W obliczu abstrakcyjności matematyki czasami można zrozumieć intensywność i dystans, jakie mimowolnie pojawia się w myślach: „Czy to wszystko na teraz?” Ale przede wszystkim wszystkie twierdzenia, operacje arytmetyczne, funkcje itp. - Koniec z koniecznością zaspokajania pilnych potrzeb. Szczególnie jasne jest, że z tyłka pojawią się różne mnożniki.
Wszystko zaczęło się od liczb naturalnych. I choć mało prawdopodobne, aby udało się od razu stwierdzić, jak to się w końcu stało, że z piekarnika zaczęły wychodzić nogi królowej nauk. Tutaj, analizując ilość skór, kamieni i współplemieńców, ludzie są anonimowymi „liczbami do rakhunku”. Którego zachorowałeś. Do tego momentu wszystko jest jasne.
Następnie trzeba było podzielić i podnieść skóry i kamienie. Pojawiła się więc potrzeba działań arytmetycznych, a zarazem wymiernych, które można policzyć jako jednostki typu m/n, gdzie np. m to liczba skór, n to liczba współplemieńców .
Wydawać by się mogło, że już otwarty aparat matematyczny w zupełności wystarczy, aby uciszyć życie. Nagle okazało się, że konsekwencje, jeśli wynik nie jest taki sam, jeśli liczba nie jest liczbą całkowitą, to nie żart! I oczywiście pierwiastka kwadratowego z dwóch nie można wyznaczyć w żaden inny sposób za pomocą liczby i znaku. Albo na przykład wszyscy znamy liczbę Pi, weźmy pod uwagę starożytną grecką naukę Archimedesa, która nie jest racjonalna. Z biegiem czasu taka krytyka stała się tak liczna, że wszystkie „racjonalizacje” liczb, których nie można obliczyć, połączono i nazwano irracjonalnymi.
Potężny
Czynniki zbadane wcześniej stanowią część zestawu podstawowych rozumień matematyki. Oznacza to, że nie można ich obliczyć za pomocą prostych obiektów matematycznych. Ponadto możesz pracować w dodatkowej kategorii (z greckiego „Vislovlyuvannya”) lub postulatach. Czasami siła tych tłumów była najbardziej znacząca.
o Liczby niewymierne oznaczają cięcia Dedekinda w przypadku braku liczb wymiernych, w których dolna nie ma największej liczby, a górna nie ma najmniejszej liczby.
o Liczba transcendentalna skóry jest irracjonalna.
o Każda liczba niewymierna jest albo algebraiczna, albo przestępna.
o Na osi liczbowej nie ma liczb niewymiernych: pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami znajduje się liczba niewymierna.
o Bezosobowość liczb niewymiernych jest nie do odróżnienia, podobnie jak inna kategoria Behra.
o Ta bezosobowość jest uporządkowana w taki sposób, że dla każdej dwóch różnych liczb wymiernych a i b można wskazać, która z nich jest mniejsza od drugiej.
o Pomiędzy dwiema różnymi liczbami wymiernymi znajduje się jeszcze jedna liczba wymierna, a także nie ma żadnych liczb wymiernych.
o Operacje arytmetyczne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie) na dowolnych dwóch liczbach wymiernych mogą zawsze dać wynik innej liczby wymiernej. Obwiniaj to do zera, jakie to niezdarne.
o Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka dziesiątego (końcowego lub ciągłego okresowego).
Bezosobowość liczb niewymiernych jest oznaczona wielką literą łacińską ja (\ displaystyle \ mathbb (ja)) w konturze pełnotłustym, bez nadzienia. W tej kolejności: ja = R ∖ Q (\ Displaystyle \ mathbb (I) = \ mathbb (R) \ backslash \ mathbb (Q)), to bez liczb niewymiernych istnieje różnica w krotności mowy i liczb wymiernych.
Matematycy wiedzieli już o pochodzeniu liczb niewymiernych, a dokładniej o podziałach nieistotnych z podziału pojedynczego dnia: zdawali sobie sprawę np. z ogromu przekątnej i boku kwadratu, co równa się racjonalności liczb.
Encyklopedyczny YouTube
-
1 / 5
Irracjonalne:
Zastosuj dowody irracjonalności
Korin z 2
Niedopuszczalne jest: 2 (\ Displaystyle (\ sqrt (2))) racjonalne, tak że wydaje się, że jest to ułamek m n (\ Displaystyle (\ Frac (m) (n))), de m (\ displaystyle m)- liczba całkowita i n (\ displaystyle n)- Liczba naturalna.
Znana zazdrość kwadratu:
2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\ Displaystyle (\ sqrt (2)) = (\ Frac (m) (n)) \ Rightarrow 2 = (\ Frac (m ^ (2) ) ))(n^(2)))\Strzałka w prawo m^(2)=2n^(2)).Historia
Antyk
Koncepcje liczb Irraunalnych Buli z niewyraźną rangą, gdybym został wyrzucony z matematykami z Veneis przy stole VII przed Nashi Eri, gdyby Manava (Bl. 750 s. BC 690 s. BC) Z'yasuvav, Square Korinnya Liczb Groughtchy Natural Naturals, takich jak 2 i 61, nie można wyrazić wprost [ ] .
Pierwszy dowód na istnienie liczb niewymiernych przypisuje się Pitagorejczykowi Hippasowi z Metapontusa (ok. 500 r. p.n.e.). Pitagorejczycy godzinami wierzyli, że istnieje tylko jedna jednostka dowzhin, ilość ta jest niewielka i niewystarczająca, podobnie jak liczba wejść na dowolną sekcję [ ] .
Nie ma dokładnych informacji o irracjonalności której liczby potwierdził Hippas. To z powodu legendy, bo wiadomo, ile wieków temu istniały pentagramy. Rozsądnie jest odpuścić, bo to złoto peretin [ ] .
Greccy matematycy nazywali stosunek wielkości niezmiennych alogos(niezwyciężony), obrońcy legend nie okazywali Hippasowi należytego szacunku. Istnieje legenda, że Hippas został odkryty podczas podróży morskiej i został wyrzucony za burtę przez innych pitagorejczyków „za stworzenie elementu świata, który podtrzyma doktrynę, że wszystkie esencje są na świecie”. liczby i setki setek.” Odkrycie Hippasa stworzyło poważny problem dla matematyki pitagorejskiej, obalając założenie leżące u podstaw całej teorii, że liczby i obiekty geometryczne są jednym i nierozłącznym.
Już starożytni matematycy wiedzieli to od jednego dnia: byli świadomi na przykład niemoralności przekątnej boku kwadratu, co jest równoznaczne z niewymiernością liczby.
Irracjonalne:
Zastosuj dowody irracjonalności
Korin z 2
Dopuszczalne i niedopuszczalne jest: wymierne, tak że występuje w postaci ułamka zwykłego, gdzie i jest liczbą całkowitą. Znana zazdrość kwadratu:
.Gwiazdy wibrują parami, a następnie parami. Chodźmy do piekła. Todi
Ozhe, parono, ozhe, paro i. Zdecydowaliśmy, podobnie jak chłopaki, że bardzo ważne jest, aby porozmawiać o powolności strzału. Cóż, oczywiście założenie było błędne, i jest liczbą niewymierną.
Podwójny logarytm 3
Jest to dopuszczalne i niedopuszczalne: wymierne, tak aby wyglądało na ułamek, a oba są liczbami całkowitymi. Fragmenty można ocenić pozytywnie. Todi
Ale jest sparowane, ale niesparowane. Można czyścić.
mi
Historia
Koncepcje liczb Irraunalnych Buli z niewyraźną rangą, gdybym został wyrzucony z matematykami z Veneis przy stole VII przed Nashi Eri, gdyby Manava (Bl. 750 s. BC 690 s. BC) Z'yasuvav, Square Korinnya Groughtchy Natural Naturals Liczb takich jak 2 i 61 nie można wyrazić wprost.
Pierwszy dowód na założenie liczb niewymiernych przypisuje się Hippasosowi z Metapontusa (około 500 r. p.n.e.), pitagorejczykom, którzy znali ten dowód m.in. prawie dwieście lat temu z pentagramów. Przez długi czas pitagorejczycy wierzyli, że istnieje tylko jedna jednostka dowżyna, jest ona mała i niewystarczająca, ponieważ w każdym kawałku uwzględniana jest cała liczba. Prote Hippas zagruntowany, w którym nie ma ani jednej jednostki dowzhin, resztki gulaszu wokół niego zostają doprowadzone do superwieczności. Pokazał, że przeciwprostokątna mięśnia trójdzielnego mięśnia udowego zawiera całą liczbę pojedynczych nacięć, które mogą być zarówno sparowane, jak i niesparowane. Dowód wygląda następująco:
- Związek między przeciwprostokątnym a nogą mięśnia trójdzielnego mięśnia udowego można wyrazić jako A:B, de Aі B rekrutowano najmniej zdolnych.
- Za twierdzeniem Pitagorasa: A² = 2 B².
- Więc jaka A- facet, A Może być niesparowany (fragmenty kwadratu niesparowanej liczby będą niesparowane).
- Oskołki A:B powolny, B Może być niesparowany.
- Więc jaka A chłopie, to ważne A = 2y.
- Todi A² = 4 y² = 2 B².
- B² = 2 y², zatem B- facet też B W parach.
- Zwrócono nam na to uwagę B nierówny Protirichchya.
Greccy matematycy nazywali stosunek wielkości niezmiennych alogos(niezwyciężony), obrońcy legend nie okazywali Hippasowi należytego szacunku. Istnieje legenda, że Hippas został odkryty podczas podróży morskiej i został wyrzucony za burtę przez innych pitagorejczyków „za stworzenie elementu świata, który podtrzyma doktrynę, że wszystkie esencje są na świecie”. liczby i setki setek.” Odkrycie Hippasa stworzyło poważny problem dla matematyki pitagorejskiej, obalając założenie leżące u podstaw całej teorii, że liczby i obiekty geometryczne są jednym i nierozłącznym.
Dział Również
Notatki
Systemy numeryczne Rakhunkovi
zwielokrotniaćLiczby naturalne () Wszystkie liczby wymierne można traktować jako ułamki zwykłe. Istnieją liczby całkowite (na przykład 12, -6, 0) i końcowe części dziesiąte (na przykład 0,5; -3,8921) i ciągłe okresowe ułamki dziesiątek (na przykład 0,11 (23); -3, (87)).
Protestuj nieskończone nieokresowe ułamki dziesiątkowe Niemożliwe jest wykrycie znaczących frakcji na pierwszy rzut oka. To śmierdzi liczby niewymierne(być irracjonalnym). Przykładem takiej liczby jest liczba π, która jest w przybliżeniu równa 3,14. Nie da się jednak ustalić, dlaczego jest dokładnie jedna rzecz, ponieważ po liczbie 4 następuje nieskończona seria innych liczb, w których nie można zobaczyć powtarzających się okresów. Jednakże, chociaż liczby π nie można wyrazić dokładnie, może ona być specyficzna zmysł geometryczny. Liczba π jest wartością stosunku dowolnego palika do maksymalnej jego średnicy. Zatem liczby niewymierne można łatwo znaleźć w przyrodzie, podobnie jak liczby wymierne.
Innym zastosowaniem liczb niewymiernych mogą być pierwiastki kwadratowe liczby dodatnie. Pierwiastek niektórych liczb daje wartości wymierne, podczas gdy inne dają wartości irracjonalne. Na przykład √4 = 2, to pierwiastek kwadratowy z 4 jest liczbą wymierną. A osie √2, √5, √7 i wiele innych dają w rezultacie liczby niewymierne, więc można je przybliżyć do siebie, zaokrąglając do znaku hymnu po przecinku. W tym przypadku różnice wydają się nieokresowe. Nie można dokładnie określić, jaki jest pierwiastek tych liczb.
Zatem √5 jest liczbą znajdującą się pomiędzy liczbami 2 i 3, ponieważ √4 = 2 i √9 = 3. Można też zanotować, że √5 jest bliższe 2, mniejsze 3, ponieważ √4 bliżej √5, niżej √9 do √5. To prawda, √5 ≈ 2,23 lub √5 ≈ 2,24.
Liczby niewymierne pojawiają się także w innych obliczeniach (i to nie tylko po wyjęciu pierwiastka) i są ujemne.
W odniesieniu do liczb niewymiernych możemy powiedzieć, że nie wzięliśmy żadnego pojedynczego segmentu, aby wymrzeć, dozhin, wyrażony taką liczbą, nie możemy wymrzeć.
W operacjach arytmetycznych liczby niewymierne mogą brać udział w taki sam sposób, jak liczby wymierne. Jednocześnie występują niskie prawidłowości. Na przykład, jeśli operacja arytmetyczna obejmuje część inną niż liczba wymierna, wynikiem zawsze będzie liczba wymierna. Ponieważ operacje przyjmują los bardziej niż irracjonalny, nie można jednoznacznie stwierdzić, czy wyjdzie liczba wymierna czy niewymierna.
Na przykład, jeśli pomnożysz dwie liczby niewymierne √2 * √2, otrzymasz 2 – liczbę wymierną. Z drugiej strony √2 * √3 = √6 jest liczbą niewymierną.
Jeśli w operacji arytmetycznej weźmiesz część liczby wymiernej lub niewymiernej, otrzymasz wynik irracjonalny. Na przykład 1 + 3,14… = 4,14…; √17 – 4.
Dlaczego √17 – 4 jest liczbą niewymierną? Załóżmy, że wynikiem jest liczba wymierna x. Wtedy √17 = x + 4. Ale x + 4 jest liczbą wymierną, więc założyliśmy, że x jest wymierne. Liczba 4 jest również wymierna, więc x + 4 jest wymierne. Jednak liczba wymierna nie może być równa irracjonalnej √17. Zakłada się zatem, że √17 – 4 nie daje wyniku racjonalnego. Wynik operacji arytmetycznej będzie niewymierny.
Istnieje jednak problem z tą zasadą. Ponieważ liczbę niewymierną 0 można pomnożyć, wówczas otrzymuje się liczbę wymierną 0.
Wartości liczby niewymiernej
Liczby takie jak te w zapisie dziesiątym z nieskończonymi nieokresowymi ułamkami dziesiątek nazywane są niewymiernymi.
Na przykład liczby, które nie są pierwiastkiem kwadratowym liczb naturalnych, są niewymierne i nie są kwadratami liczb naturalnych. Jednak nie wszystkie liczby niewymierne można wyeliminować metodą pierwiastka kwadratowego, nawet jeśli liczbę „pi” usuniemy metodą dzielenia, liczba „pi” również będzie niewymierna i jest mało prawdopodobne, że ją wyeliminujemy przy próbie wyodrębnienia pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej.
Potęga liczb niewymiernych
Oprócz liczb zapisywanych w niezliczonych ułamkach dziesiątek, liczby niewymierne są zapisywane w nieokresowych, niepoliczonych ułamkach dziesiątek.
Wynikiem jest suma dwóch nieujemnych liczb niewymiernych, prawdopodobnie liczba wymierna.
Liczby niewymierne oznaczają cięcia Dedekinda w przypadku braku liczb wymiernych, w klasie niższej, która nie ma wielka ilość, a górny ma nie mniej.
To, czy mowa jest liczbą przestępną, jest irracjonalne.
Wszystkie liczby niewymierne są albo algebraiczne, albo przestępne.
Istnieje wiele liczb niewymiernych, które można łatwo rozwinąć na linii prostej, a pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami na pewno znajdziesz liczbę niewymierną.
Brak liczb niewymiernych jest nieskończony, nieokreślony i należy do drugiej kategorii.
W przypadku każdej operacji arytmetycznej na liczbach wymiernych, z wyjątkiem dzielenia przez 0, wynikiem będzie liczba wymierna.
Jeśli dodasz liczbę wymierną do liczby niewymiernej, otrzymasz liczbę niewymierną.
Dodając liczby niewymierne, liczbę wymierną można odjąć od wyniku.
Brak liczb niewymiernych nie jest dobry dla facetów.Liczby, które nie są irracjonalne
Czasami trudno jest zareagować na jedzenie, gdy liczba jest irracjonalna, szczególnie w przypadkach, gdy liczba wygląda jak ułamek dziesiąty lub wygląda jak wartość liczbowa, taka jak pierwiastek logarytmu.
Nie będziemy więc wiedzieć, że liczby nie są irracjonalne. Jeśli podążymy za znaczeniem liczb niewymiernych, to już wiemy, że liczby wymierne nie mogą być niewymierne.
Nie ma liczb niewymiernych:
Przede wszystkim wszystkie liczby naturalne;
Innymi słowy, liczby całkowite;
Na trzecim, frakcje pierwotne;
W czwartym liczby są mieszane;
Z perspektywy czasu są to niekończące się okresowe dziesiątki ułamków.Poza tym wszystkim, co jest przesadzone, liczbą niewymierną nie może być jakakolwiek kombinacja liczb wymiernych, którą można połączyć ze znakami operacji arytmetycznych, takimi jak +, -, , :, tak aby suma dwóch liczb wymiernych była Liczba wymierna.
A teraz zobaczmy, które liczby są niewymierne:
A jak wiadomo o założeniu fanklubu, w którym dowcipnisie tego tajemniczego zjawiska matematycznego szukają nowych informacji na temat Pi, próbując rozwikłać jego sekretne miejsce. Możesz zostać członkiem tego klubu, jeśli jesteś osobą, która wie, jak zapamiętać liczbę liczb od początku do następnej;
Czy wiesz, że w Niemczech znajduje się pałac o nazwie Castadel Monte, objęty ochroną UNESCO, którego proporcje można obliczyć. Cały pałac został poświęcony tej liczbie przez króla Fryderyka II.
Okazuje się, że liczba Pi zwyciężyła około godziny ery babilońskiej. Wielka szkoda, że doprowadziło to do upadku projektu, bo w tamtym czasie nie było wystarczających obliczeń dokładnej wartości Pi.
Piosenkarka Kate Bush nagrała na swojej nowej płycie piosenkę „Pi”, w której zabrzmiała sto dwadzieścia razy liczba słynnej serii liczb 3, 141.
Korzystne...
