.

  Znana zazdrość kwadratu:

  2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\ Displaystyle (\ sqrt (2)) = (\ Frac (m) (n)) \ Rightarrow 2 = (\ Frac (m ^ (2) ) ))(n^(2)))\Strzałka w prawo m^(2)=2n^(2)).

  Historia

  Antyk

  Koncepcje liczb Irraunalnych Buli z niewyraźną rangą, gdybym został wyrzucony z matematykami z Veneis przy stole VII przed Nashi Eri, gdyby Manava (Bl. 750 s. BC 690 s. BC) Z'yasuvav, Square Korinnya Liczb Groughtchy Natural Naturals, takich jak 2 i 61, nie można wyrazić wprost [ ] .

  Pierwszy dowód na istnienie liczb niewymiernych przypisuje się Pitagorejczykowi Hippasowi z Metapontusa (ok. 500 r. p.n.e.). Pitagorejczycy godzinami wierzyli, że istnieje tylko jedna jednostka dowzhin, ilość ta jest niewielka i niewystarczająca, podobnie jak liczba wejść na dowolną sekcję [ ] .

  Nie ma dokładnych informacji o irracjonalności której liczby potwierdził Hippas. To z powodu legendy, bo wiadomo, ile wieków temu istniały pentagramy. Rozsądnie jest odpuścić, bo to złoto peretin [ ] .

  Greccy matematycy nazywali stosunek wielkości niezmiennych alogos(niezwyciężony), obrońcy legend nie okazywali Hippasowi należytego szacunku. Istnieje legenda, że ​​Hippas został odkryty podczas podróży morskiej i został wyrzucony za burtę przez innych pitagorejczyków „za stworzenie elementu świata, który podtrzyma doktrynę, że wszystkie esencje są na świecie”. liczby i setki setek.” Odkrycie Hippasa stworzyło poważny problem dla matematyki pitagorejskiej, obalając założenie leżące u podstaw całej teorii, że liczby i obiekty geometryczne są jednym i nierozłącznym.

  Przede wszystkim liczby naturalne są oznaczone literą N. Liczby naturalne, takie liczby, których używamy do klasyfikacji obiektów: 1,2,3,4, ... W wielu liczbach do liczb naturalnych dodaje się tę samą liczbę 0 .

  Większość liczb całkowitych oznaczona jest literą Z. Liczby całkowite to liczby naturalne, zerowe i ujemne:

  1,-2,-3, -4, …

  Teraz możemy zaakceptować bezosobowość wszystkich liczb całkowitych frakcje pierwotne: 2/3, 18/17, -4/5 i tak dalej. Wtedy możemy wyeliminować wiele liczb wymiernych.

  Błogosławione liczby wymierne

  Zbiór wszystkich liczb wymiernych oznaczamy literą Q. Zbiór wszystkich liczb wymiernych (Q) to zbiór wszystkich liczb wymiernych, będący sumą liczb postaci m/n, -m/n oraz liczby 0. Yakosti n, m Możesz użyć liczby naturalnej. Należy zauważyć, że wszystkie liczby wymierne można przedstawić jako skończoną lub ciągłą część dziesiętną. Prawdą jest, że każdy końcowy lub ciągły okresowy ułamek dziesiąty można zapisać w postaci liczby wymiernej.

  Ale co z liczbą 2.0100100010...? Tutaj jest to nieskończenie NIEOKRESOWY ułamek dziesiątek. I nie da się dotrzeć do liczb wymiernych.

  W kurs szkolny Algebry badają tylko liczby mowy (lub liczby operacyjne). Całość wszystkich liczb rzeczywistych jest oznaczona literą R. Większość R jest sumą wszystkich liczb wymiernych i wszystkich niewymiernych.

  Zrozumienie liczb niewymiernych

  Liczby niewymierne to liczne dziesiątki ułamków nieokresowych. Liczby niewymierne nie mają specjalnego znaczenia.

  Na przykład wszystkie liczby wzięte z pierwiastka kwadratowego liczb naturalnych, które są kwadratami liczb naturalnych, będą niewymierne. (√2, √3, √5, √6 itd.).

  Nie jest łatwo myśleć, że liczby niewymierne wychodzą tylko jako pierwiastki kwadratowe. Na przykład liczba „pi” jest również niewymierna, ale nie jest brana pod uwagę. A jeśli nie spróbujesz, nie będziesz w stanie usunąć pierwiastka kwadratowego z żadnej liczby naturalnej.