Anche se non ho spiegato (al momento) cos'è una tale funzione, non ha senso spiegare cos'è una funzione differenziale. La formula più primitiva ha un differenziale - tse "mayzhe quelli stessi, scho th è degno".
Le funzioni di Pokhіdna sono spesso indicate tramite .
Il differenziale della funzione è normalmente indicato con (quindi viene letto - "de game")
La funzione differenziale di una variabile si scrive in questo modo:
La seconda opzione per il record: 
Il compito più semplice: conoscere la funzione differenziale
1) Primo stadio. Perdiamoci:
2) un'altra fase. Scriviamo il differenziale:
La funzione differenziale dell'uno o dell'altro dekilkoh zminnyh il più delle volte vicorista per calcola il più vicino.
Krіm іnshih zavdan z differenziale in züstrіchaєєєєєє і funzione differenziale "pura" zavdannya rebuvannya. Dall'altro lato, come la y nel pokhіdnoї, per il differenziale è chiaro capire il differenziale nel punto. І takі applicare mi so razglyademom.
culo 7
Conoscere la funzione differenziale 
Davanti a lui, come sai vado o il differenziale, dovrai chiederti in larga misura, ma non riesci a perdonare la funzione (o scrivere la funzione) prima differenziazione? Guardiamo il nostro esempio. Per prima cosa, puoi rifare la radice:
(la radice del quinto grado si trova fino al seno).
In modo diverso, rispettosamente, sotto il seno abbiamo una differenza, che, ovviamente, dovrebbe essere differenziata. La formula per differenziare una frazione è piuttosto ingombrante. Chi non puoi fare un tentativo? In questo caso, è possibile, dividiamo il numero per termine in un banner:
La funzione è complicata. New ha due contributi: il seno viene investito sotto il gradino e viraz viene investito sotto il seno. Conosciamo, vicorist, la regola di differenziazione delle funzioni di piegatura 
due volte:
Segnaliamo il differenziale, con il quale si può riproporre al primo look “bello”:
Se è cattivo, il badge suonerà "stick" alla fine del registro dei numeri (può essere destrorso sulla linea di tiro).
culo 8
Conoscere la funzione differenziale
Questo è un esempio di soluzione indipendente.
Passo due mozziconi per cambiare il differenziale nel punto.
culo 9
Calcola la funzione differenziale 
al punto
Perdiamoci: 
Lo so, è bello saperlo. Ma in qiu, è meglio mettere un numero, quindi il risultato è il più semplice possibile:
Pratsі buli non marni, annota il differenziale: 
Ora calcoliamo il differenziale nel punto: 
Lo stemma del differenziale non deve necessariamente rappresentare uno solo, solo alcune delle altre opere.
Compiti sulla velocità del punto che sta collassando
Sia la legge del movimento rettilineo del punto materiale. Significativamente attraverso il percorso, passando per un punto in un'ora, e attraverso 
strada, passando in un'ora. Lo stesso giorno, il punto è passato, uguale: . Il giorno è chiamato la velocità media del punto un'ora prima. Che cosa è meno, tobto. Minore è l'intervallo tra l'ora e l'ora, minore è la velocità media che caratterizza i punti di movimento al momento dell'ora. È naturale per lui introdurre il concetto di swidkost in un dato momento, denotando її come tra croccantezza media per un intervallo da a , se:
Il valore è chiamato mitte del punto in un dato momento.
Istruzioni su dotichny alla curva data
 |
Andiamo in piano, la curva è data senza interruzione alla pari. È necessario disegnare un punto non verticale sulla curva data nel punto 
. Se viene fornito il punto di rotazione, per il raggiungimento dell'attività è necessario conoscere il coefficiente di punto più alto. Dalla geometria, vediamo che, de - Kut dotico arrogantemente su un asse rettilineo positivo (div. Fig.). Attraverso le macchie 
і 
conduciamo un sіchnu, de - Kut, soluzioni con un asse diretto positivo sіchuchoyu z. Dal piccolo puoi vedere, sho, de. Kutovy koefіtsієnt, scho stuєtsієєєї єї ї ї ї ї ї ї ї ї ї tochtsі, zhe buti znaydeniya podstavі offensive vyznachennya.
Quale curva viene chiamata nel punto campo di confine sіkuchoї, se il punto è il punto giusto .
Guarda cosa segue 
.
Appuntamento di viaggio
Operazione matematica, necessaria per il completamento del rivisto più zavdan, e lo stesso. È chiaro che la natura analitica dell'operazione si basa su cibo specifico che hanno richiamato.
Assegna la funzione all'intervallo corrente. Prendiamo il significato di questo intermezzo. Nadamo yakes incrementa (positivo o negativo). Quale nuovo valore dell'argomento viene fornito e il nuovo valore della funzione 
de .
Stoccaggio di magazzino 
, Vono є funzione vіd .
La funzione successiva dopo la modifica del punto è chiamata interincremento della funzione in questo punto per l'argomento, che ha chiamato l'incremento, se è un buon rango:
Rispetto. È importante che le funzioni si trovino nel punto esatto, come se il confine tra la parte destra della formula fosse la principale e l'ultima e non mentissero in aggiunta, come aumento della variazione a 0 (levoruch o right- consegnato).
Il processo di riconoscimento di una funzione simile è chiamato differenziazione.
Significato di funzioni funzionali simili
a) Pokhіdna postіynoy.
Andiamo de - veloce, perché. il valore della funzione è uguale, quindi l'aumento è uguale a zero i, inoltre,
.
Otzhe, pokhіdna nezmennoy dorivnyu zero, tobto. .
b) Funzioni di Pokhіdna.
Memorizziamo più funzioni:
.
In presenza di un significativo potere vittorioso pokhіdnoї tra le funzioni vikonannya, le prime miracolose tra e funzioni ininterrotte.
In modo tale, 
.
Collegamento tra differenziazione di funzione e її continuità
Una funzione che può essere persa in un punto è chiamata funzione differenziale in quel punto. Una funzione che può essere persa in tutti i punti di un certo intervallo è chiamata funzione differenziale su quell'intervallo.
Teorema. Sebbene la funzione sia differenziata in un punto, a questo punto è ininterrotta.
Portare. Argomento di Nadamo abbastanza zbіlshennya. La stessa funzione rimuove il guadagno. Scriviamo l'uguaglianza e passiamo al confine nelle parti sinistra e destra con:
Se una funzione non permanente ha un argomento incrementale infinitamente piccolo, se dimostra un aumento infinitamente piccolo della funzione, allora il teorema può essere sollevato.
Rispetto. Non esiste un crepacuore, tobto. senza interruzione della funzione nel punto, apparentemente diverso, non mostrando differenziazione a questo punto. Ad esempio, la funzione è ininterrotta per tutti , ma non differenziata in punti. Diyno:
Il confine non è limitato, quindi la funzione non è differenziata fino al punto.
Tabella di funzioni elementari simili
Rispetto. Indovina il potere dei passi e delle radici, che sono vittoriosi quando si differenziano le funzioni:
Mettiamo la conoscenza dei morti.
1) 
.
2) 
Funzione pieghevole
Avanti 
. Quella funzione sarà una funzione comprimibile in X.
Come viene differenziata la funzione in quel punto X, e la funzione è differenziata nel punto tu, Quindi anche differenziato al punto X, inoltre
.
1. 
Per favore, sì. Otzhe
Con una conoscenza sufficiente, cambierò tu non scrivere, introducendo її meno di un pensiero.
2. 
Differenziale
 |
Al grafico di una funzione non-stop in un punto, possiamo disegnare mt, conoscendo jїї kut malaticcio su un asse rettilineo positivo Oh. Oskіlki, poi da trikutnik MEF urlando cosa
Valore introdotto
.
Si chiama Cey viraz differenziale funzioni. Otzhe
Ricorda, cosa, tobto. che il differenziale del cambiamento indipendente è più costoso alla crescita, presa
In questo modo, la funzione differenziale di una creazione sana è simile al differenziale (o aumento) di un cambiamento indipendente.
Dal resto della formula, segui, sho, tobto. È simile alla funzione di portare il differenziale della funzione al differenziale dell'argomento.
Differenziale di funzione dio geometricamente - l'incremento dell'ordinata del dotico, che riflette l'incremento dell'argomento D X.
Dal piccolo è chiaro cosa fare al piccolo D X in valore assoluto, puoi prendere la funzione più grande approssimativamente uguale al differenziale її, cioè.
.
Diamo un'occhiata alla funzione di piegatura , de , inoltre, è differenziata da tu, e per X. Dietro la regola di differenziazione delle funzioni di piegatura
Moltiplichiamo qiu gelosia per dx:
Oskіlki (ai fini del differenziale), quindi
In questo modo, il differenziale della funzione di piegatura può essere dello stesso tipo, yakby change tu bula non era un argomento intermedio, ma un cambiamento indipendente.
Si chiama la potenza del differenziale invarianza(immutabilità) formare un differenziale.
culo. .
Puoi scrivere le regole di differenziazione per i differenziali.
Avanti 
– differenziazione a punti X. Todi
Aggiungiamo un'altra regola.
Funzioni implicite di Pokhіdna
Sia data uguale alla mente che il cambiamento chiama. Se non è possibile passare in modo esplicito , (lascia che sia), viene chiamata tale funzione dato implicitamente. Per conoscere l'esatta natura di tale funzione, è necessario offendere parti di uguale differenziazione, pur rispettando la funzione di tale funzione. Z otrimanogo nuovo uguale a sapere.
culo. .
Differenziazione degli insulti in parti uguali, ricordando che è una funzione di
Lezione 4
Comprendere quel senso geometrico del differenziale
Appuntamento. Il differenziale della funzione nel punto principale x è la parte lineare principale della funzione più grande.
La funzione differenziale y \u003d f (x) è simile alla creazione di una funzione indipendente x (argomento).
Dovrebbe essere scritto così:
Differenziale di senso geometrico. La funzione differenziale y = f(x) è uguale all'aumento dell'ordinata S, tracciata sul grafico della funzione nel punto M(x; y), quando x (argomento) è cambiato di un valore (figura div. ).
Perché il differenziale può essere battuto dai calcoli vicini?
Il differenziale è la parte principale, lineare e visivamente significativa della funzione; Ciò che è meno, allora la maggior parte dell'aumento è diventare una parte. A chi puoi perekonatisya, peresuvaya pensando perpendicolare, omissioni dal punto P (div. piccoli) all'asse Ox, più vicino alla pannocchia di coordinate. Pertanto, per i valori minimi (per) l'aumento della funzione può essere approssimativamente sostituito dalla parte della testa, cioè.
Sulla differenza forma il record del differenziale
Funzione differenziale nel punto x intendo
Otzhe,
, (2)
i frammenti della funzione differenziale y = f(x) sono utili per la creazione, in modo simile all'aumento del cambiamento indipendente.
Rispetto. È necessario ricordare che se x è il valore esterno dell'argomento, e se il valore viene aumentato, allora è meglio prendere il punto differenziale dal punto esterno x; nella formula (1), che non è visibile dal record.
La funzione differenziale può essere scritta in un'altra forma:
(4)
La potenza del differenziale
In questo e nei paragrafi offensivi, le funzioni della pelle sono importanti, differenziate per tutte le analisi, i significati degli argomenti її.
Differenziale di potenza, analogo a pokhidnoy:
(С – valore costante) (5)
(6)
(7)
(9)
Le formule (5) - (9) provengono da formule diverse per moltiplicazioni simili di entrambe le parti dell'uniformità della pelle.
Arresto del differenziale nei calcoli vicini
Inserito in un altro paragrafo l'equalizzazione è vicina
consente di modificare il differenziale per le approssimazioni per calcolare il valore della funzione.
Scriviamo la vicinanza del rapporto. così yak
Assolutamente visibile
Koristuyuchis nablizhenim znachennyam numeri, è necessario madre mozhlivist per giudicare l'accuratezza di Yogo. Con l'aiuto di questo metodo, si può calcolare l'indulgenza assoluta e visibile.
La differenza assoluta del numero approssimativo è uguale al valore assoluto della differenza tra il numero esatto e il valore approssimativo:
L'errore relativo del numero approssimativo è l'estensione dell'errore assoluto di questo numero al valore assoluto del numero esatto esatto:
Se il numero esatto è sconosciuto, allora
A volte, prima, abbassa la formula (11), è necessario convertire il valore di output in avanti. Di norma, combattere per due scopi. In primo luogo, è necessario domogtis, in modo che il valore del masso sia piccolo in povnyannі s, meno, più accurato è il risultato del calcolo più vicino. In un altro modo, bazhano, il valore è stato calcolato semplicemente.
24. Addendum del differenziale della funzione alle approssimazioni del calcolo
Fermare il differenziale prima di avvicinarsi al calcolo
La comprensione del differenziale suggerisce che se il processo è quasi lineare a causa della natura del suo cambiamento, l'aumento della funzione è poco influenzato dal differenziale. Inoltre, poiché la funzione può essere persa nel punto corrente x, anche l'aumento e il differenziale sono inesorabilmente piccoli in , che diminuisce a zero:
La funzione differenziata di Oskilki è ininterrotta,
Ecco perché sommando la funzione scambiata all'infinitamente piccolo in DX, che è uguale a zero, la funzione è infinitamente piccola.
Inoltre, queste due funzioni sono infinitamente piccole quando sono equivalenti:
L'equivalenza e la possibilità di un piccolo argomento zbіlshennya sono vicini
Quale può essere la formula? Lascia che i punti di canto siano uguali, conta solo i valori di i. Todi in un altro punto, in lontananza poco distante, si vede:
Qui compiliamo il feedback sull'accuratezza del risultato. Questa situazione riduce il valore di questa formula per il calcolo approssimativo, ma è più importante che sia banale ed è ampiamente utilizzata nella pratica.
Diamo un'occhiata a un esempio. Un tricot dritto ha le gambe a = 5 m e b = 12 m.
Conosciamo la durata dell'ipotensione:
.
Se la gamba a viene modificata di 0,2 m, l'ipotenusa aumenta (Fig. 11.5, a)
Vediamo ora la formula (11.16) per il valore approssimativo di y in relazione al cambiamento della gamba a, osservando la funzione della forma:
(B = Costa);
In entrambi i vipadka abbiamo preso il valore approssimativo del valore shukana. Ale, nel primo caso, l'errore è imputato ai calcoli ravvicinati, e nell'altro, molto semplicemente, - Al link dalle formule di chiusura (si può raggiungere anche dall'errore, causato dai calcoli ravvicinati ). Significativamente, quando la gamba a è stata modificata di 0,2 m, l'ipotenusa è cambiata di circa 0,08 m e quando sono stati portati via i valori approssimativi, quando la gamba a è stata modificata, era inferiore a 0,001 m.
Diamo un'occhiata a un'altra situazione: in questo tricot abbiamo modificato l'ipotenusa di 0,2 m, lasciando la gamba b inalterata (Fig. 11.5, b). È significativo come la gamba A cambi in questa direzione:
25. Addendum alle funzioni e al programma di follow-up
Se, da tempo, il grafico della funzione è una linea non-stop, in altre parole una linea che si può tracciare senza un'oliva nel fiocco del foglio, allora tale funzione è chiamata non-stop per questo spazio. Іsnuyut funziona anche, yakі ininterrotto є. Ad esempio, possiamo guardare il grafico della funzione, che è negli intervalli e [h; b] senza interruzione, ale al punto
x \u003d s rozrivnoy e nel complesso vіdrіzka non senza interruzioni. Tutte le funzioni che vengono eseguite da noi corso scolastico matematici, - ce funzioni senza interruzione sul sottofondo cutaneo, su cui è assegnato fetore.
È significativo che la funzione possa andare perduta per un certo periodo, quindi sarà ininterrotta per quell'intervallo.
La fermezza di Zvorotne è sbagliata. Una funzione che è ininterrotta per un divario potrebbe non essere madre di una simile in determinati punti del divario. Ad esempio, funzione
y = | registro 2 x | senza interruzione per l'intervallo x > 0, ma nel punto x = 1 non c'è differenza, gli shard a questo punto non sono possibili.
Diamo un'occhiata ai grafici per un aiuto con l'aiuto.
Induci il grafico della funzione f (x) \u003d x3 - 2x2 + x.
1) Questa funzione è assegnata a tutti x € R.
2) Facci conoscere gli intervalli di monotonia della funzione considerata ed i punti estremi oltre l'altra simile. Pokhіdna dorivnyuє f "(x) \u003d 3x 2 - 4x + 1. Conosciamo i punti stazionari:
3x 2 - 4x + 1 = 0, stelle x 1 = 1/3, x 2 = 1.
Per assegnare un segno simile, scomponiamo i trinomi quadrati 3x 2 - 4x + 1 in moltiplicatori:
f "(x) \u003d 3 (x - 1/3) (x - 1). Inoltre, sugli intervalli x< 1/3 и х >1 somiglianza è positiva; inoltre, la funzione cresce a intervalli.
Pohіdna negativo a 1/3< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.
Punto x 1 \u003d 1/3 è un punto al massimo, i frammenti di mano destra nella direzione del punto, la funzione cambia e quello di sinistra aumenta. A questo punto il valore della funzione è uguale f (1/3) = (1/3) 3 - 2 (1/3) 2 + 1/3 = 4/27.
Il punto minimo è il punto x 2 = 1, i frammenti di mano sinistra nella direzione del punto, la funzione cambia e la mano destra aumenta; її il valore del punto è almeno buono f(1) = 0.
3) Quando viene richiesto il grafico, iniziare a trovare i punti della linea del grafico con gli assi delle coordinate. Oskіlki f(0) = 0, quindi il grafico passerà attraverso la pannocchia di coordinate. Virishuyuchi uguale f(0) = 0, conosciamo i punti della curva del grafico dall'intera ascissa:
x 3 - 2x 2 + x \u003d 0, x (x 2 - 2x + 1) \u003d 0, x (x - 1) 2 \u003d 0, stelle x \u003d 0, x \u003d 1.
4) Per una sottotrama esatta, conosciamo il valore della funzione in altri due punti: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.
5) Risultati Wicorous del follow-up (punti 1 - 4), avremo un grafico della funzione y \u003d x 3 - 2x 2 + x.
Per incoraggiare il grafico della funzione, richiamare il potere di questa funzione per l'aiuto di uno schema simile, simile allo schema per il compito finale 1.
In questo rango, quando si raggiungono i poteri della funzione, è necessario conoscere:
1) area її assegnata;
2) andare via;
3) punti stazionari;
4) crescita e decadimento intermittenti;
5) punti di estremo e valore della funzione in questi punti.
I risultati del follow-up vengono registrati manualmente come tabelle. Quindi, tabella vikoristovuyuchi, funzioni di pianificazione buduyut. Per una grafica più accurata, è necessario conoscere i punti della linea yogo con gli assi coordinati i - se necessario - più punti del grafico.
Come se ci attenessimo a una funzione accoppiata o non accoppiata, quindi per incoraggiare il grafico è sufficiente essere abbastanza potente da indurre il grafico per x > 0, e quindi immaginarlo simmetricamente all'asse y (la pannocchia di coordinate) . Ad esempio, analizzando la funzione f (x) \u003d x + 4 / x, giungiamo alla conclusione che la funzione data non è accoppiata: f (-x) \u003d -x + 4 / (-x) \u003d - ( x + 4 / x) \u003d -f(x). Dopo aver completato tutti i punti del piano, avremo un grafico della funzione per x > 0 e un grafico della funzione per x< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >0 alla pannocchia di coordinate.
Per motivi di successo, il compito di elaborare il programma delle funzioni viene svolto per la maggior parte oralmente.
È anche significativo che in caso di adempimento di alcuni compiti, possiamo rimanere bloccati con la necessaria funzione di follow-up non nell'intera area dell'appuntamento, ma solo per un certo periodo, ad esempio, è necessario per indurre un programma, diciamo, la funzione 4 - x і x f (x) \u003d 2 [-one; 2].
26. Funzione antiderivativa. Integrale di non significato e yoga della dominanza
Nomina del primo.
La funzione primitiva f(x) per un intervallo (a; b) è una tale funzione F(x) che ottiene l'uguaglianza per ogni x da un dato intervallo.
Se prendiamo in considerazione il fatto che la costante C è uguale a zero, l'uguaglianza è equa 
. In questo modo la funzione f(x) può essere primaria impersonale F(x)+C, per un valore abbastanza costante, inoltre, q valori primari sono la stessa cosa per un valore abbastanza costante.
Destinazione di un integrale indeterminato.
Tutte le funzioni primarie impersonali f(x) sono chiamate integrali non significativi di questa funzione e sono assegnate 
.
Viraz è chiamato integrando virasi e f(x) è chiamato funzione piintegrale. La virasi integrale è una funzione differenziale f(x).
Diya znakhodzhennya nevodomoї funktії dietro il dato differenziale її è chiamato neznahodzhennym іntegruvannym, quindi il risultato di іntegruvannya є non una funzione F(x), ma impersonali її primarie F(x) + C.
È possibile formulare e portare la potenza di un integrale senza segno (la potenza del primo) alla potenza di un simile.
1. 
Simile al risultato dell'integrazione di una funzione pidintegrale più avanzata.
2.
I non valori dell'integrale del differenziale di una funzione sono uguali alla somma della funzione stessa e ad una costante sufficiente.
3. 
, de k - Abbastanza costante.
p align="justify"> Il coefficiente può essere accusato del segno dell'integrale indefinito.
4.
I non significati dell'integrale di somme / differenze di funzioni sono somme / differenze più costose di non significati di integrali di funzioni.
A scopo esplicativo viene introdotta l'equivalenza intermedia della prima e delle altre potenze dell'integrale indefinito.
Per la conferma del terzo e quarto rango, assicurarsi che le parti giuste delle uguaglianze siano corrette: 
I numeri sono simili alle funzioni pidintegrali, che è la prova della prima qualità. Non vincerà nel resto delle transizioni.
In questo ordine, il compito di integrazione è il compito di svolta della differenziazione, inoltre, c'è una stretta connessione tra loro:
· Le prime autorità consentono di effettuare una nuova verifica dell'integrazione. Per invertire la correttezza dell'integrazione passata, è sufficiente calcolare il risultato esatto. Per effetto della differenziazione, la funzione appare come una funzione integranda uguale, è significativo che l'integrazione sia eseguita correttamente;
· L'altra potenza dell'integrale indefinito permette di conoscere il primario dietro il differenziale dato della funzione. A cui si fondano le autorità senza alcun calcolo intermedio di integrali insignificanti.
Diamo un'occhiata a un esempio.
Trova la funzione primaria, il cui valore è il più importante in x = 1.
Sappiamo dal calcolo differenziale che 
(Si prega di dare un'occhiata alla tabella di funzioni elementari di base simili). In modo tale, 
. Per un altro potere 
. Tobto potrebbe essere prima impersonale. Per x = 1, viene preso un valore. Per la mente, il valore può essere più solo, quindi, C \u003d 1.
Se la tabella di funzioni elementari di base simili può essere riscritta come differenziali, da essa, secondo un'altra autorità dell'integrale indefinito, è possibile sommare una tabella di primitive.
Informazioni simili.
DIFFERENZIAZIONE LOG
La differenziazione di una varietà di funzioni è semplice, come se fossero prologaritmo in avanti. Per chi hai bisogno di un tale metodo. Cosa hai bisogno di sapere y da uguale y=f(x), allora puoi:
applicare.
FUNZIONE SHOW-STIP E DIFFERENZIAZIONE
Show-Stato una funzione è chiamata funzione della mente y = tu v, de u=u(x), v=v(x).
Differenziazione logaritmica zastosovuєtsya per znahodzhennia pokhіdnoї con funzioni show-step.
applicare.
TAVOLA DI VIROBNIH
Combinate in un'unica tabella tutte le principali formule che regolavano la differenziazione, introdotte in precedenza. Ovunque penseremo u=u(x), v=v(x), Z = cost. Per funzioni elementari di base simili, utilizziamo il teorema su una funzione comprimibile simile.
applicare.
IL CONCETTO DI FUNZIONE DIFFERENZIALE. ZV'YAZOK MIZH DIFFERENZIALE E VIROBNICHY
Forza funzione y=f(x) differenziato in un vіdrіzku [ un; b]. Pokhіdna tsієї funktsії u punto di canto X 0 Î [ un; b] significava gelosia
.
Padre, per amor di mezzo
Moltiplicando tutti i termini dell'equivalenza ottenuta per Δ X, prendiamo:
Δ y = f"(X 0)·Δ X+ un Δ X.
Otzhe, incremento infinitamente piccolo Δ y funzione differenziata y=f(x) può essere presentato alla vista della somma di due dodankiv, per cui prima є (con f"(X 0) ≠ 0) parte di testa, distanza lineare Δ X, e d'altra parte, un valore infinitamente piccolo dell'ordine più alto, Δ inferiore X. La parte principale della funzione è aumentata, tobto. f"(X 0)·Δ X chiamato differenziale della funzione nel punto X 0 voglio dire attraverso dio.
In questo rango, in funzione y=f(x) posso andare f"(X) al punto X, quindi tvіr pokhіdnoї f"(X) per aumentare Δ X chiama l'argomento differenziale di funzione intendo:
Conosciamo la funzione differenziale y=x. In che direzione y" = (X)" = 1 i, dopo, dio=dx=Δ X. In questo modo, il differenziale dx miniera indipendente X zbіgaєtsya z її zbіlshennyam Δ X. Pertanto, possiamo scrivere la formula (1) come segue:
| dio = f "(X)dx |
Ale z ogo spіvvіdnoshnja vyplivaє, scho. Oh, andrò f "(X) è possibile impostare il differenziale della funzione sul differenziale del cambio indipendente.
In precedenza, abbiamo mostrato che a causa della differenziazione della funzione nel punto, la base del differenziale nel punto è evidente.
Giusto che fermezza zvorotne.
Proprio per quale significato X aumento della funzione Δ y = f(X+Δ X) – f(x) puoi archiviare alla vista di Δ y = UN·Δ X+ α, de α - un valore infinitamente piccolo, come piace alla mente, tobto. scatola per funzione y=f(x)è poco differenziale dy=A dx al punto di canto X, allora questa funzione potrebbe andare persa nel punto Xі f "(X)=MA.
Deisno, forse, e al fatto che con Δ X→0, quindi .
In questo modo, tra la differenziazione delle funzioni e le ragioni del differenziale, c'è una connessione ancora più stretta, gli insulti sono ugualmente forti.
applicare. Conoscere i differenziali di funzione:
DIFFERENZIALE GEOMETRICO ZMIS
Diamo un'occhiata alla funzione y=f(x) e la curva. Prendi un punto intero sulla curva M(x; y), disegnabile alla curva nel punto tsij i in modo significativo attraverso il kut, che soddisfa punticamente la direzione positiva dell'asse Bue. Damo cambiamento indipendente X incremento Δ X, allora la funzione prende l'incremento Δ y = NM uno . i valori X+Δ Xі y+Δ y sulla curva y = f(x) punto
M 1 (X+Δ X; y+Δ y).
Z Δ MNT conosciuto NT=MN tga. Perché tga = f "(X), un MN = Δ X, poi NT = f "(X)·Δ X. Ale per il differenziale nominato dio=f "(X)·Δ X a tale dio = NT.
Quindi, il differenziale della funzione f(x), che fornisce i valori dati x e Δx, aumenta l'ordinata della curva y=f(x) nel punto qiy x.
TEOREMA SULL'INVARIANTITA' DIFFERENZIALE
In precedenza, noi bachili, e allora tuє variabile indipendente, quindi la funzione differenziale y=f "(tu) può visualizzare dio = f "(tu)du.
Si mostrerà che questa forma è presa da quell'atteggiamento, se tu non un cambiamento indipendente, ma una funzione, cioè. Conosciamo il termine per il differenziale della funzione di piegatura. Avanti y=f(u), u=g(x) o y = f(g(x)). Quindi seguendo la regola di differenziazione delle funzioni di piegatura:
.
Padre, per i nominati
ale g"(X)dx= du a tale dy=f"(u)du.
Mi ha portato il teorema offensivo.
Teorema. Differenziale con funzione pieghevole y=f(u), per cui u=g(x), forse la stessa vista dy=f"(u)du yaki vin mav bi, argomento intermedio yakbi tu bv cambiamento indipendente.
Altrimenti, a seconda della forma del differenziale a mentire in primo luogo, è l'argomento della funzione della variabile indipendente e la funzione dell'altro argomento. Si chiama la potenza del differenziale forma invariante di differenziale.
culo.. Sapere dio.
Invarianza di potenza Vahovuyuchi al differenziale, lo sappiamo
.
STATO DEL DIFFERENZIALE PRIMA DELL'APPROCCIO DELL'HIV
Dacci il significato della funzione y 0 =f(x 0 ) che è buono y 0 " = f "(x0) al punto x0. Mostriamo come conoscere il valore di una funzione in un punto di chiusura reale X.
Come abbiamo già spiegato la funzione aumentata di Δ y puoi pagare alla vista di sumi Δ y=dio+α·Δ X, poi. zbіlshennya funktії vіdіznyаєtsya è diverso dal valore neskіchenno piccolo. A questo, nehtuyuchi con Δ piccolo X un altro dodank negli insediamenti più vicini e sono corrosivi con la stretta equivalenza Δ y≈dio o Δ y» f"(x0)·Δ X.
Poiché, allo scopo, Δ y = f(X) – f(x0), poi f(x) – f(x0)≈f"(x0)·Δ X.
applicare.
VIROBNICHI ALTI ORDINI
Forza funzione y=f(x) differenziato sul deyakom vіdrіzku [ un; b]. Il significato del f"(X), vzagali apparente, sdraiato X, poi. Buona f"(X) è anche una funzione del cambiamento X. Lascia andare questa funzione. Differenziazione її, chiamiamola amico come la funzione f(x).
Pokhіdna come viene chiamato il primo pokhіdnoї simile a un altro ordine o un altro pokhіdny con queste funzioni y=f(x) e significa y"abò" f""(X). Otzhe, y"" = (y")".
Ad esempio, come a = X 5, quindi y"= 5X 4, e y""= 20X 4 .
Allo stesso modo, nella tua linea, in un ordine diverso, puoi anche differenziare. Pokhіdna come viene chiamato un altro pokhіdnoї simile terzo ordine o Terzoè indicato con y"""o f"""( X).
Vzagali, simile all'n-esimo ordine tipo di funzione f(x) chiamato pokhіdna (persha) in vid pokhіdnoї ( n- 1)° ordine, è indicato dal simbolo y(né f(n) ( X): y(n) = ( y(n-1))".
Otzhe, perebuvannya pokhіdno ї ordine superiore in іd єї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ї ії ї ї ї ї ї ї її ordini inferiori
Differenziale designato
Diamo un'occhiata alla funzione \(y = f\left(x \right),\) come continua nell'intervallo \(\left[(a,b) \right].\) Si supponga che nel punto reale \( (x_0) \ in \left[ (a,b) \right]\) variazione indipendente dell'incremento \(\Delta x.\) Incremento della funzione \(\Delta y,\) espresso dalla formula \[\Delta y = \Delta f\left(((x_0)) \right) = f\left(((x_0) + \Delta x) \right) - f\left(((x_0)) \ right) .\] Per qualsiasi funzione differenziata, l'incremento \(\Delta y\) può essere visto come la somma di due addizioni: \[\Delta y = A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right) ,\] de primo mandato (cd parte di testa incremento) giacciono linearmente in incremento \(\Delta x,\) e l'altro termine può essere un ordine di cose più elevato \(\Delta x.\) Viraz \(A\Delta x\) viene chiamato differenziale di funzione i è indicato da \(dy\) o \(df\left(((x_0)) \right).\)
Diamo un'occhiata all'idea di espandere la funzione (Delta y) in due parti su un semplice calcio. Lascia che i compiti quadrano con il lato \((x_0) = 1 \,\text(m)\,\) (piccoli \(1\)). Quest'area è ovviamente più grande \[(S_0) = x_0^2 = 1 \,\text(m)^2.\] Per aumentare il lato del quadrato di \(\Delta x = 1\,\text(cm) ,\) allora più precisamente il valore dell'area del quadrato più grande diventa \ tobto. area aumentata \(\Delta S\) altro \[ (\Delta S = S - (S_0) = 1.0201 - 1 = 0.0201\,\text(m)^2 ) = (201\,\text( cm)^2 .) \] Ora l'incremento \(\Delta S\) sembra avere questo aspetto: \[\require(cancel) (\Delta S = S - (S_0) = (\left(((x_0) + \Delta x ) \right)^2) - x_0^2 ) = (\cancel(x_0^2) + 2(x_0)\Delta x + (\left((\Delta x) \right)^2) - \ cancel(x_0 ^2) ) = (2(x_0)\Delta x + (\left((\Delta x) \right)^2) ) = (A\Delta x + \micron\left((\Delta x) \right) ) = (dy + o\left((\Delta x) \right).) \] D'ora in poi, l'aumento della funzione \(\Delta S\) viene sommato dalla parte di testa (il differenziale della funzione), che è proporzionale a \(\Delta x\) e più \ i termini di ordine superiore di piccolezza, nella propria riga, uguale a \[\micron\left((\Delta x) \right) = (\left((\Delta x) \destra)^2) = ( 0,01^2) = 0,0001\,\testo(m)^2 = 1\,\testo(cm)^2.\] = 201\,\testo(cm)^2 .\)
Rispettosamente, in questa applicazione, il coefficiente \(A\) è più importante del valore di una funzione simile \(S\) nel punto \((x_0):\) \ teorema :
Il coefficiente \(A\) della parte di testa della funzione aumenta nel punto \((x_0)\) aumenta il valore del \(f"\left((x_0)) \right)\) inferiore al th punto, quell'incremento \( \Delta y \) è espresso dalla formula \[ (\Delta y = A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right) ) = (f"\left(( (x_0)) \right)\Delta x + \ omicron\left((\Delta x) \right).) \] Separare le parti dannose dell'equazione su \(\Delta x \ne 0,\) forse \[ (\frac((\Delta y)))( (\Delta x)) = A + \frac((\micron\left((\Delta x) \right)))((\Delta x)) ) = ( f"\left(((x_0)) \right ) + \frac((\omicron\left((\Delta x) \right)))((\Delta x)).) \] (x_0):\) \[ (y"\left(((x_0)) \right) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x) ) ) = (A = f"\left(((x_0)) \right).) \] Qui abbiamo mentito per un piccolo valore \(\micron\left((\Delta x) \right)\) di ordine superiore piccolezza, basso \( \Delta x,\) intermediario \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\micron\left((\Delta x) \right))) ( (Delta x)) = 0.\] differenziale di cambiamento indipendente \(dx\) migliora la crescita \(\Delta x:\) \ quindi da spіvvіdnoshennia \ sled, cosa \ tobto. Pokhіdnu funziona come possibile impostando due differenziali.
Senso geometrico della funzione differenziale
Il piccolo \(2\) mostra schematicamente la scomposizione della funzione più grande \(\Delta y\) nella parte della testa \(A\Delta x\) (differenziale della funzione) e il termine dell'ordine di piccolezza superiore \ (\micron\sinistra((\Delta x )\destra)\).
Dotychnaya \(MN\), eseguita su una funzione storta \(y = f\left(x \right)\) nel punto \(M\), a quanto pare, sembra male \(\alpha\), la tangente di una specie di migliore: \[\tan \alpha = f"\left(((x_0)) \right).\] Quando l'argomento viene modificato in \(\Delta x\), l'incremento \(A \Delta x.\) , dotico stabilito, cioè una funzione differenziale. ).
La potenza del differenziale
Siano \(u\) e \(v\) − cambino le funzioni \(x\). Il differenziale può avere la stessa potenza:
- Il coefficiente costante può essere accusato del segno del differenziale:
\(d\left((Cu) \right) = Cdu\), dove \(C\) è un numero costante.
- Funzioni di somma differenziale (al dettaglio):
\(d\left((u \pm v) \right) = du \pm dv.\)
- Valore costante differenziale a zero:
\(d\sinistra(C \destra) = 0.\)
- Differenziale di variazione indipendente \(x\) da aumentare:
\(dx = \Delta x.\)
- Funzione lineare differenziale per la crescita:
\(d\left((ax + b) \right) = \Delta \left((ax + b) \right) = a\Delta x.\)
- Differenziale creando due funzioni:
\(d\left((uv) \right) = du \cdot v + u \cdot dv.\)
- Differenziale di due funzioni private:
\(d\left((\large\frac(u)(v)\normalsize) \right) = \large\frac((du \cdot v - u \cdot dv))(((v^2))) \dimensione normale.\)
- La funzione differenziale è più simile alla derivata dell'argomento:
\(dy = df\sinistra(x \destra) = f"\sinistra(x \destra)dx.\)
Forma invariante del differenziale
Consideriamo quindi la composizione di due funzioni \(y = f\left(u \right)\) e \(u = g\left(x \right),\) allora. piega la funzione \(y = f\left((g\left(x \right)) \right).\) dove l'indice inferiore indica la modifica per la quale deve essere effettuata la differenziazione.
Il differenziale della funzione "esterna" \(y = f\left(u \right)\) può essere scritto nel visual \ Il differenziale della funzione "interna" \(u = g\left(x \right)\ ) può essere mostrato in modo simile: \ \ (du \) nella formula anteriore, quindi prendiamo \ Oskіlki \ ((y "_x) \u003d (y" _u) \ cdot (u "_x),\) quindi \ forme di virasi per il differenziale di una funzione, come nel caso di una funzione "semplice". forma invariante di differenziale .
Entusiasmo...
