Pozitivni iracionalni brojevi. Šta je iracionalan broj

Iz stare pojedinačne dožine matematičari su već znali: bili su svjesni, na primjer, nedosljednosti dijagonale te strane kvadrata, koja je jednaka iracionalnosti broja.

Racionalno:

Primijeniti dokaz iracionalnosti

Korin z 2

Dopustivo neprihvatljivo: racionalno, tako da se čini da nije kratak razlomak, de i - cijeli broj. Zvedomo perebachuvanu smirenost na trgu:

Zvídsi squeal, scho uparen, otzhe, uparen i. Hajde de cile. Todi

Otac, par, otac, par i. Oduzeli smo, kao dečaci i devojčice, kako da nadmašimo kratkoću razlomka. Otzhe, bilo je pogrešno pustiti, i - iracionalan broj.

2 logaritam 3

Dopustivo neprihvatljivo: racionalno, pa se čini da je razlomak, de i - cijeli broj. Krhotine se mogu smatrati pozitivnim. Todi

Ale je upareno, ali nespareno. Uzimamo maramicu.

e

istorija

Koncept iracionalnih brojeva su implicitno usvojili indijski matematičari u 7. veku pre nove ere, ako Manava (bl. 750. pne - bl. 690. pne.) brojevi kao što su 2 i 61 ne mogu biti jasno izraženi.

Prvi dokaz utemeljenja iracionalnih brojeva pripisuje se Hipasu od Metaponta (bl. 500 pne), Pitagorejcima, koji su poznavali ovaj dokaz, okrećući stranice pentagramima. U satima Pitagorejaca bilo je važno da postoji samo jedan jedini dan, bio je mali i nepodnošljiv, kao ceo broj za ulazak u be-yaky vídrízok. Prote Hippas je osnovao, da ne postoji ni jedna jedinica života, krhotine propusta o njenom ísnuvannya dovesti do vrhunskog. Vin je pokazao da hipotenuza ravnog trikutera ravnog femora može kompenzirati broj pojedinačnih rebara, ali taj broj može biti i uparen i neparan u isto vrijeme. Dokaz izgleda ovako:

• Produženje dužine hipotenzije na dužinu noge ravno-femoralnog ravno rezanog trikota može biti izraženije a:b, de aі b izabrati najmanje moguće.
• Za Pitagorinu teoremu: a² = 2 b².
• so yak a² momak, a može biti uparen (oskílki kvadrat neparnog broja buv bi je neuparen).
• Oskilki a:b nije kratko, b može biti neuparen.
• so yak a dečko, značajan a = 2y.
• Todi a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², kasnije b² momak, todi i b u parovima.
• Prote Bulo doveo, šo b unpaired. Čišćenje.

Grčki matematičari nazvali su vrijednost nerecipročnih veličina alogos(nevimovnim), prote zgídno s legendama nije vidio Hipasov teret. Postoji legenda da je Hipas zdíysniv vídkrittya, perebuvayuchi na pomorskom putovanju, i da su ga drugi Pitagorici pretjerali „za stvaranje elementa sveznanja, što bi opovrglo doktrinu da se svi uranijumi sveznanja mogu dovesti do ciklusi od sto i sto.” Otkriće Hipa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući pretpostavke koje su ležale u osnovi svih teorija, da su brojevi i geometrijski objekti ujedinjeni i neodvojivi.

Div. takođe

Bilješke

Materijal tsíêí̈ statti ê pochatkovu ínformíêyu pro iracionalni brojevi. Na poleđini moje ruke, imenovanje iracionalnih brojeva i ruža je razumljiva joga. Dalje, stavimo iracionalne brojeve. Nareshti, pogledajmo deyak, idi na za'yasuvannya, ako je dati broj iracionalan broj.

Navigacija sa strane.

Imenovanje i primena iracionalnih brojeva

Prilikom uvrtanja razlomaka desetica, posmatrani su beskonačni neperiodični razlomci desetica. Takvi razlomci namiguju na deseti dio broja dožina u vídrízkív, nesumarno sa jednim vídrízkom. Tako smo odredili da se nereducirani neperiodični razlomci desetica ne mogu prevesti u primarne razlomke (čudite se prijevodu primarnih razlomaka od desetica i nazad), budući da brojevi nisu racionalni brojevi, oni predstavljaju takve rangove kao iracionalne brojeve.

Pa smo otišli gore označavanje iracionalnih brojeva.

Imenovanje.

Brojevi su, kao u desetom zapisu, neiscrpni neperiodični decimalni razlomci, tzv. iracionalni brojevi.

Ozvučavanje termina vam omogućava da režirate primijeniti iracionalne brojeve. Na primjer, nepresušni neperiodični decimalni drib 4.10110011100011110000... (broj jedinica i nula se povećava za jedan) je iracionalan broj. Navedimo primjer iracionalnog broja: −22,353335333335…

Slid zaznachit, scho irracionalni brojevi dosit rídko zustríchayutsya vglyadí neskínchennyh neperiodičnih decimalnih razlomaka. Smrad se čuje pri pogledu i sl., kao i pri pogledu na posebno unesena slova. Najčešći primjeri iracionalnih brojeva u takvom zapisu su aritmetički kvadratni korijen iz dva, broj “pi” π=3,141592..., broj e=2,718281... taj zlatni broj.

Iracionalni brojevi se takođe mogu izračunati preko racionalnih brojeva, kao što su racionalni i iracionalni brojevi.

Imenovanje.

Iracionalni brojevi- tse díysní brojevi, yakí ê racionalni.

Koji je broj iracionalan?

Ako je broj postavljen iznad decimalnog razlomka, a deyakogo, korijen, logaritam tanko.

Bez sumnje, kada je hrana snabdevena, još bolje je znati, kao da brojke nisu iracionalne. Iz oznake iracionalnih brojeva proizilazi da su iracionalni brojevi racionalni brojevi. Ovim redoslijedom, iracionalni brojevi NE JE:

• kíntsí i neskínchenní periodične razlomke desetina.

Takođe nije iracionalan broj, bilo da se radi o kompoziciji racionalnih brojeva, vezanih znakovima aritmetičkih operacija (+, −, ·, :). Tse tim, scho sum, maloprodaja, tvir i privatno dva racionalna broja su racionalni broj. Na primjer, vrijednosti virusa su racionalni brojevi. Odmah je za poštovanje da ako u takvim slučajevima postoji jedan iracionalan broj među racionalnim brojevima, onda će vrijednost cjeline biti iracionalan broj. Na primjer, za izgovoreni broj - iracionalan, a za racionalne također - iracionalan broj. Yakby je bio racionalan broj, a onda je racionalnost broja iskočila iz njega, ali nije bio racionalan.

Isto tako, ako je zadan broj, da bi se eliminisalo prskanje iracionalnih brojeva, korijenskih znakova, logaritama, trigonometrijskih funkcija, brojeva π, e, tada je potrebno provesti dokaz iracionalnosti ili racionalnosti datog broja u određenom broju. kožni slučaj. Međutim, ona je niska već uzimajući u obzir rezultate, koji se mogu ubrzati. Hajde da navedemo glavne.

Pokazalo se da je koren koraka k iz celobrojnog broja ê racionalni broj samo isti, ako je broj sa korenom ê k-ti korak sledećeg celobrojnog broja, u drugim slučajevima je takav koren dat iracionalnim brojem. Na primjer, brojevi i su iracionalni, onaj koji nema cijeli broj, čiji je kvadrat skuplji 7 i nema cijeli broj, čiji je broj pet koraka daje broj 15. A brojevi í ê íracionalni, oskílki í.

Ako želite koristiti logaritme, onda ih dovedite do iracionalnosti i koristite metodu paralelizma. Na primjer, možemo reći da je log 2 3 iracionalan broj.

Pretpostavimo da je log 2 3 racionalan broj, ali chi nije iracionalan, pa se može posmatrati kao razlomak m/n. i omogućavaju vam da zabilježite početak fluktuacija jednakosti: . Preostala ljubomora je nemoguća, do toga u jogo lijevom dijelu neupareni broj, a desni dio - momak. Tako smo to ponovili, kasnije se pokazalo da je naše priznanje pogrešno, i iznijelo se na vidjelo da je log 2 3 iracionalan broj.

S poštovanjem, scho lna u slučaju pozitivnog i vídmínnom víd jedinstva racionalnog ê iracionalnog broja. Na primjer, i - iracionalni brojevi.

Takođe je pokazano da je broj e a u slučaju racionalne bezumne nule iracionalan, a da je broj π z iracionalan u slučaju svesnog nultog celog broja z ê iracionalan. Na primjer, brojevi su iracionalni.

Iracionalni brojevi su također trigonometrijske funkcije sin, cos, tg i ctg za bilo koju racionalnu i proizvoljnu nultu vrijednost argumenta. Na primjer, sin1 , tg(−4), cos5,7 su iracionalni brojevi.

Ísnuyut i ínshí donijeli su rezultate, na yakí mi ćemo se pomiješati sa već uskrslim. Također je potrebno reći da je za dokaz izrečenih rezultata više rezultata zastosovuetsya teorije algebarski brojeviі transcendentalni brojevi.

Nasamkínets je značajan, da nije varto rad najnovijih dostignuća u cilju iracionalnosti datih brojeva. Na primjer, čini se očiglednim da je iracionalan broj u iracionalnom stepenu iracionalan broj. Samo tako nastavi. Kao potvrdu izrečene činjenice, pomjerimo korake. Vidimo da je to iracionalan broj, a takođe je pomenuto da je to iracionalan broj, ale racionalan broj. Također je moguće donijeti primjere iracionalnih brojeva, zbroja, maloprodaje, tvira i privatno takvih ê racionalnih brojeva. Štaviše, racionalnost i iracionalnost brojeva π+e , π−e , π·e , π π , π e i drugih bogatstava nisu izneseni na vidjelo.

Spisak literature.

• Matematika. Ocjena 6: Navch. za zagalnosvít. set/[N. Ya. Vilenkin i in.]. - 22. vrsta., Vipr. – M.: Mnemozina, 2008. – 288 str.: il. ISBN 978-5-346-00897-2.
• algebra: navch. za 8 ćelija. zahalnosvit. set/[Yu. N. Makaričev, N. G. Mindyuk, K. I. Neškov, S. B. Suvorova]; za crvenu. S. A. Telyakovsky. - 16. vrsta. - M.: Prosvitnitstvo, 2008. - 271 str. : il. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (pomoć za učenike tehničke škole): Navč. pomoćnik - M.; Visch. škola, 1984.-351 str., il.

A njegov korijen smrad je preuzet iz latinske riječi "ratio", što znači "razlog". Vykhodyachi iz doslovnog prijevoda:

• Racionalni broj - tse "razuman broj".
• Iracionalan broj, očigledno, "iracionalan broj".

Duboko razumijevanje racionalnog broja

Racionalni broj je broj koji se može napisati na sljedeći način:

1. Zvicheynogo pozitivna frakcija.
2. Negativan zvichaynogo frakcija.
3. Broj izgleda kao nula (0).

Drugim riječima, do racionalnog broja pídíyde tako vyznachennya:

• Ako je prirodni broj ê racionalan u svojoj suštini, onda ako se prirodni broj može predstaviti kao razlomak.
• Bilo da se radi o cijelom broju, uključujući broj nula, krhotine, bilo da je cijeli broj, mogu se napisati kao naizgled pozitivan razlomak, kao negativan prekobrojni razlomak i kao naizgled nulti broj.
• Bilo da je veliki dríb, i ne može postojati pozitivna vrijednost, već negativna, može ići bez problema do racionalnog broja.
• Dakle, prije samog termina možete dodati i promijeniti broj, posljednji deseti drip ili nepresušni periodični dribling.

Primijenite racionalni broj

Pogledajmo racionalne brojeve:

• Prirodni brojevi - "4", "202", "200".
• Cifre brojeva - "-36", "0", "42".
• Izvinite razlomci.

Iz liste primijenjenih primjena vidljivo je da racionalni brojevi mogu biti i pozitivni i negativni. Očigledno je da broj 0 (nula), pošto ima svoju liniju kao racionalan broj, istovremeno nije uključen u kategoriju pozitivnog broja negativnog broja.

Zvídsi, želio bih da pogodim program duhovnog osvjetljenja uz pomoć uvredljive oznake: "Racionalni brojevi" nazivaju se oni brojevi koji se mogu napisati kao razlomak x / y, de x (brojilac) je cijeli broj, a y (znak) je prirodan broj.

Bolje razumijevanje značenja iracionalnog broja

Krem "racionalnih brojeva" poznat nam je i naziv "iracionalnih brojeva". Pokušajmo ukratko zakazati termin na ove brojeve.

Stariji matematičari, izračunavši dijagonalu kvadrata sa njegovih strana, znali su za osnovu iracionalnog broja.
Vyhodyachijevo imenovanje o racionalnim brojevima, možete navesti logički jezik i datume za imenovanje iracionalnog broja.
Otzhe, zaista, ovo su stvarni brojevi, koji su racionalni, elementarni i iracionalni brojevi.
Decimalni razlomci koji predstavljaju iracionalne brojeve nisu periodični i neiscrpni.

Primijenite iracionalan broj

Pogledajmo mali primjer iracionalnog broja. Kao što smo već shvatili, bezbroj desetina neperiodičnih razlomaka naziva se iracionalnim, na primjer:

• Broj "-5.020020002 ... (jasno se vidi da su dva podijeljena u niz od jedne, dvije, tri, itd. nula)
• Broj "7,040044000444 ... (ovdje je jasno da će se broj četvorki i broj nula povećati za jedan na lancetasti način).
• Svi znaju broj Pi (31415 ...). Dakle, tako - to je takođe iracionalno.

Vzagali su svi stvarni brojevi i racionalni i iracionalni. Pričam jednostavnim riječima, iracionalan broj se ne može vidjeti u prekobrojnom razlomku x / y.

Zagalny vysnovok taj kratki p_vnyannya između brojeva

Pogledali smo skin broj okremo, izgubili smo razliku između racionalnog i iracionalnog broja:

1. Iracionalni broj se izoštrava kada se dobije kvadratni korijen, kada se ulog podijeli sa prečnikom itd.
2. Racionalni broj je veliki razlomak.

Stavimo naš statut kílkoma s denominacijama:

• Aritmetička operacija, proširena preko racionalnog broja, grimizno podijeljena sa 0 (nula), u konačnom rezultatu se također svodi na racionalni broj.
• Konačni rezultat, pri izvođenju aritmetičke operacije nad iracionalnim brojem, može se dovesti i do racionalne i do iracionalne vrijednosti.
• Ako učestvujemo u aritmetičkoj operaciji i te i druge brojeve (bilo da smo podjelili ili pomnožili sa nulom), onda ćemo rezultat vidjeti kao iracionalan broj.

Bezlični iracionalni brojevi zvone kao označeni velikim latiničnim slovom ja (\displaystyle \mathbb (I) ) na podebljanoj konturi bez punjenja. na ovaj način: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), onda su bezlični iracionalni brojevi razlika višestrukosti govora i racionalnih brojeva.

O osnovi iracionalnih brojeva, tačnije, bezbrojnih brojeva, bezbrojnih u jednoj singularnosti, znali su već stari matematičari: znalo se, na primjer, nebrojenost dijagonale one strane kvadrata, koja je jednaka iracionalnosti broj.

Enciklopedijski YouTube

• 1 / 5

  Racionalno:

  Primijeniti dokaz iracionalnosti

  Korin z 2

  Nemojmo prihvatiti: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionalno, pa se čini da je to razlomak m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), de m (\displaystyle m)- cijeli broj, i n (\displaystyle n) je prirodan broj.

  Zvedomo perebachuvanu smirenost na trgu:

  2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Strelica desno 2=(\frac (m^(2) ) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  istorija

  antike

  Koncept iracionalnih brojeva su implicitno usvojili indijski matematičari u 7. veku pre nove ere, ako Manava (bl. 750. pne - bl. 690. pne) brojevi kao što su 2 i 61 ne mogu biti jasno izraženi [ ] .

  Prvi dokaz utemeljenja iracionalnih brojeva pripisuje se Hipasu od Metaponta (bl. 500 pne), Pitagorejcu. Za sate Pitagorejaca bilo je važno da je postojao samo jedan jedini dan, bio je mali i nepodnošljiv, jer se čitav broj puta ulazilo u bilo kakvu vrstu vídrízoka [ ] .

  O njima nema tačnih podataka, iracionalnost takvog broja potvrdio je Hipas. Zgídno z legenda, vín znayshov yogo vvchayuchi dozhini strane s pentagramima. Stoga je pametno pustiti, koliko je koštao zlato peretin [ ] .

  Grčki matematičari nazvali su vrijednost nerecipročnih veličina alogos(nevimovnim), prote zgídno s legendama nije vidio Hipasov teret. Postoji legenda da je Hipas zdíysniv vídkrittya, perebuvayuchi na pomorskom putovanju, i da su ga drugi Pitagorici pretjerali „za stvaranje elementa sveznanja, što bi opovrglo doktrinu da se svi uranijumi sveznanja mogu dovesti do ciklusi od sto i sto.” Otkriće Hipa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući pretpostavke koje su ležale u osnovi svih teorija, da su brojevi i geometrijski objekti ujedinjeni i neodvojivi.

  Dosta svih prirodnih brojeva je označeno slovom N. Prirodni brojevi, isti brojevi kao i najbolji za opseg objekata: 1,2,3,4, ... U nekim slučajevima se dodaje i broj 0 na prirodne brojeve.

  Puno svih cijelih brojeva je označeno slovom Z. Cijeli brojevi broja su svi prirodni brojevi, nula i negativni brojevi:

  1,-2,-3, -4, …

  Sada dolazimo do bezličnosti svih celih brojeva prosti razlomci: 2/3, 18/17, -4/5 i tako dalje. Tada oduzimamo mnogo racionalnih brojeva.

  Anonimnost racionalnih brojeva

  Bezličnost svih racionalnih brojeva označava se slovom Q. Bezličan je multiplikat svih racionalnih brojeva (Q), koji se sastoji od brojeva oblika m / n, -m / n i broja 0. kapacitet n,m možete se ponašati kao prirodan broj. Značajno je da se svi racionalni brojevi mogu predstaviti u obliku kraja reda ili neiscrpnog PERIODIČNOG decimalnog razlomka. Verno i zvorotne, bilo da se radi o vrsti kíntsevy ili nepresušnom periodičnom časopisu desetke dríb, može se napisati u naizgled racionalnom broju.

  I jak buti na silu sa brojem 2.0100100010...? Vono ê neskíchenno NEPERIODIČNI decimalni razlomak. Neću lagati na racionalne brojeve.

  IN školski kurs Algebre su manje verbalni (ili više fiktivni) brojevi. Odsustvo svih realnih brojeva se označava slovom R. Rich R se sastoji od svih racionalnih i svih iracionalnih brojeva.

  Razumijevanje iracionalnih brojeva

  Iracionalni brojevi - ne bezbroj desetina neperiodičnih razlomaka. Iracionalni brojevi nemaju posebno značenje.

  Na primjer, svi brojevi uzeti iz kvadratnog korijena prirodnih brojeva, poput kvadrata prirodnih brojeva, bit će iracionalni. (√2, √3, √5, √6, samo).

  Ali nije dobro misliti da su iracionalni brojevi više kao varijacije kvadratnog korijena. Na primjer, broj "pi" je također iracionalan, ali nije oduzet. A ako ne pokušate, nećete moći oduzeti jogu, kvadratni korijen bilo kojeg prirodnog broja.