როგორ გავაფუჭოთ დიფერენციალი. ერთი ცვლილების დიფერენციალური ფუნქცია

მიუხედავად იმისა, რომ მე არ ავუხსენი (ამჟამად) რა არის ასეთი ფუნქცია, მაშინ აზრი არ აქვს იმის ახსნას, თუ რა არის დიფერენციალური ფუნქცია. ყველაზე პრიმიტიულ ფორმულას აქვს დიფერენციალური - ცე "მაიჟე იგივეა, შო თ არის ღირსი".

Pokhіdna ფუნქციები ყველაზე ხშირად მითითებულია მეშვეობით.

ფუნქციის დიფერენციალი სტანდარტულად აღინიშნება (ასე იკითხება - "დე თამაში")

ერთი ცვლადის დიფერენციალური ფუნქცია იწერება ასე:

ჩანაწერის მეორე ვარიანტი:

უმარტივესი ამოცანა: იცოდე დიფერენციალური ფუნქცია

1) პირველი ეტაპი. დავიკარგოთ:

2) კიდევ ერთი ეტაპი. მოდით დავწეროთ დიფერენციალი:

დიფერენციალური ფუნქცია ერთი ან მეორე dekilkoh zminnyh ყველაზე ხშირად vicorist for გამოთვალეთ უახლოესი.

Krіm іnshih zavdan z დიფერენციალური іnоdі züstrіchaєєєєє і "სუფთა" zavdannya rebuvannya დიფერენციალური ფუნქცია. მეორე მხრიდან, ისევე როგორც y-ში pokhіdnoї-ში, დიფერენციალისთვის გასაგებია დიფერენციალის გაგება წერტილში. І takі ვრცელდება mi so razglyademom.

კონდახი 7

იცოდე დიფერენციალური ფუნქცია

მის წინაშე, როგორც იცით, ვაპირებ წასვლას ან დიფერენციალს, დიდწილად მოგიწევთ გაინტერესებთ, მაგრამ, როგორც ჩანს, ფუნქციას ვერ აპატიებთ (ან ფუნქციას დაწერთ) ადრედიფერენციაცია? ჩვენ ვუყურებთ ჩვენს მაგალითს. პირველ რიგში, თქვენ შეგიძლიათ გადააკეთოთ root:

(მეხუთე ხარისხის ფესვი დევს სინუსამდე).

სხვაგვარად, პატივისცემით, სინუს ქვეშ გვაქვს განსხვავება, რომელიც, ცხადია, უნდა იყოს დიფერენცირებული. წილადის დიფერენცირების ფორმულა საკმაოდ რთულია. ჩი არ შეგიძლია სროლა? ამ შემთხვევაში, შესაძლებელია, რიცხვი ტერმინების მიხედვით გავყოთ ბანერად:

ფუნქცია რთულია. ნიუ-ს ორი წვლილი აქვს: სინუსი ინვესტიცია ხდება საფეხურის ქვეშ, ხოლო ვირაზ ინვესტიცია ხდება სინუსში. ჩვენ ვიცით, ვიკორისტმა, დასაკეცი ფუნქციების დიფერენცირების წესი ორჯერ:

მოდით ჩამოვწეროთ დიფერენციალი, რომლითაც ის შეიძლება კვლავ წარმოვაჩინოთ პირველ „ლამაზ“ სახეზე:

თუ ის ცუდია, სამკერდე ნიშანი ჟღერს "ჯოხი" რიცხვების წიგნის ბოლოში (ის შეიძლება იყოს მარჯვენა ხელით დარტყმის ხაზზე).

კონდახი 8

იცოდე დიფერენციალური ფუნქცია

ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტის მაგალითი.

ნაბიჯი ორი კონდახით შეცვალოს დიფერენციალის წერტილი.

კონდახი 9

დიფერენციალური ფუნქციის გამოთვლა წერტილში

დავიკარგოთ:

ვიცი, კარგია ვიცოდე. მაგრამ კიუში ჯობია რიცხვის ჩასმა, ასე რომ შედეგი რაც შეიძლება მარტივია:

Pratsі Buli არა Marni, ჩამოწერეთ დიფერენციალი:

ახლა მოდით გამოვთვალოთ დიფერენციალი წერტილში:

დიფერენციალური ბეჯი არ უნდა წარმოადგენდეს ერთს, მხოლოდ რამდენიმე სხვა ოპერს.

ამოცანები წერტილის სიჩქარის შესახებ, რომელიც იშლება

დაუშვით მატერიალური წერტილის მართკუთხა მოძრაობის კანონი. მნიშვნელოვნად გაივლის გზას, ერთ საათში წერტილის გავლისას და გადის გზა, გადის ერთ საათში. იმავე დღეს პუნქტმა გაიარა გზა, თანაბარი: . დღე ეწოდება წერტილის საშუალო სიჩქარეს ერთი საათით ადრე. რაც ნაკლებია, ტობტო. რაც უფრო მოკლეა ინტერვალი საათსა და საათს შორის, მით უფრო მოკლეა საშუალო სიჩქარე საათის მომენტში მოძრაობის წერტილებს. მისთვის ბუნებრივია მოცემულ მომენტში swidkost-ის კონცეფციის დანერგვა, რომელიც აღნიშნავს її-ს შორის. საშუალო სიმკვეთრეინტერვალით დან მდე, თუ:

მნიშვნელობას ეწოდება წერტილის მიტი მოცემულ მომენტში.

ინსტრუქციები დოტიჩნიზე მოცემული მრუდის შესახებ

მოდით წავიდეთ სიბრტყეზე, მრუდი შეფერხების გარეშე მოცემულია ტოლებს. წერტილში მოცემულ მრუდზე საჭიროა არავერტიკალური წერტილის დახატვა . თუ ბრუნვის წერტილი არის მოცემული, მაშინ ამოცანის მისაღწევად საჭიროა ვიცოდეთ წერტილის ზედა კოეფიციენტი. გეომეტრიიდან ვხედავთ, რომ დე - კუტი ამპარტავნულად დოტირდება დადებით სწორ ღერძზე (დივ. სურ.). ლაქების მეშვეობით і ჩავატაროთ sіchnu, de - Kut, გადაწყვეტილებები sіchuchoyu z დადებითი პირდაპირი ღერძით. პატარადან ჩანს, შო, დე. Kutovy koefіtsієnt, scho stuєtsієєєї єї ї ї ї ї ї ї ї ї ї tochtsі, zhe buti znaydeniya podstavі შეურაცხმყოფელი vyznachennya.

რა მრუდი ეწოდება წერტილს სასაზღვრო ბანაკი sіkuchoї, თუ წერტილი არის სწორი წერტილი . ნახეთ რა მოყვება .

მოგზაურობის დანიშვნა

მათემატიკური ოპერაცია, რომელიც აუცილებელია განხილული მეტი ზავდანის დასასრულებლად და იგივე. ცხადია, რომ ოპერაციის ანალიტიკური ხასიათი ეფუძნება კონკრეტულ საკვებს, რომელსაც ისინი გამოიძახეს.

დაე, ფუნქცია მიენიჭოს მიმდინარე ინტერვალს. ავიღოთ ამ შუალედის მნიშვნელობა. ნადამო იაკების ზრდა (დადებითი ან უარყოფითი). არგუმენტის რომელი ახალი მნიშვნელობაა მოცემული და ფუნქციის ახალი მნიშვნელობა დე .

საწყობის საცავი , Vono є ფუნქცია vіd .

წერტილის ცვლილების შემდეგ მომდევნო ფუნქციას ეწოდება ამ პუნქტში ფუნქციის ინტერ-მატება არგუმენტთან, რომელიც უწოდებს ზრდას, თუ ეს კარგი რანგია:

პატივისცემა. მნიშვნელოვანია, რომ ფუნქციები იყოს ზუსტ წერტილში, თითქოს საზღვარი ფორმულის მარჯვენა ნაწილს შორის არის მთავარი და ბოლო და არ იყოს ტყუილი, როგორც ცვლილება 0-მდე (ლევორუჩი ან მარჯვენა- გადასცა).

მსგავსი ფუნქციის ამოცნობის პროცესს დიფერენციაცია ეწოდება.

მსგავსი ფუნქციური ფუნქციების მნიშვნელობა

ა) Pokhіdna postіynoy.

მოდი დე – ჩქარა, იმიტომ. ფუნქციის მნიშვნელობა სულ ერთია, მაშინ ზრდა უდრის ნულს i, ასევე,

.

Otzhe, pokhіdna nezmennoy dorivnyu ნულოვანი, tobto. .

ბ) პოხіდნა ფუნქციები.

ჩვენ ვინახავთ მეტ ფუნქციებს:

.

მნიშვნელოვანი pokhіdnoї გამარჯვებული ძალაუფლების არსებობისას vikonannya ფუნქციებს შორის, პირველი სასწაული შორის და უწყვეტი ფუნქციები.

ამგვარად, .

კავშირი ფუნქციის დიფერენციაციასა და її უწყვეტობას შორის

ფუნქციას, რომელიც შეიძლება დაიკარგოს წერტილში, ეწოდება დიფერენციალური ფუნქცია იმ წერტილში. ფუნქციას, რომელიც შეიძლება დაიკარგოს გარკვეული ინტერვალის ყველა წერტილში, ეწოდება დიფერენციალური ფუნქცია ამ ინტერვალზე.

თეორემა.მიუხედავად იმისა, რომ ფუნქცია დიფერენცირებულია წერტილში, ის უწყვეტია ამ ეტაპზე.

შემოტანა. Nadamo არგუმენტი საკმარისი zbіlshennya. იგივე ფუნქცია შლის მოგებას. დავწეროთ ტოლობა და გადავიდეთ მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებში საზღვრებზე:

თუ არამუდმივ ფუნქციას აქვს უსასრულოდ მცირე ზრდადი არგუმენტი, თუ ის ადასტურებს ფუნქციის უსასრულოდ მცირე ზრდას, მაშინ თეორემა შეიძლება გამოვიდეს.

პატივისცემა. არ არსებობს გულის ტკენა, ტობტო. წერტილში ფუნქციის შეწყვეტის გარეშე, ერთი შეხედვით განსხვავებული, ამ ეტაპზე დიფერენციაციის გარეშე. მაგალითად, ფუნქცია უწყვეტია ყველასთვის, მაგრამ არ არის დიფერენცირებული წერტილებში. დიინო:

საზღვარი არ არის შეზღუდული, შესაბამისად, ფუნქცია არ არის დიფერენცირებული წერტილამდე.

მსგავსი ელემენტარული ფუნქციების ცხრილი

პატივისცემა. მოდით გამოვიცნოთ ნაბიჯებისა და ფესვების ძალა, რომლებიც გამარჯვებულია ფუნქციების დიფერენცირებისას:

მოდი მიცვალებულთა ცოდნა დავდოთ.

1) .

2)

დასაკეცი ფუნქცია

Მოდი . ეს ფუნქცია იქნება დასაკეცი ფუნქცია x.

როგორ განასხვავებენ ფუნქციას წერტილში x, და ფუნქცია დიფერენცირებულია წერტილში u, შემდეგ ასევე დიფერენცირებულია წერტილში x, უფრო მეტიც

.

1.

გთხოვთ, დიახ. ოტჟე

საკმარისი ცოდნით შევიცვლები uარ დაწეროთ, შემოგთავაზოთ її აზრზე ნაკლები.

2.

დიფერენციალური

წერტილზე უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკზე შეგვიძლია დავხატოთ MT, იცის მეშვეობით ჯїї ავად არის დადებითი სწორი ღერძის მიმართ ოჰ. Oskіlki, შემდეგ ტრიკუტნიკიდან MEFყვირილი რა

შემოღებული ღირებულება

.

ჯეი ვირაზს ეძახიან დიფერენციალურიფუნქციები. ოტჟე

დაიმახსოვრე, რა, ტობტო. რომ დამოუკიდებელი ცვლილების დიფერენციალი უფრო ძვირია აღებული ზრდისთვის

ამგვარად, ჯანსაღი ქმნილების დიფერენციალური ფუნქცია მსგავსია დამოუკიდებელი ცვლილების დიფერენციალთან (ან ზრდასთან).

დანარჩენი ფორმულიდან მიჰყევით, შო, ტობტო. ის მსგავსია ფუნქციის დიფერენციალური არგუმენტის დიფერენციალამდე მიყვანის ფუნქციისა.

ფუნქციის დიფერენციალი დიგეომეტრიულად - დოტიკის ორდინატის ზრდა, რომელიც ასახავს D არგუმენტის ზრდას. X.

პატარასგან გასაგებია, რა უნდა გააკეთოს პატარა დ Xაბსოლუტური მნიშვნელობით, შეგიძლიათ აიღოთ უფრო დიდი ფუნქცია დაახლოებით її დიფერენციალის ტოლი, ანუ.

.

მოდით შევხედოთ დასაკეცი ფუნქციას , de , უფრო მეტიც, ის დიფერენცირებულია uდა - ამისთვის X. დასაკეცი ფუნქციების დიფერენცირების წესის უკან

გავამრავლოთ კიუ ეჭვიანობა dx:

Oskіlki (დიფერენციალური მიზნით), მაშინ

ამგვარად, დასაკეცი ფუნქციის დიფერენციალი შეიძლება იყოს იგივე სახის, იაკბის შეცვლა uბულა არ იყო შუალედური არგუმენტი, არამედ დამოუკიდებელი ცვლილება.

დიფერენციალური სიმძლავრე ე.წ უცვლელობა(უცვლელობა) დიფერენციალური ფორმირება.

კონდახი. .

შეგიძლიათ დაწეროთ დიფერენციალებისთვის დიფერენციაციის წესები.

Მოდი - დიფერენციაცია წერტილებში X. თოდი

დავამატოთ კიდევ ერთი წესი.

Pokhіdna იმპლიციტური ფუნქციები

დაე, თანაბარი იყოს გონება, რომ ცვლილება იწვევს. თუ შეუძლებელია ცალსახად გავლა , (დაე იყოს) მაშინ ასეთი ფუნქცია გამოიძახება ირიბად მოცემული. იმისათვის, რომ ვიცოდეთ ასეთი ფუნქციის ზუსტი ბუნება, აუცილებელია თანაბარი დიფერენციაციის ნაწილების შეურაცხყოფა, ამასთან, ამ ფუნქციის ფუნქციის პატივისცემა. Z otrimanogo ახალი ტოლია იცოდე.

კონდახი. .

შეურაცხყოფის დიფერენცირება ნაწილებად თანაბარი, დამახსოვრება, რომ ეს არის ფუნქცია

ლექცია 4

დიფერენციალური გეომეტრიული გაგების გაგება

დანიშვნა. x მთავარ წერტილში ფუნქციის დიფერენციალი არის უფრო დიდი ფუნქციის მთავარი, წრფივი ნაწილი.

დიფერენციალური ფუნქცია y \u003d f (x) მსგავსია დამოუკიდებელი ფუნქციის x (არგუმენტის) შექმნისა.

ასე უნდა დაიწეროს:

გეომეტრიული გრძნობის დიფერენციალი. დიფერენციალური ფუნქცია y = f(x) უდრის S ორდინატის გაზრდას, ფუნქციის გრაფიკზე გაყვანილი M(x; y) წერტილში, როდესაც x (არგუმენტი) იცვლება მნიშვნელობით (დივ. ფიგურა. ).

რატომ შეიძლება დიფერენციალის ცემა ახლომდებარე გამოთვლებიდან?

დიფერენციალური არის ფუნქციის მთავარი, წრფივი, ვიზუალურად მნიშვნელოვანი ნაწილი; რაც ნაკლებია, მაშინ გაზრდის დიდი ნაწილი ხდება ნაწილი. ვისზე შეგიძლიათ perekonatisya, peresuvaya აზროვნება პერპენდიკულარულად, გამოტოვება წერტილი P (დივ. პატარები) ღერძი Ox, უფრო ახლოს cob კოორდინატები. ამიტომ, მინიმალური მნიშვნელობებისთვის (ამისთვის) ფუნქციის გაზრდა შეიძლება დაახლოებით შეიცვალოს ხელმძღვანელი ნაწილით, ანუ.

განსხვავების შესახებ დიფერენციალური ჩანაწერის სახით

დიფერენციალური ფუნქცია x წერტილში ვგულისხმობ

ოტჟე,

, (2)

y = f(x) დიფერენციალური ფუნქციის ფრაგმენტები კარგია შექმნისთვის, ისევე როგორც დამოუკიდებელი ცვლილების ზრდა.

პატივისცემა. უნდა გვახსოვდეს, რომ თუ x არის არგუმენტის გარე მნიშვნელობა და თუ მნიშვნელობა გაიზარდა, მაშინ უმჯობესია დიფერენციალური წერტილი აიღოთ გარე წერტილიდან x; ფორმულაში (1), რომელიც არ ჩანს ჩანაწერიდან.

დიფერენციალური ფუნქცია შეიძლება დაიწეროს სხვა ფორმით:

(4)

დიფერენციალური ძალა

ამ და შეურაცხმყოფელ აბზაცებში მნიშვნელოვანია კანის ფუნქციები, დიფერენცირებული ყველა ანალიზისთვის, її არგუმენტების მნიშვნელობები.

სიმძლავრის დიფერენციალი, პოხიდნოის ანალოგი:

(С – მუდმივი მნიშვნელობა) (5)

(6)

(7)

(9)

ფორმულები (5) - (9) მოდის სხვადასხვა ფორმულებიდან კანის თანაბრობის ორივე ნაწილის მსგავსი გამრავლებისთვის.

დიფერენციალის შეჩერება ახლომდებარე გამოთვლებში

სხვა აბზაცში ჩასმული გათანაბრება არის ახლოს

საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ დიფერენციალური მიახლოებები ფუნქციის მნიშვნელობის გამოსათვლელად.

მოდი ჩამოვწეროთ მოხსენების სიახლოვე. ასე იაკ

აბსოლიტურად ეს ჩანს

Koristuyuchis nablizhenim znachennyam ნომრები, აუცილებელია დედა მოჟლივისტმა განსაჯოს rіven yogo სიზუსტეზე. ამ მეთოდის დახმარებით შეიძლება გამოვთვალოთ აბსოლუტურად და თვალსაჩინოდ ინდულგენცია.

მიახლოებითი რიცხვის აბსოლუტური სხვაობა უდრის ზუსტ რიცხვსა და სავარაუდო მნიშვნელობას შორის სხვაობის აბსოლუტურ მნიშვნელობას:

სავარაუდო რიცხვის ფარდობითი შეცდომა არის ამ რიცხვის აბსოლუტური შეცდომის გაფართოება ზუსტი ზუსტი რიცხვის აბსოლუტურ მნიშვნელობამდე:

თუ ზუსტი რიცხვი უცნობია, მაშინ

ზოგჯერ, პირველ რიგში, შეამცირეთ ფორმულა (11), აუცილებელია გამომავალი მნიშვნელობის წინ გადაყვანა. როგორც წესი, ბრძოლა ორი მიზნით. უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია დომოგტისი, რათა ლოდის ღირებულება პოვნიანში მცირე იყოს, რაც უფრო ნაკლებია, მით უფრო ზუსტია უახლოესი გაანგარიშების შედეგი. სხვანაირად, ბაჟანო, ღირებულება უბრალოდ გამოითვალა.

24. ფუნქციის დიფერენციალური დანამატი გამოთვლის მიახლოებებზე

გაანგარიშებამდე მიახლოებამდე დიფერენციალის შეჩერება

დიფერენციალურის გაგება ვარაუდობს, რომ თუ პროცესი ახლოსაა წრფივთან მისი ცვლილების ბუნების გამო, მაშინ ფუნქციის ზრდაზე ნაკლებად მოქმედებს დიფერენციალი. გარდა ამისა, ვინაიდან ფუნქცია შეიძლება დაიკარგოს მიმდინარე x წერტილში, მაშინ ზრდა და დიფერენციალი ასევე განუყოფლად მცირეა ზე, რომელიც მცირდება ნულამდე:

Oskilki დიფერენცირებული ფუნქცია უწყვეტია,

ამიტომ გაცვლილი ფუნქციის დამატება უსასრულოდ მცირეზე DX-ზე, რომელიც უდრის ნულს, ფუნქცია უსასრულოდ მცირეა.

უფრო მეტიც, ეს ორი ფუნქცია უსასრულოდ მცირეა, როდესაც ისინი ეკვივალენტურია:

ეკვივალენტობა და მცირე zbіlshennya არგუმენტის მიცემის შესაძლებლობა ახლოს არის

რა შეიძლება იყოს ფორმულა? დაე, სიმღერის წერტილები იყოს ტოლი, უბრალოდ დაითვალეთ i-ის მნიშვნელობები. ტოდი სხვა წერტილში, არც თუ ისე შორს, ხედავთ:

აქ ჩვენ ვავსებთ უკუკავშირს შედეგის სიზუსტის შესახებ. ეს ვითარება ამცირებს ამ ფორმულის ღირებულებას სავარაუდო გამოთვლებისთვის, მაგრამ უფრო მნიშვნელოვანია, რომ ის რქოვანია და ის ფართოდ გამოიყენება პრაქტიკაში.

მოდით შევხედოთ მაგალითს. სწორი ჭრის ტრიკაუტს აქვს ფეხები a = 5 მ და b = 12 მ.

მოდით გავიგოთ ჰიპოტენზიის ხანგრძლივობა:

.

თუ ფეხი a შეიცვალა 0,2 მ-ით, ჰიპოტენუზა იზრდება (ნახ. 11.5, ა)

მოდით ახლა ფორმულა (11.16) y-ის სავარაუდო მნიშვნელობისთვის a ფეხის ცვლილებასთან დაკავშირებით, დავაკვირდეთ ფორმის ფუნქციას:

(B = Const);

ორივე ვიპადკაში ავიღეთ შუკანას მნიშვნელობის სავარაუდო მნიშვნელობა. ალე, პირველ შემთხვევაში შეცდომას აბრალებენ დახურული გამოთვლების შედეგად, მეორეში კი უბრალოდ - დახურული ფორმულების ლინკზე (ასევე შეიძლება მიაღწიოს შეცდომით, რომელიც გამოწვეულია დახურული გამოთვლებით. ). საგულისხმოა, რომ როდესაც ფეხი a შეიცვალა 0,2 მ-ით, ჰიპოტენუზა შეიცვალა დაახლოებით 0,08 მ-ით, ხოლო როდესაც მიახლოებითი მნიშვნელობები იქნა აღებული, როდესაც ფეხი ა შეიცვალა, ის 0,001 მ-ზე ნაკლები იყო.

მოდით შევხედოთ სხვა სიტუაციას: ამ ტრიკოტში შევცვალეთ ჰიპოტენუზა 0,2 მ-ით, ფეხი b დავტოვეთ ცვლილების გარეშე (ნახ. 11.5, ბ). მნიშვნელოვანია, თუ როგორ იცვლება ფეხი A ამ მიმართულებით:

25. შემდგომი ფუნქციების და განრიგის დამატება

თუ გარკვეული პერიოდის განმავლობაში ფუნქციის გრაფიკი არის უწყვეტი ხაზი, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ისეთი ხაზი, რომლის დახატვა შესაძლებელია ზეთისხილის გარეშე ქაღალდის მშვილდში, მაშინ ასეთ ფუნქციას ეწოდება შეუჩერებელი. ამ სივრცეს. Іsnuyut ასევე ფუნქციონირებს, yakі უწყვეტად є. მაგალითად, შეგვიძლია შევხედოთ ფუნქციის გრაფიკს, რომელიც არის ინტერვალებში და [h; ბ] შეუფერხებლად, ალე წერტილში
x \u003d s rozrivnoy და რომ მთლიანობაში vіdrіzka არა შეუფერხებლად. ყველა ფუნქცია, რომელსაც ჩვენ ვასრულებთ სკოლის კურსიმათემატიკოსები, - შეწყვეტის გარეშე ფუნქციონირებს კანის ქვედა ფენაზე, რომელზედაც სუნი ენიჭება.

მნიშვნელოვანია, რომ ფუნქცია შეიძლება დაიკარგოს გარკვეული პერიოდის განმავლობაში, შემდეგ ის შეუფერხებელი იქნება ამ შუალედისთვის.

ზვოროტნეს სიმტკიცე არასწორია. ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია უფსკრულისთვის, შეიძლება არ იყოს მსგავსის დედა უფსკრულის გარკვეულ წერტილებში. მაგალითად, ფუნქცია
y = | ჟურნალი 2 x | შეფერხების გარეშე x > 0 ინტერვალისთვის, მაგრამ x = 1 წერტილში სხვაობა არ არის, ფრაგმენტები ამ ეტაპზე შეუძლებელია.

მოდით შევხედოთ დიაგრამებს დახმარებისთვის.

გამოიყვანეთ f (x) ფუნქციის გრაფიკი \u003d x3 - 2x2 + x.

1) ეს ფუნქცია ენიჭება ყველა x € R-ს.

2) გავიგოთ განხილული ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალები და სხვა მსგავსის მიღმა უკიდურესი წერტილები. Pokhіdna dorivnyuє f "(x) \u003d 3x 2 - 4x + 1. ჩვენ ვიცით სტაციონარული წერტილები:
3x 2 - 4x + 1 = 0, ვარსკვლავები x 1 = 1/3, x 2 = 1.

მსგავსი ნიშნის მინიჭებისთვის, კვადრატულ ტრინომებს 3x 2 - 4x + 1 ვანაწილებთ მამრავლებად:
f "(x) \u003d 3 (x - 1/3) (x - 1). ასევე, x ინტერვალებზე< 1/3 и х >1 მსგავსება დადებითია; ასევე, ფუნქცია იზრდება ინტერვალებით.

პოჰიდნა უარყოფითი 1/3-ზე< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

წერტილი x 1 \u003d 1/3 არის წერტილი მაქსიმუმამდე, მარჯვენა ფრაგმენტები წერტილის მიმართულებით, ფუნქცია იცვლება, მარცხენა კი იზრდება. ამ ეტაპზე ფუნქციის მნიშვნელობა უდრის f (1/3) = (1/3) 3 - 2 (1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

მინიმალური წერტილი არის წერტილი x 2 = 1, მარცხენა ნატეხები წერტილის მიმართულებით, ფუნქცია იცვლება და მემარჯვენე იზრდება; її tsіy წერტილის მნიშვნელობა არის მინიმუმ კარგი f(1) = 0.

3) გრაფიკის მოთხოვნისას დაიწყეთ გრაფიკის ხაზის წერტილების პოვნა კოორდინატთა ღერძებით. Oskіlki f(0) = 0, მაშინ გრაფიკი გაივლის კოორდინატების კობს. Virishuyuchi უდრის f(0) = 0, ჩვენ ვიცით გრაფიკის მრუდის წერტილები მთელი აბსციიდან:

x 3 - 2x 2 + x \u003d 0, x (x 2 - 2x + 1) \u003d 0, x (x - 1) 2 \u003d 0, ვარსკვლავები x \u003d 0, x \u003d 1.

4) ზუსტი ქვენაკვეთისთვის ჩვენ ვიცით ფუნქციის მნიშვნელობა კიდევ ორ წერტილში: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) შემდგომი დაკვირვების შედეგები (პუნქტები 1 - 4), გვექნება y \u003d x 3 - 2x 2 + x ფუნქციის გრაფიკი.

ფუნქციის გრაფიკის გასამხნევებლად, დაურეკეთ ამ ფუნქციის ძალას მსგავსი სქემის დასახმარებლად, 1-ლი საბოლოო ამოცანის სქემის მსგავსი.

ამ რანგში, როდესაც ფუნქციის უფლებამოსილებები მიიღწევა, აუცილებელია იცოდეთ:

1) ფართობი її მინიჭებული;

2) წადი;

3) სტაციონარული წერტილები;

4) წყვეტილი ზრდა და დაშლა;

5) ამ წერტილებში ფუნქციის უკიდურესი წერტილები და მნიშვნელობა.

შემდგომი დაკვირვების შედეგები იწერება ხელით ცხრილების სახით. შემდეგ, vikoristovuyuchi მაგიდა, buduyut გრაფიკის ფუნქციები. უფრო ზუსტი გრაფიკისთვის, თქვენ უნდა იცოდეთ იოგოს ხაზის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით i - საჭიროების შემთხვევაში - გრაფიკის მეტი წერტილი.

თითქოს ჩვენ ვჩერდებით დაწყვილებულ ან დაუწყვილებელ ფუნქციას, მაშინ გრაფიკის წახალისებისთვის საკმარისია ვიყოთ საკმარისად მძლავრი, რომ გამოვიტანოთ დიაგრამა x > 0-ზე და შემდეგ წარმოვიდგინოთ იგი სიმეტრიულად y-ღერძზე (კოორდინატების კობი) . მაგალითად, f (x) \u003d x + 4 / x ფუნქციის ანალიზით, მივდივართ დასკვნამდე, რომ მოცემული ფუნქცია დაუწყვილებელია: f (-x) \u003d -x + 4 / (-x) \u003d - ( x + 4 / x) \u003d -f(x). გეგმის ყველა პუნქტის დასრულების შემდეგ, გვექნება ფუნქციის გრაფიკი x > 0-ისთვის და ფუნქციის გრაფიკი x-ისთვის.< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >0 კოორდინატების კუბამდე.

წარმატებისთვის, ფუნქციების განრიგის დაწყების ამოცანა უმეტესწილად ზეპირად ხორციელდება.

ასევე მნიშვნელოვანია, რომ ზოგიერთი დავალების შესრულების შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია დავრჩეთ საჭირო შემდგომი ფუნქციით არა დანიშვნის მთელ არეალში, არამედ მხოლოდ გარკვეული პერიოდის განმავლობაში, მაგალითად, ეს აუცილებელია. განრიგის გამოწვევა, ვთქვათ, ფუნქცია 4 - x і x f (x) \u003d 2 [-1; 2].

26. ანტიდერივატიული ფუნქცია. არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი და დომინირების იოგა

პირველის დანიშვნა.

პრიმიტიული ფუნქცია f(x) ინტერვალისთვის (a; b) არის ისეთი ფუნქცია F(x), რომელიც იგებს ტოლობას მოცემული ინტერვალიდან ნებისმიერი x-ისთვის.

თუ გავითვალისწინებთ იმას, რომ C მუდმივი ნულის ტოლია, მაშინ ტოლობა სამართლიანია . ამ გზით, ფუნქცია f (x) შეიძლება იყოს უპიროვნო პირველადი F (x) + C, საკმაოდ მუდმივი მნიშვნელობისთვის, უფრო მეტიც, q პირველადი მნიშვნელობები ერთი და იგივეა საკმაოდ მუდმივი მნიშვნელობისთვის.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის დანიშნულება.

ყველა უპიროვნო ძირითად ფუნქციას f(x) ეწოდება ამ ფუნქციის არამნიშვნელოვანი ინტეგრალი და ენიჭება .

ვირაზს ეწოდება ინტეგრანდ ვირაზა, ხოლო f(x)-ს პიინტეგრალურ ფუნქციას. ინტეგრალური ვირაზა არის დიფერენციალური ფუნქცია f(x).

Diya znakhodzhennya nevodomoї funktії მოცემული її დიფერენციალის მიღმა ეწოდება neznahodzhennym іntegruvannym, ამიტომ іntegruvannya є არა ერთი ფუნქციის F(x), არამედ უპიროვნო її პრაიმერი F(x) + C.

შესაძლებელია ხელმოუწერელი ინტეგრალის (პირველის სიძლიერის) სიმძლავრის ფორმულირება და მიყვანა მსგავსის ძლიერებამდე.

1.
უფრო მოწინავე პიდინტეგრალურ ფუნქციის ინტეგრაციის შედეგის მსგავსი.

2.
ფუნქციის დიფერენციალური ინტეგრალის არამნიშვნელობები უდრის თავად ფუნქციის ჯამს და საკმარის მუდმივობას.

3. , de k - საკმაოდ მუდმივი.
p align="justify"> კოეფიციენტს შეიძლება დავაბრალოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის ნიშანი.

4.
ჯამების ინტეგრალის არამნიშვნელოვნება / ფუნქციების განსხვავებები უფრო ძვირი ჯამებია / ფუნქციების ინტეგრალების არამნიშვნელოვნებების განსხვავებები.

განმარტებისთვის შემოტანილია პირველი და განუსაზღვრელი ინტეგრალის სხვა ხარისხების შუალედური ეკვივალენტობა.

მესამე და მეოთხე რანგის დასადასტურებლად, დარწმუნდით, რომ სწორია ტოლობების სწორი ნაწილები:

რიცხვები მსგავსია პიდინტეგრალურ ფუნქციებთან, რაც პირველი ხარისხის დასტურია. დანარჩენ გადასვლებში ის ვერ მოიგებს.

ამ თანმიმდევრობით, ინტეგრაციის ამოცანა არის დიფერენციაციის გარდამტეხი ამოცანა, უფრო მეტიც, მათ შორის მჭიდრო კავშირია:

· პირველი ხელისუფლება იძლევა საშუალებას განახორციელოს ინტეგრაციის ხელახალი შემოწმება. წარსული ინტეგრაციის სისწორის შებრუნებისთვის საკმარისია ზუსტი შედეგის გამოთვლა. დიფერენციაციის შედეგად ფუნქცია ჩნდება თანაბარ ინტეგრანდულ ფუნქციად, მნიშვნელოვანია ინტეგრაციის სწორად განხორციელება;

· განუსაზღვრელი ინტეგრალის სხვა სიმძლავრე საშუალებას იძლევა ვიცოდეთ პირველადი ფუნქციის მოცემული დიფერენციალის უკან. ვისაც ხელისუფლება ეფუძნება უმნიშვნელო ინტეგრალების ყოველგვარი საშუალო გაანგარიშების გარეშე.

მოდით შევხედოთ მაგალითს.

იპოვეთ პირველადი ფუნქცია, რომლის მნიშვნელობა ყველაზე მნიშვნელოვანია x = 1-ზე.

დიფერენციალური გაანგარიშებიდან ვიცით, რომ (გთხოვთ, გადახედოთ მსგავსი ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების ცხრილს). ამგვარად, . სხვა ძალაუფლებისთვის . ტობტო შეიძლება ჯერ უპიროვნო იყოს. x = 1-ისთვის მიიღება მნიშვნელობა. გონებისთვის, ღირებულება შეიძლება იყოს უფრო მარტო, მაშინ, C \u003d 1.

თუ მსგავსი ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების ცხრილი შეიძლება გადაიწეროს დიფერენციალებად, მაშინ მისგან, განუსაზღვრელი ინტეგრალის სხვა ავტორიტეტის მიხედვით, შესაძლებელია პრიმიტივების ცხრილის დამატება.

მსგავსი ინფორმაცია.

ჟურნალის დიფერენციაცია

სხვადასხვა ფუნქციების დიფერენცირება მარტივია, თითქოს ისინი წინსვლის პროლოგარითმია. ვისთვის გჭირდებათ ასეთი მეთოდი. რაც თქვენ უნდა იცოდეთ წთანაბარისაგან y=f(x), მაშინ შეგიძლიათ:

ვრცელდება.

SHOW-STIP ფუნქცია და დიფერენციაცია

შოუ-სახელმწიფოფუნქციას ეწოდება გონების ფუნქცია y = u v, დე u=u(x), v=v(x).

ლოგარითმული დიფერენციაცია zastosovuєtsya znahodzhennia pokhіdnoї vіd შოუ-ნაბიჯ ფუნქციებისთვის.

ვრცელდება.

TABLE VIROBNIH

ერთ ცხრილში გაერთიანებულია ყველა ძირითადი ფორმულა, რომელიც განაგებდა დიფერენციაციას, ადრე წარმოდგენილი. ყველგან ვიფიქრებთ u=u(x), v=v(x), Z = კონსტ. მსგავსი ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებისთვის ვიყენებთ თეორემას მსგავსი დასაკეც ფუნქციის შესახებ.

ვრცელდება.

დიფერენციალური ფუნქციის კონცეფცია. ZV'YAZOK MIZH დიფერენციალური და ვირობნიჩი

მოდი ფუნქცია y=f(x)დიფერენცირებული vіdrіzku [ ა; ბ]. Pokhіdna tsієї funktsії u სიმღერის წერტილი X 0 Î [ ა; ბ] ნიშნავდა ეჭვიანობას

.

მამაო, შუაგულის გულისთვის

მიღებული ეკვივალენტობის ყველა წევრის გამრავლება Δ-ზე x, ჩვენ ვიღებთ:

Δ წ = ვ"(x 0)·Δ x+ a Δ x.

Otzhe, უსასრულოდ მცირე ნამატი Δ წდიფერენცირებული ფუნქცია y=f(x)შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი დოდანკოვის ჯამის დანახვაზე, რისთვისაც ჯერ є (ერთად ვ"(X 0) ≠ 0) თავის ნაწილი, წრფივი მანძილი Δ xდა მეორეს მხრივ, უმაღლესი რიგის უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობა, ქვედა Δ x. გაზრდილია ფუნქციის ძირითადი ნაწილი, ტობტო. ვ"(X 0)·Δ xუწოდეს ფუნქციის დიფერენციალი წერტილში X 0 მე აღვნიშნავ დი.

ამ რანგში, როგორც ფუნქცია y=f(x)შეიძლება წავიდე ვ"(x) წერტილში x, მაშინ tvіr pokhіdnoї ვ"(x) გაზრდის Δ xდაუძახეთ არგუმენტს ფუნქციის დიფერენციალიმე ვგულისხმობ:

ჩვენ ვიცით დიფერენციალური ფუნქცია y= x. რა მიმართულებით წ" = (x)" = 1 მე, მოგვიანებით, დი=dx=Δ x. ამ გზით, დიფერენციალური dxდამოუკიდებელი მაღარო x zbіgaєtsya z її zbіlshennyam Δ x. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ფორმულა (1) შემდეგნაირად:

დი = ვ "(x)dx

Ale z ogo spіvvіdnoshnja vyplivaє, scho. ოჰ, წავალ ვ "(x) შესაძლებელია ფუნქციის დიფერენციალის დაყენება დამოუკიდებელი ცვლილების დიფერენციალზე.

ადრე ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ წერტილის ფუნქციის დიფერენციაციის გამო, წერტილის დიფერენციაციის საფუძველი აშკარაა.

სამართლიანი, რომ zvorotne სიმტკიცე.

უბრალოდ რა მნიშვნელობისთვის xფუნქციის გაზრდა Δ წ = ვ(x+Δ x) – f(x)შეგიძლიათ შეიტანოთ Δ-ის დანახვაზე წ = ა·Δ x+ α, de α - უსაზღვროდ მცირე მნიშვნელობა, როგორც ეს სიამოვნებს გონებას, tobto. ყუთი ფუნქციისთვის y=f(x)іsnuє დიფერენციალი dy=A dxსიმღერის ადგილზე x, მაშინ ეს ფუნქცია შეიძლება დაიკარგოს წერტილში xі ვ "(x)=ა.

დეისნო, ალბათ, და იმაზე, რომ Δ x→0, შემდეგ .

ამგვარად, ფუნქციების დიფერენციაციასა და დიფერენცირების მიზეზებს შორის, კიდევ უფრო მჭიდრო კავშირია, შეურაცხყოფა ერთნაირად ძლიერია.

ვრცელდება.იცოდე ფუნქციების განსხვავებები:

გეომეტრიული დიფერენციალური ZMIS

მოდით შევხედოთ ფუნქციას y=f(x)და მრუდი. აიღეთ მრუდის სრული წერტილი M(x; y),მრუდზე დახატვა tsij i წერტილში მნიშვნელოვნად კუტის გავლით, რომელიც დოტისტურად აკმაყოფილებს ღერძის დადებით მიმართულებას ოქსი. დამო დამოუკიდებელი ცვლილება xნამატი Δ x, მაშინ ფუნქცია იღებს Δ ნამატს წ = ნმ 1 . ღირებულებები x+Δ xі წ+Δ წმოსახვევზე y = f(x)წერტილი

მ 1 (x+Δ x; წ+Δ წ).

Z Δ MNTცნობილია NT=MN tgα. იმიტომ რომ tgα = ვ "(x), ა MN = Δ x, ეს NT = ვ "(x)·Δ x. ალე დანიშნული დიფერენციალისთვის დი=ვ "(x)·Δ xრომ დი = NT.

ამრიგად, f(x) ფუნქციის დიფერენციალი, რომელიც იძლევა მოცემულ x და Δx მნიშვნელობებს, ორდინატის ზრდა y=f(x) მრუდამდე qiy x წერტილში.

თეორემა დიფერენციალური ინვარიანტობის შესახებ

ადრე ჩვენ ბაჩილი, მერე რა u• დამოუკიდებელი ცვლადი, შემდეგ დიფერენციალური ფუნქცია წ=ვ "(u) შეიძლება ნახოთ დი = ვ "(u)დუ.

ნაჩვენები იქნება, რომ ეს ფორმა აღებულია იმ დამოკიდებულებიდან, თუ uარა დამოუკიდებელი ცვლილება, არამედ ფუნქცია, ანუ. ჩვენ ვიცით დასაკეცი ფუნქციის დიფერენციალური ტერმინი. Მოდი y=f(u), u=g(x)ან y = f(g(x)). შემდეგ დაიცავით დასაკეცი ფუნქციების დიფერენცირების წესი:

.

მამაო, დანიშნულისთვის

ალი გ"(x)dx= დურომ dy=f"(u)du.

მიმ შემოიტანა შეტევითი თეორემა.

თეორემა.დასაკეცი ფუნქციის დიფერენციალი y=f(u), რისთვისაც u=g(x), შესაძლოა იგივე სანახაობა dy=f"(u)duიაკი ვინ მავ ბი, იაკბი შუალედური არგუმენტი u bv დამოუკიდებელი ცვლილება.

წინააღმდეგ შემთხვევაში, პირველ რიგში განლაგებული დიფერენციალური ფორმის მიხედვით, ეს არის დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქციის არგუმენტი და სხვა არგუმენტის ფუნქცია. დიფერენციალური სიმძლავრე ე.წ დიფერენციალური უცვლელი ფორმა.

კონდახი.. Ვიცი დი.

ჩვენ ვიცით, Vahovuyuchi სიმძლავრის ინვარიანტობა დიფერენციალის მიმართ

.

დიფერენციალური სტატუსის დადგენა აივ-თან მიდგომამდე

მოგვეცით ფუნქციის მნიშვნელობა წ 0 =f(x 0 ) რომ її კარგია წ 0 " = ვ "(x0) წერტილში x0. მოდით ვაჩვენოთ, როგორ გავიგოთ ფუნქციის მნიშვნელობა რეალურ დახურულ წერტილში x.

როგორც უკვე ავხსენით Δ-ის გაზრდილი ფუნქცია წშეგიძლიათ გადაიხადოთ სუმის Δ-ს დანახვაზე წ=დი+α·Δ x, მაშინ. zbіlshennya funktії vіdіznyаєtsya vіd dіfferenіalі ღირებულებით neskіchenno მცირე. რომ, nehtuyuchi პატარა Δ xკიდევ ერთი დოდანკი უახლოეს დასახლებებში და ისინი კოროზიულია Δ ახლო ეკვივალენტით წ≈დიან Δ წ» ვ"(x0)·Δ x.

ვინაიდან, მიზნისთვის, Δ წ = ვ(x) – ვ(x0), ეს f(x) – f(x0)≈ვ"(x0)·Δ x.

ვრცელდება.

ვირობნიჩი მაღალი ორდერები

მოდი ფუნქცია y=f(x)დიფერენცირებული deyakom vіdrіzku [ ა; ბ]. -ის მნიშვნელობა ვ"(x), ვზაგალი ეტყობა, დაწექი x, მაშინ. კარგი ვ"(x) ასევე ცვლილების ფუნქციაა x. გაუშვით ეს ფუნქცია. დიფერენციაცია її, მოდით ვუწოდოთ მას მეგობარი, როგორიცაა ფუნქცია f(x).

Pokhіdna როგორც პირველი pokhіdnoї ჰქვია სხვა შეკვეთის მსგავსიან კიდევ ერთი პოხіდნი vіd tsієї ფუნქციები y=f(x)და აღნიშნავენ წ"აბო" ვ""(x). ოტჟე, წ"" = (წ")".

მაგალითად, მოსწონს ზე = X 5, მაშინ წ"= 5x 4 და წ""= 20x 4 .

ანალოგიურად, საკუთარ ხაზში, განსხვავებული თანმიმდევრობით, ასევე შეგიძლიათ განასხვავოთ. Pokhіdna როგორც სხვა pokhіdnoї ჰქვია მსგავსი მესამე რიგიან მესამეაღინიშნება y"""ან f"""( x).

ვზაგალი, N-ე რიგის მსგავსიფუნქციის ტიპი f(x)სახელწოდებით pokhіdna (persha) in vid pokhіdnoї ( ნ- 1) რიგით, აღინიშნება სიმბოლოთი წ(n) ან ვ(n) ( x): წ(n) = ( წ(n-1))".

Otzhe, perebuvannya pokhіdno ї higher order in іd єї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ії ії ії ії ії іїї lower orders.

დანიშნული დიფერენციალი

მოდით შევხედოთ ფუნქციას \(y = f\left(x \right),\) როგორც უწყვეტი ინტერვალში \(\left[(a,b) \right].\) დავუშვათ, რომ რეალურ წერტილში \( (x_0) \ in \left[ (a,b) \right]\) ნაზრდის დამოუკიდებელი ცვლილება \(\Delta x.\) \(\Delta y,\) ფუნქციის ზრდა გამოიხატება ფორმულით \[\Delta y = \Delta f\left(((x_0)) \right) = f\left(((x_0) + \Delta x) \right) - f\left(((x_0)) \ მარჯვნივ) .\] ნებისმიერი დიფერენცირებული ფუნქცია, ნამატი \(\Delta y\) შეიძლება ჩაითვალოს ორი მიმატების ჯამად: \[\Delta y = A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right) ,\] de პირველი ტერმინი (ე.წ თავის ნაწილი ნამატი) წრფივად დევს ნამატში \(\დელტა x,\) და სხვა ტერმინი შეიძლება იყოს უფრო მაღალი რიგის ნივთები \(\დელტა x.\) ვირაზ \(A\Delta x\) ე.წ. ფუნქციის დიფერენციალი i აღინიშნება \(dy\) ან \(df\left(((x_0)) \right).\)

მოდით შევხედოთ ფუნქციის (დელტა y) ორ ნაწილად გაფართოების იდეას მარტივ კონდახზე. დავაცადეთ ამოცანები კვადრატით \((x_0) = 1 \,\text(m)\,\) (პატარები \(1\)). ეს ფართობი აშკარად უფრო დიდია \[(S_0) = x_0^2 = 1 \,\text(m)^2.\] კვადრატის გვერდის გაზრდა \(\დელტა x = 1\,\ტექსტი(სმ) ,\ ) მაშინ უფრო ზუსტად უფრო დიდი კვადრატის ფართობის მნიშვნელობა ხდება \ tobto. გაიზარდა ფართობი \(\Delta S\) მეტი \[ (\Delta S = S - (S_0) = 1.0201 - 1 = 0.0201\,\text(m)^2 ) = (201\,\text(სმ)^2 .) \] ახლა \(\Delta S\) მატება ასე გამოიყურება: \[\require(cancel) (\Delta S = S - (S_0) = (\left(((x_0) + \Delta x ) \მარჯვნივ)^2) - x_0^2 ) = (\გაუქმება(x_0^2) + 2(x_0)\დელტა x + (\მარცხნივ((\დელტა x) \მარჯვნივ)^2) - \ გაუქმება(x_0 ^2) ) = (2(x_0)\დელტა x + (\მარცხნივ((\დელტა x) \მარჯვნივ)^2) ) = (A\დელტა x + \omicron\მარცხნივ((\დელტა x) \მარჯვნივ) ) = (dy + o\left((\Delta x) \right).) \] ამიერიდან, \(\Delta S\) ფუნქციის ზრდა ემატება სათავე ნაწილიდან (ფუნქციის დიფერენციალი), რომელიც პროპორციულია \(\დელტა x\) და მეტი \ i სიმცირის უმაღლესი რიგის პუნქტები, საკუთარ ხაზში ტოლია \[\omicron\left((\Delta x) \right) = (\left((\Delta) x) \მარჯვნივ)^2) = (0.01^2) = 0.0001\,\ტექსტი(მ)^2 = 1\,\ტექსტი(სმ)^2.\] = 201\,\ტექსტი(სმ)^2 .\)

პატივისცემით, ამ აპლიკაციაში კოეფიციენტი \(A\) უფრო მნიშვნელოვანია, ვიდრე მსგავსი ფუნქციის მნიშვნელობა \(S\) წერტილში \((x_0):\) \ თეორემა :

კოეფიციენტი \(A\) ფუნქციის ხელმძღვანელი ნაწილის გაზრდის წერტილში \((x_0)\) ზრდის ქვედა \(f"\left(((x_0)) \right)\) მნიშვნელობას მე-ზე. წერტილი, ეს ზრდა \( \Delta y \) გამოიხატება ფორმულით \[ (\Delta y = A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right) ) = (f"\left(( (x_0)) \მარჯვნივ)\დელტა x + \ omicron\left((\Delta x) \მარჯვნივ).) \] განტოლების მავნე ნაწილების გამოყოფა \(\Delta x \ne 0,\) შესაძლოა \[ (\frac((\Delta y)))((\ Delta x)) = A + \frac((\omicron\left((\Delta x) \მარჯვნივ)))((\Delta x)) ) = ( f"\left(((x_0)) \მარჯვნივ ) + \frac((\omicron\left((\Delta x) \მარჯვნივ)))((\Delta x)).) \] (x_0):\) \[ (y"\ left(((x_0)) \მარჯვნივ) = \lim\limits_(\დელტა x \ 0-მდე) \frac((\დელტა y))((\დელტა x)) ) = (A = f"\left(((x_0)) \right).) \] აქ ჩვენ მოვიტყუეთ, რომ მცირე მნიშვნელობისთვის \(\omicron\left((\Delta x) \right)\) უფრო მაღალი რიგის სიმცირე, დაბალი \( \Delta x,\) შუამავალი \[\lim\limits_(\Delta x \ 0-მდე) \frac((\omicron\left((\Delta x) \მარჯვნივ))) ((დელტა x)) = 0.\] დამოუკიდებელი ცვლილების დიფერენციალი \(dx\) გააუმჯობესოს ზრდა \(\Delta x:\) \ შემდეგ spіvvіdnoshennia \ sled, რა \ tobto. Pokhіdnu ფუნქციები, შესაძლებელია, როგორც ორი დიფერენციალის დაყენება.

ფუნქციის დიფერენციალური გეომეტრიული გრძნობა

პატარა \(2\) სქემატურად აჩვენებს უფრო დიდი ფუნქციის \(\Delta y\) დაყოფას თავში \(A\Delta x\) (ფუნქციის დიფერენციალი) და სიმცირის უმაღლესი რიგის ტერმინს \ (\omicron\left((\Delta x)\მარჯვნივ)\).

Dotychnaya \(MN\), შესრულებულია მრუდე ფუნქციამდე \(y = f\left(x \right)\) წერტილში \(M\), როგორც ჩანს, ცუდად გამოიყურება \(\alpha\), რაღაც უკეთესის ტანგენსი: \[\tan \alpha = f"\left(((x_0)) \right).\] როდესაც არგუმენტი იცვლება \(\დელტა x\), ნამატი \(A \დელტა x.\) , დადგენილი დოტიკური, ანუ დიფერენციალური ფუნქცია. ).

დიფერენციალური ძალა

მოდით \(u\) და \(v\) − შეცვალონ ფუნქციები \(x\). დიფერენციალს შეიძლება ჰქონდეს იგივე სიმძლავრე:

1. მუდმივი კოეფიციენტი შეიძლება დავაბრალოთ დიფერენციალურ ნიშანს:

   \(d\left((Cu) \right) = Cdu\), სადაც \(C\) არის მუდმივი რიცხვი.

2. დიფერენციალური ჯამის (საცალო) ფუნქციები:

   \(d\left((u \pm v) \მარჯვნივ) = du \pm dv.\)

3. დიფერენციალური მუდმივი მნიშვნელობა ნულამდე:

   \(d\მარცხნივ(C \მარჯვნივ) = 0.\)

4. დამოუკიდებელი ცვლილების \(x\) დიფერენცია გაზრდისთვის:

   \(dx = \დელტა x.\)

5. დიფერენციალური ხაზოვანი ფუნქცია ზრდისთვის:

   \(d\ მარცხენა ((ცული + ბ) \მარჯვნივ) = \დელტა \მარცხნივ((ცული + ბ) \მარჯვნივ) = a\დელტა x.\)

6. დიფერენციალი ქმნის ორ ფუნქციას:

   \(d\left((uv) \მარჯვნივ) = du \cdot v + u \cdot dv.\)

7. პირადი ორი ფუნქციის დიფერენციალი:

   \(d\left((\large\frac(u)(v)\normalsize) \right) = \large\frac((du \cdot v - u \cdot dv))(((v^2))) \ნორმალური ზომა.\)

8. დიფერენციალური ფუნქცია უფრო ჰგავს არგუმენტის წარმოებულს:

   \ (dy = df \ მარცხენა (x \ მარჯვენა) = f" \ მარცხენა (x \ მარჯვენა) dx.\)

როგორც ხედავთ, დიფერენციალური ფუნქცია \(dy\) შეცვლილია, როგორც მსგავსი მულტიპლიკატორი \(dx\). მაგალითად, \[(d\left(((x^n)) \right) = n(x^(n - 1))dx,)\;\; (d\left((\ln x) \მარჯვნივ) = \frac((dx))(x),)\;\; (d\left((\sin x) \right) = \cos x dx) \] და ასე შემდეგ.

დიფერენციალური უცვლელი ფორმა

მოდით განვიხილოთ ორი ფუნქციის შემადგენლობა \(y = f\left(u \right)\) და \(u = g\left(x \right),\) შემდეგ. ჩამოყარეთ ფუნქცია \(y = f\left((g\left(x \right)) \right).\), სადაც ქვედა ინდექსი მიუთითებს ცვლილებაზე, რომლისთვისაც უნდა განხორციელდეს დიფერენციაცია.

"გარე" ფუნქციის დიფერენციალი \(y = f\left(u \right)\) შეიძლება ჩაიწეროს ვიზუალურად \ "შიდა" ფუნქციის დიფერენციალი \(u = g\left(x \right)\ ) შეიძლება ნაჩვენები იყოს ანალოგიურად: \ \ (du \) წინა ფორმულაში, შემდეგ ვიღებთ \ Oskіlki \ ((y "_x) \u003d (y" _u) \ cdot (u "_x),\) შემდეგ \ ვირაზის ფორმები ფუნქციის დიფერენციალისთვის, როგორც "მარტივი" ფუნქციის შემთხვევაში. დიფერენციალური უცვლელი ფორმა .