cipari trigonometriskā formā.
De Moivre formula
Pieņemsim, ka z 1 \u003d r 1 (cos 1 + isin 1) un z 2 \u003d r 2 (cos 2 + isin 2).
Kompleksā skaitļa rakstīšanas trigonometriskā forma ir manuāli vikoristovuvat par vikonannya diy reizināts, rozpodіlu, zvedennya in tsіliy stupіn un vyluchennya saknes solis n.
z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 + 2) + i sin( 1 + 2)).
Reizinot divus kompleksos skaitļus trigonometriskajās formās to moduļi tiek reizināti un argumenti tiek pievienoti. Kad rozpodіliїх moduļi tiek sadalīti, un argumenti tiek izskatīti.
Nākamais kompleksā skaitļa reizināšanas noteikums ir noteikums kompleksā skaitļa ņemšanai ar soļiem.
z = r(cos + i sin ).
z n \u003d r n (cos n + isin n).
Tse spіvidnoshennia sauc De Moivre formula.
Krājums 8.1 Zināt tvir un privātos numurus:
і 
Risinājums
z1∙z2 
∙
=
;
Krājums 8.2 Ierakstiet trigonometriskā formā numuru
∙
-i) 7.
Risinājums
Ievērojami 
un z 2 = 
- І .
r 1 = | z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; 1 = argz 1 = arctg 
;
z1 = 
;
r 2 = | z 2 | = √(√3) 2 + (-1) 2 = 2; 2 = arg z 2 = arctg 
;
z2 = 2 
;
z 1 5 = ( 
) 5 
; z 2 7 = 2 7 
z = ( 
) 5 2 7 
=
2 9 
9. § Kompleksā skaitļa saknes pārskatīšana
Pieraksts. Saknen- kompleksā skaitļa solis z (vidēji 
) sauc par kompleksu skaitli w tā, ka w n = z. Ja z = 0, tad 
= 0.
Pieņemsim, ka z 0, z = r(cos + isin). Būtiski w = (cos + sin), tad vienāds w n = z var tikt uzrakstīts ofensīvā
n (cos(n ) + isin(n )) = r(cos + isin).
Zvaigznes n = r,
=
Šādā secībā w k = 
·
.
Vidējā vērtība ir tieši n atšķirīga.
Līdz tam k = 0, 1, 2, …, n - 1.
Sarežģītajā plaknē punkti ir regulāra n-griezuma virsotnes, kas ierakstītas krāsā ar rādiusu. 
centrēts punktā O (12. att.).
Malyunok 12
Krājums 9.1 Zināt visas nozīmes 
.
Risinājums.
Parādiet numuru trigonometriskā formā. Mēs zinām jogas moduli un argumentāciju.
w k = 
de k = 0, 1, 2, 3.
w 0 = 
.
w 1 = 
.
w 2 = 
.
w 3 = 
.
Sarežģītajā plaknē punkti ir kvadrāta virsotnes, kas ierakstītas aplī ar rādiusu. 
ar centru uz koordinātu vālītes (13. attēls).
13. mazulis, 14. mazulis
Muca 9.2 Zināt visas nozīmes 
.
Risinājums.
z = -64 = 64 (cos + isin);
w k = 
de k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
w 0 = 
; w 1 = 
;
w 2 = 
w 3 = 
w4 = 
; w 5 = 
.
Sarežģītajā plaknē punkti ir regulāras sešu līknes virsotnes, kas ierakstītas aplī ar 2 іz centra rādiusu punktā O (0; 0) - 14. attēls.
§ 10 Parādīt kompleksa skaitļa formu.
Eilera formula
Ievērojami 
= cos + isin i 
= cos - isin . Cі spіvvіdnoshennia sauc Eilera formulas .
Funkcija 
var zvichaynі jaudas displeja funkcijas:
Komplekso skaitli z rakstīsim trigonometriskā formā z = r(cos + isin ).
Vikoristovuyuchi Eilera formulu, varat rakstīt:
z = r 
.
Šo ierakstu sauc ārišķīga forma kompleksais skaitlis. Vikoristovuyuchi її, mēs ņemam reizināšanas noteikumus, rozpodіlu, zvedennya šīs saknes pēdā.
Jakšo z 1 = r 1 
i z 2 = r 2 
?tad
z 1 z 2 = r 1 r 2 
;
·
z n = r n 
, kur k = 0, 1, …, n - 1.
Muca 10.1 Uzrakstiet algebras skaitļa formā
z= 
.
Risinājums.
Muca 10.2 Razvjazati izlīdzināšana z 2 + (4 - 3i)z + 4 - 6i = 0.
Risinājums.
Jebkuriem sarežģītiem koeficientiem ir divas saknes z 1 un z 1 (iespējams, zbіgayutsya). Šo sakni var atrast aiz tās pašas formulas, kas ir tāda pati runas veidam. tik jaks 
pieņem divas nozīmes, kuras uzskata tikai ar zīmi, tad šī formula var izskatīties šādi:
Skіlki –9 \u003d 9 e i, tad vērtības 
cipari būs:
Todi 
і 
.
|
Krājums 10.3 Razvjazati izlīdzinājums z 3+1 = 0; z 3 \u003d -1. |
Risinājums.
Shukami saknes būs nozīmīgas 
.
Ja z = -1, varbūt r = 1, arg (-1) = .
w k = 
, K = 0, 1, 2.
pa labi
9 Nodokļi numura parādīšanas formai:
|
b) |
G) |
+i;
.10 Pierakstiet skaitļa ilustratīvās un algebriskās formās:
|
a) |
iekšā) |
|
b) |
d) 7(cos0 + isin0). |
11 Ierakstiet skaitļa algebriskās un ģeometriskās formās:
|
a) |
b) |
iekšā) |
G) |
12 datums 
Iepazīstinot tos izrādes formā, zināt 
.
13 Vikoristovuyuchi, kas parāda kompleksa skaitļa formu, vikoite dії:
a) 
b) 
iekšā) 
G) 
|
e) |
|
|
|
|
.Nav iespējams viennozīmīgi novilkt kompleksa skaitļa sakni, šķembām var būt vairākas vērtības, kas vienādas ar pirmo soli.
Saliekamie skaitļi tiek paaugstināti līdz trigonometriskās formas līmenim, kuram ir derīga Moivarda formula:
\(\ z^(k)=r^(k)(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)
Tāpat šī formula ir uzvaroša, lai aprēķinātu kompleksā skaitļa (nav vienāds ar nulli) soļa k sakni:
\(\ z^(\frac(1)(k))=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n)))^(\frac( 1)(k))=r^(\frac(1)(k))\left(\cos \frac(\varphi+2 \pi n)(k)+i \sin \frac(\varphi+2 \ ) pi n)(k)\right), \forall k>1, \forall n \in N \)
Ja kompleksais skaitlis nesasniedz nulli, tad ir jāzina soļa k saknes, un їх var noteikt kompleksajā plaknē: tās būs k-griezuma virsotnes, kas ierakstītas kolonnā ar centru uz cob і rādiuss \(\r^(\frac(1) ) (k)) \)
Pielietojiet problēmu pantu
Atrodiet skaitļa \(\z=-1) trešo sakni.
Skaitlis \(\ z = -1 \) trigonometriskā formā ir mazais burts. Skaitļa \(\ z=-1 \) verbālā daļa ir skaitlis \(\ z=-1 \), vārda acīmredzamā daļa \(\ y=\operatora vārds(lm) \), \(\ z=0 \). Lai zinātu kompleksā skaitļa rakstīšanas trigonometrisko formu, jums jāzina tā modulis un arguments.
Kompleksa skaitļa modulis - vesels skaitlis:
\(\r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt((-1)^(2)+0^(2))=\sqrt(1+0)=1 \ )
Argumentu aprēķina pēc šādas formulas:
\(\ \varphi=\arg z=\operatora nosaukums(arctg) \frac(y)(x)=\operatora nosaukums(arctg) \frac(0)(-1)=\operatora nosaukums(arctg) 0=\pi \)
Arī kompleksā skaitļa trigonometriskā forma ir lielāka: \(\ z=1(\cos \pi+i \sin \pi) \)
Tā pati 3. posma sakne izskatās šādi:
\(\ =\cos \frac(\pi+2 \pi n)(3)+i \sin \frac(\pi+2 \pi n)(3) \), \(\ n=0,1, 2\)
\(\ \omega_(1)=\cos \frac(\pi)(3)+i \sin \frac(\pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt( 3)) (2) \)
\(\n=1\) mēs ņemam:
\(\ \omega_(2)=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1 \)
\(\n=2\) mēs varam ņemt:
\(\ \omega_(3)=\cos \frac(5 \pi)(3)+i \sin \frac(5 \pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(- \sqrt(3))(2)=\frac(1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)
\(\ \omega_(1)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2), \omega_(2)=-1, \omega_(3)=\frac( 1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)
Lai atrastu 2. darbības sakni no skaitļa \(\ z=1-\sqrt(3) i \)
Kādu iemeslu dēļ mēs varam redzēt komplekso skaitli trigonometriskā formā.
Skaidra kompleksa skaitļa daļa \(\ z=1-\sqrt(3) i \) є numurs \(\ x=\operatora nosaukums(Re) z=1 \) , tieša daļa \(\ y=\operatora nosaukums(Im ) z =-\sqrt(3) \). Lai zinātu kompleksā skaitļa rakstīšanas trigonometrisko formu, jums jāzina tā modulis un arguments.
Kompleksa skaitļa modulis - vesels skaitlis:
\(\r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt(1^(2)+(-\sqrt(3))^(2))=\sqrt(1+3 )=2 \)
Arguments:
\(\ \varphi=\arg z=\operatora nosaukums(arctg) \frac(y)(x)=\operatora nosaukums(arctg) \frac(-\sqrt(3))(1)=\operatora nosaukums(arctg)(- \sqrt(3))=\frac(2 \pi)(3) \)
Arī kompleksā skaitļa trigonometriskā forma ir:
\(\ z=2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\right) \)
Zastosovuyuchi formula 2. posma saknes noņemšanai, mēs varam ņemt:
\(\z^(\frac(1)(2))=\left(2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\ pa labi)\labie)^(\frac(1)(2))=2^(\frac(1)(2))\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac (2 \pi)(3)\right)^(\frac(1)(2))= \)
\(\ =\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi n\right)+i \sin \left(\frac(\pi)(3)+ \pi n\right)\right), n=0,1 \)
Attiecībā uz \(\\mathrm(n)=0\) mums ir:
\(\ \omega_(1)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+0\right)+i \sin \left(\frac(\pi)( 3)+0\right)\right)=\sqrt(2)\left(\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=\frac(\sqrt (2)) (2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)
Attiecībā uz \(\\mathrm(n)=1\) mums ir:
\(\ \omega_(2)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi\right)+i \sin \left(\frac(\pi) (3)+\pi\right)\right)=\sqrt(2)\left(-\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=-\ frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)
\(\ \omega_(1)=\frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) ; \omega_(2)=-\frac(\sqrt(2) ) ))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)
Entuziasms...
