त्रिकोणमितीय रूप में संख्याएँ।
डी मोइवर फॉर्मूला
चलो z 1 \u003d r 1 (cos 1 + isin 1) और z 2 \u003d r 2 (cos 2 + isin 2)।
एक जटिल संख्या लिखने का त्रिकोणमितीय रूप vikonnannya di गुणन, rozpodіlu, zvedennya पूरे चरण में और चरण n की जड़ के लिए मैन्युअल रूप से दुष्ट हो सकता है।
z 1 z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 + 2) + i sin( 1 + 2))।
दो सम्मिश्र संख्याओं को गुणा करने परत्रिकोणमितीय रूपों में, उनके मॉड्यूल गुणा किए जाते हैं, और तर्क जोड़े जाते हैं। जब रोज़पोडेलिकमॉड्यूल विभाजित हैं, और तर्कों पर विचार किया जाता है।
एक सम्मिश्र संख्या को गुणा करने का अगला नियम एक सम्मिश्र संख्या को चरणों में लेने का नियम है।
z = r(cos + i sin )।
z n \u003d r n (cos n + isin n)।
Tse spіvіdnoshennia कहा जाता है डी मोइवर का सूत्र।
स्टॉक 8.1 जानिए टीवीआर और प्राइवेट नंबर:
і 
समाधान
z1∙z2 
∙
=
;
स्टॉक 8.2 त्रिकोणमितीय रूप में लिखें संख्या
∙
-आई) 7।
समाधान
गौरतलब है कि 
और जेड 2 = 
- І .
आर 1 = | जेड 1 | = 1 2 + 1 2 = 2; 1 = argz 1 = arctg 
;
z1 = 
;
आर 2 = | जेड 2 | = (√3) 2 + (-1) 2 = 2; 2 = आर्ग जेड 2 = आर्कटजी 
;
z2 = 2 
;
जेड 1 5 = ( 
) 5 
; जेड 2 7 = 2 7 
जेड = ( 
) 5 2 7 
=
2 9 
§ 9 एक सम्मिश्र संख्या के मूल का पुनरीक्षण
नियुक्ति। जड़एनएक सम्मिश्र संख्या का -वाँ चरणजेड (मतलब 
) को एक सम्मिश्र संख्या w इस प्रकार कहा जाता है कि w n = z। यदि z = 0, तो 
= 0.
माना z 0, z = r(cos + isin)। गौरतलब है कि w = (cos + sin), तो बराबर w n = z आपत्तिजनक . पर लिखा जा सकता है
n (cos(n ) + isin(n )) = r(cos + isin)।
सितारे n = r,
=
इस क्रम में, डब्ल्यू के = 
·
.
मध्य मान बिल्कुल n भिन्न है।
उसके लिए k = 0, 1, 2,…, n - 1।
जटिल तल पर, बिंदु एक नियमित एन-कट के कोने होते हैं, जो एक त्रिज्या के साथ रंग में अंकित होते हैं। 
बिंदु O पर केन्द्रित है (चित्र 12)।
माल्युनोक 12
स्टॉक 9.1सभी अर्थ जानें 
.
समाधान।
त्रिकोणमितीय रूप में संख्या दिखाएं। हम योग मॉड्यूल और तर्क जानते हैं।
डब्ल्यू के = 
डी के = 0, 1, 2, 3।
डब्ल्यू 0 = 
.
डब्ल्यू 1 = 
.
डब्ल्यू 2 = 
.
डब्ल्यू 3 = 
.
जटिल तल पर, बिंदु एक त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित एक वर्ग के शीर्ष होते हैं। 
निर्देशांक के सिल पर केंद्र के साथ (चित्र 13)।
बेबी 13 बेबी 14
बट 9.2सभी अर्थ जानें 
.
समाधान।
z = - 64 = 64 (cos + isin);
डब्ल्यू के = 
डी के = 0, 1, 2, 3, 4, 5।
डब्ल्यू 0 = 
; डब्ल्यू 1 = 
;
डब्ल्यू 2 = 
डब्ल्यू 3 = 
डब्ल्यू4 = 
; डब्ल्यू 5 = 
.
जटिल तल पर, बिंदु एक नियमित छह-वक्र के कोने होते हैं, जो बिंदु O (0; 0) पर 2 oz केंद्र के त्रिज्या के साथ एक वृत्त में अंकित होते हैं - चित्र 14।
10 एक सम्मिश्र संख्या का रूप दिखाइए।
यूलर सूत्र
गौरतलब है कि 
= cos + isin i 
= cos - isin । Cі spіvіdnoshennia कहा जाता है यूलर सूत्र .
समारोह 
शक्ति प्रदर्शन कार्यों को zvichaynі कर सकता है:
मान लीजिए कि सम्मिश्र संख्या z को त्रिकोणमितीय रूप z = r(cos + isin) में लिखा जाता है।
विकोरिस्टोवुयुची यूलर का सूत्र, आप लिख सकते हैं:
जेड = आर 
.
इस प्रविष्टि को कहा जाता है दिखावटी रूपजटिल संख्या। Vikoristovuyuchi , हम उस जड़ के पैर में गुणन, rozpodіlu, zvedennya के नियम लेते हैं।
यक्षो जेड 1 = आर 1 
मैं जेड 2 = आर 2 
?फिर
जेड 1 जेड 2 = आर 1 आर 2 
;
·
जेड एन = आर एन 
, जहां के = 0, 1, …, एन -1।
बट 10.1बीजगणित संख्या के रूप में लिखें
जेड = 
.
समाधान।
बट 10.2राजव्याजति समीकरण z 2 + (4 - 3i)z + 4 - 6i = 0।
समाधान।
किसी भी जटिल गुणांक के लिए, दो जड़ें z 1 और z 1 (संभवतः, zbіgayutsya) हैं। यह मूल उसी सूत्र के पीछे पाया जा सकता है, जो वाक् प्रकार के लिए समान है। तो याकी 
दो अर्थों को स्वीकार करता है, जिन्हें केवल एक संकेत द्वारा माना जाता है, तो यह सूत्र इस तरह दिख सकता है:
स्किल्की -9 \u003d 9 ई मैं, फिर मान 
नंबर होंगे:
टोडी 
і 
.
|
स्टॉक 10.3रज़्व्याज़ती समीकरण z 3+1 = 0; जेड 3 \u003d -1। |
समाधान।
शुकामी की जड़ें होंगी सार्थक 
.
Z = -1 के लिए, शायद r = 1, arg (-1) = ।
डब्ल्यू के = 
, के = 0, 1, 2.
सही
9 संख्या के प्रदर्शन प्रपत्र के लिए कर:
|
बी) |
जी) |
+मैं;
.10 संख्या के निदर्शी और बीजगणितीय रूपों में लिखिए:
|
एक) |
में) |
|
बी) |
डी) 7 (cos0 + isin0)। |
11 संख्या के बीजगणितीय और ज्यामितीय रूपों में लिखें:
|
एक) |
बी) |
में) |
जी) |
12वीं तारीख 
उन्हें एक शो फॉर्म में पेश करने के बाद, जानिए 
.
13 Vikoristovuyuchi एक जटिल संख्या का रूप दिखा रहा है, vikoite dії:
एक) 
बी) 
में) 
जी) 
|
इ) |
|
|
|
|
.एक जटिल संख्या की जड़ को स्पष्ट रूप से खींचना असंभव है, शार्क में पहले चरण के बराबर कई मान हो सकते हैं।
तह संख्याओं को एक त्रिकोणमितीय रूप के स्तर तक बढ़ा दिया जाता है, जिसके लिए मोइवार्ड सूत्र मान्य है:
\(\ z^(k)=r^(k)(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)
इसी प्रकार, एक सम्मिश्र संख्या (शून्य के बराबर नहीं) के चरण k के मूल की गणना के लिए यह सूत्र विजयी है:
\(\ z^(\frac(1)(k))=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n))^(\frac( 1)(k))=r^(\frac(1)(k))\left(\cos \frac(\varphi+2 \pi n)(k)+i \sin \frac(\varphi+2 \ ) pi n)(k)\right), \forall k>1, \forall n \in N \)
यदि सम्मिश्र संख्या शून्य तक नहीं पहुँचती है, तो चरण k की जड़ों को ज्ञात होना चाहिए, और जटिल तल पर का पता लगाया जा सकता है: वे k-कट के शीर्ष होंगे, जो केंद्र के साथ स्तंभ में अंकित होंगे। सिल त्रिज्या है \(\r^(\frac(1) ) (k)) \)
समस्याओं का श्लोक लागू करें
संख्या \(\z=-1) का तीसरा मूल ज्ञात कीजिए।
त्रिकोणमितीय रूप में संख्या \(\ z = -1 \) लोअरकेस है। संख्या का मौखिक भाग \(\ z=-1 \) संख्या है \(\ z=-1 \), शब्द का स्पष्ट भाग \(\ y=\operatorname(lm) \), \(\ जेड = 0 \)। एक सम्मिश्र संख्या लिखने के त्रिकोणमितीय रूप को जानने के लिए, आपको इसके मापांक और तर्क को जानना होगा।
सम्मिश्र संख्या का मापांक - पूर्ण संख्या:
\(\r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt((-1)^(2)+0^(2))=\sqrt(1+0)=1 \ )
तर्क की गणना निम्न सूत्र के लिए की जाती है:
\(\ \varphi=\arg z=\operatorname(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(0)(-1)=\operatorname(arctg) 0=\pi \)
साथ ही, सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप अधिक है: \(\ z=1(\cos \pi+i \sin \pi) \)
तीसरे चरण की वही जड़ इस तरह दिखती है:
\(\ =\cos \frac(\pi+2 \pi n)(3)+i \sin \frac(\pi+2 \pi n)(3) \), \(\ n=0,1, 2\)
\(\ \omega_(1)=\cos \frac(\pi)(3)+i \sin \frac(\pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt( 3)) (2) \)
\(\n=1\) के लिए हम लेते हैं:
\(\ \omega_(2)=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1 \)
\(\n=2\) के लिए हम ले सकते हैं:
\(\ \omega_(3)=\cos \frac(5 \pi)(3)+i \sin \frac(5 \pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(- \sqrt(3))(2)=\frac(1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)
\(\ \omega_(1)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2), \omega_(2)=-1, \omega_(3)=\frac( 1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)
संख्या से दूसरे चरण का मूल ज्ञात करने के लिए \(\ z=1-\sqrt(3) i \)
किसी कारण से, हम त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्या देख सकते हैं।
एक सम्मिश्र संख्या का स्पष्ट भाग \(\ z=1-\sqrt(3) i \) є संख्या \(\ x=\operatorname(Re) z=1 \) , स्पष्ट भाग \(\ y=\operatorname(Im) ) z =-\sqrt(3) \). एक सम्मिश्र संख्या लिखने के त्रिकोणमितीय रूप को जानने के लिए, आपको इसके मापांक और तर्क को जानना होगा।
सम्मिश्र संख्या का मापांक - पूर्ण संख्या:
\(\r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt(1^(2)+(-\sqrt(3))^(2))=\sqrt(1+3 )=2 \)
बहस:
\(\ \varphi=\arg z=\operatorname(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(-\sqrt(3))(1)=\operatorname(arctg)(- \sqrt(3))=\frac(2 \pi)(3) \)
साथ ही, एक सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप है:
\(\ z=2\बाएं(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\right) \)
दूसरे चरण की जड़ को हटाने के लिए Zastosovuyuchi सूत्र, हम ले सकते हैं:
\(\z^(\frac(1)(2))=\left(2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\ दाएं)\दाएं)^(\frac(1)(2))=2^(\frac(1)(2))\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac (2 \pi)(3)\right)^(\frac(1)(2))= \)
\(\ =\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi n\right)+i \sin \left(\frac(\pi)(3)+ \pi n\right)\right), n=0,1 \)
\(\\mathrm(n)=0\) के लिए हमारे पास है:
\(\ \omega_(1)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+0\right)+i \sin \left(\frac(\pi)( 3)+0\दाएं)\दाएं)=\sqrt(2)\बाएं(\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=\frac(\sqrt (2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)
\(\\mathrm(n)=1\) के लिए हमारे पास है:
\(\ \omega_(2)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi\right)+i \sin \left(\frac(\pi) (3)+\pi\right)\right)=\sqrt(2)\left(-\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=-\ फ़्रैक(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)
\(\ \omega_(1)=\frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) ; \omega_(2)=-\frac(\sqrt(2 ) ))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)
जोश...
